高數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

1、 高等數(shù)學(xué)知識(shí)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用舉例 由于現(xiàn)代化生產(chǎn)發(fā)展的需要，經(jīng)濟(jì)學(xué)中定量分析有了長(zhǎng)足的進(jìn)步，數(shù)學(xué)的一些分支如數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)、微分方程等等已進(jìn)入經(jīng)濟(jì)學(xué)，出現(xiàn)了數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)、經(jīng)濟(jì)控制論等新分支，這些新分支通常成為數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)。數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的目的在于探索客觀經(jīng)濟(jì)過(guò)程的數(shù)量規(guī)律，以便用來(lái)知道客觀經(jīng)濟(jì)實(shí)踐。應(yīng)用數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)研究客觀經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的關(guān)鍵就是要把所考察的對(duì)象描述成能夠用數(shù)學(xué)方法來(lái)解答的數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)模型。這里我們簡(jiǎn)單介紹一下一元微積分與多元微積分在經(jīng)濟(jì)中的一些簡(jiǎn)單應(yīng)用。1、 復(fù)利與貼現(xiàn)問題1、復(fù)利公式 貨幣所有者（債權(quán)人）因貸出貨幣而從借款人（債務(wù)人）手中所得之報(bào)酬稱為利息。利息以“

2、期”，即單位時(shí)間（一般以一年或一月為期）進(jìn)行結(jié)算。在這一期內(nèi)利息總額與貸款額（又稱本金）之比，成為利息率，簡(jiǎn)稱利率，通常利率用百分?jǐn)?shù)表示。如果在貸款的全部期限內(nèi)，煤氣結(jié)算利息，都只用初始本金按規(guī)定利率計(jì)算，這種計(jì)息方法叫單利。在結(jié)算利息時(shí)，如果將前一期之利息于前一期之末并入前一期原有本金，并以此和為下一期計(jì)算利息的新本金，這就是所謂的復(fù)利。通俗說(shuō)法就是“利滾利”。下面推出按福利計(jì)息方法的復(fù)利公式。現(xiàn)有本金A0，年利率r=p%，若以復(fù)利計(jì)息，t年末A0將增值到At，試計(jì)算At。若以年為一期計(jì)算利息：一年末的本利和為A1=A0（1+r）二年末的本利和為A2=A0（1+r）+A0（1+r）r= A0

3、（1+r）2類推，t年末的本利和為At= A0（1+r）t （1）若把一年均分成m期計(jì)算利息，這時(shí)，每期利率可以認(rèn)為是，容易推得 （2）公式（1）和（2）是按離散情況計(jì)息的“期”是確定的時(shí)間間隔，因而計(jì)息次數(shù)有限推得的計(jì)算At的復(fù)利公式。若計(jì)息的“期”的時(shí)間間隔無(wú)限縮短，從而計(jì)息次數(shù)，這時(shí)，由于所以，若以連續(xù)復(fù)利計(jì)算利息，其復(fù)利公式是例1 A0100元，r=8%，t1，則一年計(jì)息1期 一年計(jì)息2期 一年計(jì)息4期 一年計(jì)息12期 一年計(jì)息100期 連續(xù)復(fù)利計(jì)息 2、實(shí)利率與虛利率由例1知，年利率相同，而一年計(jì)息期數(shù)不同時(shí)，一年所得之利息也不同。當(dāng)年利率為8，一年計(jì)息1期，確實(shí)按8計(jì)算利息；一年計(jì)

4、息2期，實(shí)際上所得利息是按8.16計(jì)算的結(jié)果；一年計(jì)息4期，實(shí)際上所得利息是按8.243計(jì)算；一年計(jì)息12期，實(shí)際上是按8.3計(jì)算；一年計(jì)息100次，實(shí)際所得利息是按8.325計(jì)算利息。這樣，對(duì)于年期以下的復(fù)利，我們稱年利率8為虛利率或名義利率，而實(shí)際計(jì)算利息之利率稱為實(shí)利率。如8.16為一年復(fù)利2期的實(shí)利率，8.3為一年復(fù)利12期的實(shí)利率，8.329為一年連續(xù)復(fù)利的實(shí)利率。記r為名義年利率，rm為一年計(jì)息m期的實(shí)利率，本金A0，按名義利率一年計(jì)息m期，一年末將增值到A0（1+）m，按實(shí)利率計(jì)息，一年末將增值到A0（1+rm）。于是，有1+rm（1+）m，即是離散情況下實(shí)利率與虛利率之間的關(guān)系

5、式。若記rm為連續(xù)復(fù)利的實(shí)利率，由于所以，實(shí)利率與虛利率之間的關(guān)系為。3、數(shù)e的經(jīng)濟(jì)解釋設(shè)年利率為100%，連續(xù)復(fù)利計(jì)息，一元本金到年末的本利和為這就是說(shuō)，按名義利率100%，連續(xù)復(fù)利計(jì)息，一元本金年末將增長(zhǎng)到e元。這可作為數(shù)e的經(jīng)濟(jì)解釋。由于，所以，這是的實(shí)利率大約為172。4、貼現(xiàn)問題我們已經(jīng)知道，初時(shí)本金A0，年利率r，t年末的本利和At，以年為期的復(fù)利公式是，一年均分為m期的復(fù)利公式是 ，連續(xù)復(fù)利公式是。若稱A0為現(xiàn)在之，At為未來(lái)值，一只現(xiàn)在值求未來(lái)值是復(fù)利問題，與此相反，若已知未來(lái)值A(chǔ)t求現(xiàn)在值A(chǔ)0，則稱貼現(xiàn)問題，這時(shí)利率r稱為貼現(xiàn)率。由復(fù)利公式，容易推得：離散的貼現(xiàn)公式為 連續(xù)的

6、貼現(xiàn)公式為 例2 設(shè)年利率為6.5，按連續(xù)復(fù)利計(jì)算，現(xiàn)投資多少元，16年之末可得1200元。這里，貼現(xiàn)率r=6.5，未來(lái)值A(chǔ)t=1200，t=16。所以，現(xiàn)在值增長(zhǎng)率設(shè)變量y是時(shí)間t的函數(shù)y = f (t)，則比值為函數(shù)f (t)在時(shí)間區(qū)間上的相對(duì)改變量；如果f (t)可微，則定義極限為函數(shù)f (t)在時(shí)間點(diǎn)t的瞬時(shí)增長(zhǎng)率。對(duì)指數(shù)函數(shù)而言，由于，因此，該函數(shù)在任何時(shí)間點(diǎn)t上都以常數(shù)比率r增長(zhǎng)。這樣，關(guān)系式 （*）就不僅可作為復(fù)利公式，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中還有廣泛的應(yīng)用。如企業(yè)的資金、投資、國(guó)民收入、人口、勞動(dòng)力等這些變量都是時(shí)間t的函數(shù)，若這些變量在一個(gè)較長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)以常數(shù)比率增長(zhǎng)，都可以用（*）式來(lái)描述

7、。因此，指數(shù)函數(shù)中的“r”在經(jīng)濟(jì)學(xué)中就一般的解釋為在任意時(shí)刻點(diǎn)t的增長(zhǎng)率。如果當(dāng)函數(shù)中的r取負(fù)值時(shí)，也認(rèn)為是瞬時(shí)增長(zhǎng)率，這是負(fù)增長(zhǎng)，這時(shí)也稱r為衰減率。貼現(xiàn)問題就是負(fù)增長(zhǎng)。例3 某國(guó)現(xiàn)有勞動(dòng)力兩千萬(wàn)，預(yù)計(jì)在今后的50年內(nèi)勞動(dòng)力每年增長(zhǎng)2%，問按預(yù)計(jì)在2056年將有多少勞動(dòng)力。由于未來(lái)值A(chǔ)0=2000，r=0.02，t=50，所以，50年后將有勞動(dòng)力例4 某機(jī)械設(shè)備折舊率為每年5，問連續(xù)折舊多少年，其價(jià)值是原價(jià)值的一半。若原價(jià)值為A0，經(jīng)t年后，價(jià)值為，這里r=-0.05。由，若取，易算出t=13.86（年），即大約經(jīng)過(guò)13.86年，機(jī)械設(shè)備的價(jià)值是原價(jià)值的一半。2、 級(jí)數(shù)應(yīng)用舉例1、銀行通過(guò)存

8、款和放款“創(chuàng)造”貨幣問題商業(yè)銀行吸收存款后，必須按照法定的比率保留規(guī)定數(shù)額的法定準(zhǔn)備金，其余部分才能用作放款。得到一筆貸款的企業(yè)把它作為活期存款，存入另一家銀行，這銀行也按比率保留法定準(zhǔn)備金，其余部分作為放款。如此繼續(xù)下去，這就是銀行通過(guò)存款和放款“創(chuàng)造”貨幣。設(shè)R表示最初存款，D表示存款總額（即最初存款“創(chuàng)造”的貨幣總額），r表示法定準(zhǔn)備金占存款的比例，r<1。當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，則有若記 它稱為貨幣創(chuàng)造乘數(shù)。顯然，若最初存款是既定的，法定準(zhǔn)備率r越低，銀行存款和放款的總額越大。這是一個(gè)等比級(jí)數(shù)問題。例如 設(shè)最初存款為1000萬(wàn)元，法定準(zhǔn)備率20%，求銀行存款總額和貸款總額。這里，R=1

9、000，r=0.2，存款總額D1由級(jí)數(shù)1000+1000(1-0.2)+1000(1-0.2)2+決定，其和貸款總額D2由級(jí)數(shù)1000(1-0.2)+1000(1-0.2)2+決定，顯然D2=4000（萬(wàn)元）投資費(fèi)用這里，投資費(fèi)用是指每隔一定時(shí)期重復(fù)一次的一系列服務(wù)或購(gòu)進(jìn)設(shè)備所需費(fèi)用的現(xiàn)在值。將各次費(fèi)用化為現(xiàn)值，用以比較間隔時(shí)間不同的服務(wù)項(xiàng)目或具有不同使用壽命的設(shè)備。設(shè)初期投資為p，年利率為r，t年重復(fù)一次投資。這樣，第一次更新費(fèi)用的現(xiàn)值為,第二次更新費(fèi)用的現(xiàn)值為，以此類推。如此，投資費(fèi)用D為下列等比級(jí)數(shù)之和：于是 例如，建造一座鋼橋的費(fèi)用為380000元，每隔10年需要油漆一次，每次費(fèi)用為4

10、0000元，橋的期望壽命為40年；建造一座木橋的費(fèi)用為200000元，每隔2年需油漆一次，每次費(fèi)用為20000元，其期望壽命為15年，若年利率為10%，問建造哪一種橋較為經(jīng)濟(jì)？鋼橋費(fèi)用包括兩部分：建橋的系列費(fèi)用和油漆的系列費(fèi)用。對(duì)建鋼橋，p=380000，r=0.1，t=40，因，則建橋費(fèi)用查表知，于是 同樣，油漆鋼橋費(fèi)用 故建鋼橋總費(fèi)用的現(xiàn)值 類似的，建木橋費(fèi)用 油漆木橋費(fèi)用 故建木橋總費(fèi)用的現(xiàn)值 由計(jì)算知，建木橋有利?，F(xiàn)假設(shè)價(jià)格每年以百分率i漲價(jià)，年利率為r，若某種服務(wù)或項(xiàng)目的現(xiàn)在費(fèi)用為p0時(shí)，則t年后的費(fèi)用為其現(xiàn)值為 。這表明，在通貨膨脹情況下，計(jì)算總費(fèi)用D的等比級(jí)數(shù)是例如，在上述建橋問

11、題中，若每年物價(jià)上漲7%，試重新考慮建木橋還是建鋼橋經(jīng)濟(jì)？這里，r=0.1，i=0.07，r-i=0.03 ，此時(shí)，對(duì)鋼橋，建橋費(fèi)用和油漆費(fèi)用分別為建鋼橋總費(fèi)用的現(xiàn)在值D=D1+D2=698100（元）對(duì)木橋，建橋費(fèi)用和油漆費(fèi)用分別為 建鋼橋總費(fèi)用的現(xiàn)在值D=D3+D4=895550（元）根據(jù)以上計(jì)算，在每年通貨膨脹7%的情況下，建鋼橋經(jīng)濟(jì)。2、庫(kù)存問題庫(kù)存或存貯在生產(chǎn)系統(tǒng)，商業(yè)系統(tǒng)，乃至各個(gè)系統(tǒng)中都是一個(gè)重要的問題。需求可由庫(kù)存的輸出來(lái)供應(yīng)和滿足，庫(kù)存也要由輸入來(lái)維持和補(bǔ)充，庫(kù)存起到調(diào)節(jié)供應(yīng)與需求，生產(chǎn)與銷售之間不協(xié)調(diào)的作用。我們的問題是庫(kù)存數(shù)量為多少時(shí)最適宜?？刂拼尕洈?shù)量的目的是把存貨總費(fèi)

12、用降低到最小。這里，假設(shè)存貨總費(fèi)用包括如下三個(gè)方面的費(fèi)用：1. 生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)或訂購(gòu)費(fèi)：工廠生產(chǎn)產(chǎn)品成批投產(chǎn)，每次投產(chǎn)要支付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)；商店向外訂貨，每次訂貨都要支付訂購(gòu)費(fèi)。假設(shè)每次投產(chǎn)的準(zhǔn)備費(fèi)或每次的訂購(gòu)費(fèi)與投產(chǎn)或訂貨數(shù)量無(wú)關(guān)。2. 貨物的庫(kù)存費(fèi)用：貨物存放倉(cāng)庫(kù)的保管費(fèi)。假設(shè)在某一時(shí)間內(nèi)單位產(chǎn)品的庫(kù)存費(fèi)不變。3. 缺貨損失費(fèi)：因不能及時(shí)滿足需求而帶來(lái)的損失。另外，還假設(shè)需求是連續(xù)的，均勻的，即單位時(shí)間內(nèi)的需求是常數(shù)，因而在一個(gè)計(jì)劃期內(nèi)需求的總量是已知的，簡(jiǎn)言之，需求是一致的，這是確定性庫(kù)存模型。我們討論下列模型：1) 成批到貨，不允許短缺的庫(kù)存模型2) 陸續(xù)到貨，不允許短缺的庫(kù)存模型3) 成批到

13、貨，允許短缺的庫(kù)存模型（一） 成批到貨，不允許短缺的庫(kù)存模型所謂成批到貨，不允許短缺，就是每批產(chǎn)品或每次訂購(gòu)的貨物整批存入倉(cāng)庫(kù)，由倉(cāng)庫(kù)均勻提?。ㄒ蛐枨笫且恢碌模┩斗攀袌?chǎng)，當(dāng)前一批庫(kù)存提取完后，下一批貨物立即補(bǔ)足。在這種理想情況下，庫(kù)存水平變動(dòng)情況如圖1所示：庫(kù)存量由最高水平逐漸（或線性）的減少到0，此時(shí)，庫(kù)存水平又立即達(dá)到最高水平，再循環(huán)前過(guò)程。這樣，在一個(gè)計(jì)劃期內(nèi) ，平均庫(kù)存量可以認(rèn)為是最高庫(kù)存量的一半。圖中的t表示一個(gè)存貯循環(huán)延續(xù)時(shí)間。Q（庫(kù)存水平）每批數(shù)量Ottt最高庫(kù)存水平平均庫(kù)存水平T（時(shí)間）圖1由于在一個(gè)計(jì)劃期內(nèi)需求量是固定的，在這計(jì)劃期內(nèi)，如果每批投產(chǎn)或每次訂購(gòu)數(shù)量多，自然庫(kù)存量

14、多，自然庫(kù)存量多，因而庫(kù)存費(fèi)多；但是，這時(shí)因投產(chǎn)或訂購(gòu)數(shù)少，因此生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)或訂購(gòu)費(fèi)少。如果每批投產(chǎn)或每次訂購(gòu)量少，庫(kù)存費(fèi)減少，但因投產(chǎn)或訂購(gòu)次數(shù)多，自然，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)或訂購(gòu)費(fèi)增多。在這兩種費(fèi)用一多一少的矛盾情況下，我們的問題是，如何確定每批投產(chǎn)或每次訂購(gòu)的數(shù)量，即選擇最有批量以使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和為最小。假設(shè)D：一個(gè)計(jì)劃期內(nèi)的需求數(shù)量，即生產(chǎn)或訂貨的總量；C1：一個(gè)計(jì)劃期內(nèi)每件產(chǎn)品所付庫(kù)存費(fèi)；C2：每批生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)或每次訂購(gòu)費(fèi)；Q：每批投產(chǎn)或每次訂貨的數(shù)量，即批量；E：一個(gè)計(jì)劃期內(nèi)存貨總費(fèi)用，即生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)或訂購(gòu)費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和。這樣，在一個(gè)計(jì)劃期內(nèi)，自始至終，按圖1之分析，庫(kù)存數(shù)量應(yīng)認(rèn)為是，即庫(kù)存量恰是

15、批量之半，所以庫(kù)存費(fèi)為；生產(chǎn)次數(shù)或訂購(gòu)次數(shù)，即批數(shù)應(yīng)為，因此，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)或訂購(gòu)費(fèi)為。于是，存貨總費(fèi)用E與每批數(shù)量Q的函數(shù)關(guān)系為現(xiàn)存的問題是：決策變量Q，使目標(biāo)函數(shù)取極小值。由極值存在的必要條件：或 （1）由上式解得 （2）由極值的充分條件：所以，當(dāng)批量時(shí)，總費(fèi)用最小，其值：即 (3)這就得到了求最優(yōu)批量及最小總費(fèi)用的一般表達(dá)式（2）和（3）。表達(dá)式（2）在庫(kù)存理論中稱為“經(jīng)濟(jì)訂購(gòu)量”或“經(jīng)濟(jì)批量”公式。簡(jiǎn)稱為“EOQ”公式。注意到（1）式：（極值存在的必要條件）可寫作： （4）（4）式左端正式一個(gè)計(jì)劃期內(nèi)的庫(kù)存費(fèi)，而右端則是一個(gè)計(jì)劃期內(nèi)的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)或訂購(gòu)費(fèi)，因此，對(duì)“一致需求，成批到貨，不許短

16、缺”的庫(kù)存模型有如下結(jié)論：使庫(kù)存費(fèi)與生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)（或訂購(gòu)費(fèi)）相等的批量，是經(jīng)濟(jì)批量。這樣，對(duì)上述庫(kù)存問題，我們也可直接由公式（4）來(lái)經(jīng)濟(jì)批量。例1 某廠生產(chǎn)攝影機(jī)，年產(chǎn)量1000臺(tái)，每臺(tái)成本800元，每一季度每臺(tái)攝影機(jī)的庫(kù)存費(fèi)是成本的5；工廠分批生產(chǎn)，每批生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為5000元；市場(chǎng)對(duì)產(chǎn)品一致需求，不許缺貨，產(chǎn)品整批存入倉(cāng)庫(kù)。試確定經(jīng)濟(jì)批量及一年最小存貨總費(fèi)用。解 由題設(shè)知，D1000臺(tái)，C25000元，每年每臺(tái)庫(kù)存費(fèi)C1800×5%×4160（元）存貨總費(fèi)用E與每批生產(chǎn)臺(tái)數(shù)Q的函數(shù)關(guān)系：由（2）式，經(jīng)濟(jì)批量一年最小存貨總費(fèi)用圖 2E = E1 + E210020030040

17、0250Q（臺(tái)）O2468E（萬(wàn)元）由圖2可知，庫(kù)存費(fèi)用曲線與生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用曲線：交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是經(jīng)濟(jì)批量，其縱坐標(biāo)剛好是存貨總費(fèi)用的一半。（二） 陸續(xù)到貨，不允許短缺的模型陸續(xù)到貨，就是每批投產(chǎn)或每次訂購(gòu)的數(shù)量Q，不是整批到貨，立即補(bǔ)足庫(kù)存，而是從庫(kù)存為零時(shí)起，經(jīng)過(guò)時(shí)間t1才能全部到貨。在此，需補(bǔ)充假設(shè)P：每單位時(shí)間內(nèi)的到貨量，即到貨率；u：每單位時(shí)間內(nèi)的需求量，即需求率。顯然，若P>u，每單位時(shí)間內(nèi)凈增加存貨為P-u，到時(shí)刻t1終了庫(kù)存出現(xiàn)一個(gè)頂點(diǎn)，這時(shí)，庫(kù)存量為t1(P-u)。由于經(jīng)歷時(shí)間t1到貨總量為Q，因此，從而最大庫(kù)存量為這種庫(kù)存模型的庫(kù)存水平變動(dòng)情況如圖3所示。T（時(shí)間）圖3

18、Q（庫(kù)存水平）Otttt1(P-u)平均庫(kù)存水平t1t1t1這樣，在一個(gè)計(jì)劃期內(nèi)，平均庫(kù)存量應(yīng)為最大庫(kù)存量之半，因而庫(kù)存費(fèi)為。本問題中，因?yàn)樯a(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)或訂購(gòu)費(fèi)與“成批到貨，不許短缺”庫(kù)存模型一樣，因此，存貨總費(fèi)用E與每批數(shù)量Q的函數(shù)關(guān)系，即目標(biāo)函數(shù)是為決策變量Q，由極值的必要條件和充分條件，容易算得，經(jīng)濟(jì)批量這時(shí)，庫(kù)存總費(fèi)用的最小值最優(yōu)批量Q*的表達(dá)式（6）也可由下式得到：例2 同例1，但產(chǎn)品陸續(xù)存入倉(cāng)庫(kù)，每月到貨200臺(tái)，試確定經(jīng)濟(jì)批量和最佳費(fèi)用。解 已知條件是：由（5）（6）（7）可得經(jīng)濟(jì)批量為327.3臺(tái)，這時(shí)最佳費(fèi)用為30550元。（三） 成批到貨，允許短缺的模型前面討論的兩個(gè)庫(kù)存模型

19、是不允許缺貨。允許缺貨是指，缺貨時(shí)未能滿足的需求，在下一批貨物到貨時(shí)要予以滿足，而且缺貨時(shí)的需求直接輸出而不經(jīng)過(guò)庫(kù)存。其它情況同模型一。如果缺貨帶來(lái)的損失很小，且不會(huì)因暫時(shí)缺貨而失去銷售機(jī)會(huì)，缺貨現(xiàn)象是允許存在的。允許缺貨情況，庫(kù)存水平變動(dòng)情況見圖4。圖中的t是一個(gè)存貯循環(huán)延續(xù)時(shí)間，從前一批到貨至庫(kù)存量減少為0的時(shí)間為t1，從庫(kù)存是0至下一批貨物到達(dá)的時(shí)間為t2。Q（庫(kù)存水平）批量QOt2tt最高庫(kù)存水平T（時(shí)間）圖4t2t1t1BQB這里尚需補(bǔ)充假設(shè)B：庫(kù)存得到補(bǔ)充之前的允許缺貨量；C3：在一個(gè)計(jì)劃期內(nèi)，缺一件產(chǎn)品的損失費(fèi)。需要注意的是每批投產(chǎn)或每次訂購(gòu)的數(shù)量Q包括了最大的允許缺貨量B。本庫(kù)

20、存模型中，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)與訂購(gòu)費(fèi)與前面模型相同：庫(kù)存費(fèi)：因有貨時(shí)間t1占一個(gè)存貯循環(huán)時(shí)間的比率為，所以，在一個(gè)機(jī)會(huì)期內(nèi)，有貨時(shí)間所占比率也為。有貨時(shí)，最大庫(kù)存量為Q-B，從而平均庫(kù)存量為，由圖4中 相似三角形易知因此，在一個(gè)計(jì)劃期內(nèi)，庫(kù)存費(fèi)為缺貨費(fèi)：在缺貨時(shí)間t2占一個(gè)存貯循環(huán)時(shí)間的比率為，在一個(gè)計(jì)劃期內(nèi)，缺貨總時(shí)間所占比例也為。最大缺貨量為B，因此，平均缺貨量為，由圖4的相似三角形得知。因此，在一個(gè)計(jì)劃期內(nèi)，缺貨量為.綜上，在一個(gè)計(jì)劃期內(nèi)，庫(kù)存總費(fèi)用或?qū)懽鬟@是該問題的目標(biāo)函數(shù)?，F(xiàn)在的問題是決策兩個(gè)變量Q和B，以使目標(biāo)函數(shù)取極小值。根據(jù)（8）式，由二元函數(shù)極值存在的必要條件，有解該方程組，可得 可以驗(yàn)證極值存在的充分條件滿足：， 因此，將代入（8）式，可得存貨總費(fèi)用的最小值：比較（9）式和（3）式，如果缺一件產(chǎn)品的損失費(fèi)C3為無(wú)窮大，因，則（9）式就是（3）式，這表明：不允許缺貨可視為缺貨損失為無(wú)窮大的情況。此式，又因，由（10）式