高數(shù)2導數(shù)與微分

1、第二講：導數(shù)與微分導數(shù)：對于函數(shù)：如果極限存在，則稱在處可導，記其極限值為注：有正負！如果極限存在，則稱在處具有左導數(shù)，記為；如果極限存在，則稱在處具有右導數(shù)，記為。如果函數(shù)在一段連續(xù)區(qū)間D上的每個點都可導，則稱在D上可導（對于閉區(qū)間端點，只要對應的單側導數(shù)存在即可）由可導的定義可以退出：可導必定連續(xù)！例：1、討論函數(shù)在其定義域上的可導性2、設則在=0處可導(A)存在 (B) 存在(C)存在 (D)存在3、設函數(shù),則在內(nèi)(A)處處可導 (B)恰有一個不可導點(C)恰有兩個不可導點 (D)至少有三個不可導點4、設，試確定的值，使該函數(shù)在處可導5、若存在，則 。6、（思考）設函數(shù)在上有界且可導,則

2、(A)當時,必有 (B)當存在時,必有(C) 當時,必有 (D) 當存在時,必有.小結論：奇函數(shù)的導函數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù)；周期函數(shù)的導函數(shù)依然是周期函數(shù)微分：對于函數(shù)：如果存在一個只與有關而與無關的數(shù)，使得當時，有：則稱在處可微，稱為在處的微分，記為：定理：（導數(shù)與微分的關系）若在處可微，則：，故微分運算也常記為：由該定理可知：可微 可導例：設函數(shù)具有二階導數(shù),且,為自變量在處的增量,與分別為在點處對應的增量與微分,若,則(A)(B)(C)(D)基本求導公式：函數(shù)的和、差、積、商的求導法則：設，都可導，則（1） （2） （是常數(shù)）（3） （4） 例：求導反函數(shù)求導法則若函數(shù)在某

3、區(qū)間內(nèi)可導、單調(diào)且，則它的本義反函數(shù)在對應區(qū)間內(nèi)也可導，且或復合求導公式（鏈式法則）：設，而且及都可導，則復合函數(shù)的導數(shù)為或由該定理可以推出定理：一階微分具有形式不變性(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)，(13)(14)(15)(16)隱函數(shù)的求導與求微分例： 參數(shù)函數(shù)的微分公式：對于參數(shù)函數(shù)，其中嚴格單調(diào)，若、均可微同時，則該參數(shù)函數(shù)可微且：例：已知，求：高階導數(shù)與高階微分若函數(shù)的導函數(shù)在點可導，則稱在點的導數(shù)為在點的二階導數(shù)，記作，即，此時稱在點二階可導。如果在區(qū)間I上每一點都二階可導，則得到一個定義在I上的二階可導函數(shù)，記作，或記作，。注意區(qū)分

4、符號與：，函數(shù)的二階導數(shù)一般仍舊是的函數(shù)。如果對它再求導數(shù)，如果導數(shù)存在的話，稱之為函數(shù)的三階導數(shù)，記為，或。函數(shù)的階導數(shù)的導數(shù)稱為函數(shù)的階導數(shù)，記為，或。相應地，在的階導數(shù)記為： ，。二階及二階以上的導數(shù)都稱為高階導數(shù)。例：函數(shù)在處幾階可導高階導數(shù)的運算1 。2.萊布尼茲公式： 其中，。注 將Leibniz公式與二項式展開作一比較可見：。（這里 ），在形式上二者有相似之處。例：求次多項式的各階導數(shù).常用的高階導數(shù)：； ；（4），特別的，當時，有.參數(shù)函數(shù)高階導數(shù)設，均二階可導，且，由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一、二階導數(shù)： ， .這里一定要注意，在求由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)時，是中間變量，而符號表示對求二次導數(shù)，因此. 反函數(shù)高階導數(shù)若函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)二階可導、單調(diào)且，則它的本義反函數(shù)在對應區(qū)間內(nèi)也二階可導，且例：1、（隱函數(shù)高階導數(shù)）已知 求.2、設，其中二階可導，且，則= 。3、（參數(shù)函數(shù)高階導數(shù)）求方程