高中數(shù)學(xué)必修2圓與方程典型例題

1、第二節(jié)：圓與圓的方程典型例題一、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑。二、圓的方程（1）標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，半徑為r；點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：當(dāng)>，點(diǎn)在圓外當(dāng)=，點(diǎn)在圓上當(dāng)<，點(diǎn)在圓內(nèi)（2）一般方程當(dāng)時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為，半徑為當(dāng)時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形。（3）求圓方程的方法：一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)；另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點(diǎn)，以此來確定圓心的位置。例1 已知方程.（1）此方程表示的圖形是否

2、一定是一個(gè)圓？請(qǐng)說明理由；（2）若方程表示的圖形是是一個(gè)圓，當(dāng)m變化時(shí)，它的圓心和半徑有什么規(guī)律？請(qǐng)說明理由.答案：(1)方程表示的圖形是一個(gè)圓；（2）圓心在直線y=2x+5上，半徑為2.練習(xí)：1方程表示的圖形是（）以為圓心，為半徑的圓 以為圓心，為半徑的圓以為圓心，為半徑的圓 以為圓心，為半徑的圓2過點(diǎn)A(1，1)，B(1，1)且圓心在直線xy20上的圓的方程是( )A(x3)2(y1)24B(x3)2(y1)24C(x1)2(y1)24D(x1)2(y1)243點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則的取值范圍是（） 或4若表示圓，則的取值范圍是 5若圓C的圓心坐標(biāo)為(2，3)，且圓C經(jīng)過點(diǎn)M(5，7)，則圓C的

3、半徑為 .6圓心在直線yx上且與x軸相切于點(diǎn)(1，0)的圓的方程為 7以點(diǎn)C(2，3)為圓心且與y軸相切的圓的方程是 8求過原點(diǎn)，在x軸，y軸上截距分別為a，b的圓的方程(ab0)9求經(jīng)過A(4，2)，B(1，3)兩點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距之和是2的圓的方程10求經(jīng)過點(diǎn)(8，3)，并且和直線x6與x10都相切的圓的方程三、直線與圓的位置關(guān)系：直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況：（1）設(shè)直線，圓，圓心到l的距離為 ，則有；（2）過圓外一點(diǎn)的切線：k不存在，驗(yàn)證是否成立k存在，設(shè)點(diǎn)斜式方程，用圓心到該直線距離=半徑，求解k，得到方程【一定兩解】(3)過圓上一點(diǎn)的切線方程：圓(x-a)

4、2+(y-b)2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則過此點(diǎn)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 例 已知圓,Q是軸上的動(dòng)點(diǎn),QA、QB分別切圓M于A，B兩點(diǎn)(1)若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，0），求切線QA、QB的方程；(答：切線QA、QB的方程分別為和)(2)求四邊形QAMB的面積的最小值；（答）(3)若，求直線MQ的方程.（答：直線的方程為或）練習(xí)：1以點(diǎn)(3，4)為圓心，且與x軸相切的圓的方程是( )A(x3)2(y4)216 B(x3)2(y4)216 C(x3)2(y4)29 D(x3)2(y4)219 2若直線xym0與圓x2y2m相切，則m為( )A0或2B

5、2CD無解.直線過點(diǎn)，與圓有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，斜率的取值范圍是( )A B C D 設(shè)圓x2y24x50的弦AB的中點(diǎn)為P(3，1)，則直線AB的方程是 圓(x1)2(y2)220在x軸上截得的弦長(zhǎng)是。 為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為_ 圓x2y22x2y10上的動(dòng)點(diǎn)Q到直線3x4y80距離的最小值為 圓心為C(3，5)，并且與直線x7y20相切的圓的方程為 求圓心在原點(diǎn)，且圓周被直線3x4y150分成12兩部分的圓的方程12（本小題15分）已知圓C：內(nèi)有一點(diǎn)P（2，2），過點(diǎn)P作直線l交圓C于A、B兩點(diǎn)(1) 當(dāng)l經(jīng)過圓心C時(shí)，求直線l的方程；(2) 當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，寫出直線l的方

6、程；(3) 當(dāng)直線l的傾斜角為45º時(shí)，求弦AB的長(zhǎng)13（本小題15分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)A（2，0）的距離是它到點(diǎn)B（8，0）的距離的一半， 求：（1）動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；（2）若N為線段AM的中點(diǎn)，試求點(diǎn)N的軌跡四、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。設(shè)圓，兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。當(dāng)時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條；當(dāng)時(shí)兩圓外切，連心線過切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；當(dāng)時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點(diǎn)，只有一條公切線；當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)含； 當(dāng)時(shí)，為

7、同心圓。注意：已知圓上兩點(diǎn)，圓心必在中垂線上；已知兩圓相切，兩圓心與切點(diǎn)共線 圓的輔助線一般為連圓心與切線或者連圓心與弦中點(diǎn)例4 已知圓，相互垂直的兩條直線、都過點(diǎn).（）若、都和圓相切，求直線、的方程；（）當(dāng)時(shí)，若圓心為的圓和圓外切且與直線、都相切，求圓的方程；（）當(dāng)時(shí)，求、被圓所截得弦長(zhǎng)之和的最大值.答案：（）、的方程分別為與或與（）圓的方程為（）即、被圓所截得弦長(zhǎng)之和的最大值為1兩個(gè)圓C1：x2y22x2y20與C2：x2y24x2y10的位置關(guān)系為( )A內(nèi)切B相交C外切D相離2圓x2y22x50與圓x2y22x4y40的交點(diǎn)為A，B，則線段AB的垂直平分線的方程是( )Axy10B2xy10 Cx2y10Dxy103圓x2y22x0和圓x2y24y0的公切線有且僅有( )A4條B3條C2條D1條14兩圓x2y21和(x4)2(ya)225相切，試確定常數(shù)a的值 6 兩圓和的位置關(guān)系是（ ）A 相離 B 相交 C 內(nèi)切 D 外切7 圓：和圓：交于兩點(diǎn)，則的垂直平分線的方程是 8兩圓和相切，則實(shí)數(shù)的值為 五、求圓的軌跡方程1、 點(diǎn)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為OP（O為原點(diǎn)）中點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。2、 已知兩定點(diǎn)A(-2,0)、B(1,0)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足PA=2PB，則點(diǎn)P軌跡方程所包圍