高三第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)平面向量的數(shù)量積

1、高三第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)-平面向量的數(shù)量積一、教學(xué)目標(biāo)：掌握平面向量的數(shù)量積及其性質(zhì)和運算率，掌握兩向量夾角及兩向量垂直的充要條件和向量數(shù)量積的簡單運用二、教學(xué)重點：平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，向量垂直的充要條件。利用平面向量的數(shù)量積處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題。三、教學(xué)過程：（一）主要知識：（1） 平面向量的數(shù)量積的定義 向量，的夾角：已知兩個非零向量，過O點作，則AOB=（001800）叫做向量，的夾角。當(dāng)且僅當(dāng)兩個非零向量同方向時，=00，當(dāng)且僅當(dāng)反方向時=1800，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題。 垂直；如果的夾角為900則稱垂直，記作。 的數(shù)量積：兩個非零向量，它們的夾角為

2、，則叫做稱的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即=規(guī)定=0 非零向量 當(dāng)且僅當(dāng)時，=900，這時=0。在方向上的投影：（注意是射影）所以，的幾何意義：等于的長度與在方向上的投影的乘積。（2） 平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)是兩個非零向量，是單位向量，于是有：當(dāng)同向時，；當(dāng)反向時，特別地，。(3)平面向量數(shù)量積的運算律交換律成立：對實數(shù)的結(jié)合律成立：分配律成立：特別注意：（1）結(jié)合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=0但是乘法公式成立： ；等等。（3） 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 若=(x1,y1),=(x2,y2)則=x1x2+y1y2 若=(x,y),則|=.=x2+y2, 若A(x1

3、,y1),B(x2,y2),則 若=(x1,y1),=(x2,y2)則（呢） 若=(x1,y1),=(x2,y2)則（二）主要方法：1注意向量夾角的概念和兩向量夾角的范圍； 2垂直的充要條件的應(yīng)用；3當(dāng)角為銳角或鈍角，求參數(shù)的范圍時注意轉(zhuǎn)化的等價性；4距離，角和垂直可以轉(zhuǎn)化到向量的數(shù)量積問題來解決 5、特別提示：數(shù)量積不滿足結(jié)合律。（三）例題分析：例1、 已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角。解：由題意，且與的夾角為，所以，同理可得 而，設(shè)為與的夾角，則 點評：向量的模的求法和向量間的乘法計算可見一斑。例2已知，按下列條件求實數(shù)的值。 （1）；（2）解：（1）；（2）；（3）。點評：此例

4、展示了向量在坐標(biāo)形式下的基本運算。例3（1）已知，求在方向上的投影。解；在方向上的投影=（2）三角形ABC中,A(5,-1),B(-1,7),C(1,2).求角B的大小.解：、，（3）已知=（2，3），=（-1，-2），=（2，1），試求和的值。解：， =（2，3）（-4）=（-8，-12）。=（2，3）·(-1,-2)=-8. =-8X(2,1)=(-16,-8)注意: 是兩個不同的向量.（4）已知為互相垂直的單位向來，且與的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍。解： ，例4非零向量滿足，求與所成角的大小。解法一：設(shè)。以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OADB，則，平行四邊形OADB為矩形。與

5、成900角。解法二：設(shè)，則，即，即與成900角。解法三：由得，化簡并整理得，所以?！舅季S點撥】數(shù)形結(jié)合思想的運用。例5已知向量和的模都是2，其夾角為，又知，試求兩點間的距離。解：分析：利用，這是求向量模的重要方法。設(shè)兩點P、Q的距離為，則從而：例6設(shè)=（1+cos，sin），=（1-cos，sin），=（1，0）（0，），（，2），與的夾角為1，與的夾角為2，且1-2=，求sin的值。解：（0，），（0，），=（1，0），=（1+cos，sin）=2cos（cos，sin）。1=（，2），0<-<,- <-<0,-<<0,<< , =（1-cos，sin）=2sin(sin,cos)=2sin(cos,sin),2=,1-2=-sin=sin(-)=思維點撥本題的關(guān)鍵是角的范圍限制。例7已知向量且求（1）及；（2）若的最小值是，求的值。解：（1），。（2）（1） 當(dāng)時，（2） 當(dāng)時，（3） 當(dāng)時，綜上所述：。（四）鞏固練習(xí)：1已知平面上三個向量、的模均為1，它們相互之間的夾角均為120°，（1）求證：；（2）若，求的取值范圍.解：（1） ，且、之間的夾角均為120°， （2） ，即 也就是 ， 所以 或2已知： 、是同一平面內(nèi)的三個向量，其中 =（1，2）