重積分曲線(xiàn)積分曲面積分

1、重積分、曲線(xiàn)積分、曲面積分一、曲線(xiàn)積分第一型曲線(xiàn)積分(對(duì)弧長(zhǎng))定義：設(shè)為平面上可求長(zhǎng)度的曲線(xiàn)段，為定義在上的函數(shù)。對(duì)曲線(xiàn)作分割，它把分成個(gè)可求長(zhǎng)度的小曲線(xiàn)段的弧長(zhǎng)記為 分割的細(xì)度為 在上任取一點(diǎn) 若極限存在，則稱(chēng)此極限值為在上的第一型曲線(xiàn)積分（對(duì)弧長(zhǎng)的積分），記作。 若為空間可求長(zhǎng)曲線(xiàn)段，為定義在上的函數(shù)，則可類(lèi)似定義在空間曲線(xiàn)上的第一型曲線(xiàn)積分，并且記為。性質(zhì)： 1. 若存在，為常數(shù)，則也存在，且2. 若曲線(xiàn)段由曲線(xiàn)首尾相接而成，且都存在，則也存在，且3. 若與都存在，且在上 則4. 若存在，則也存在，且。5. 若存在，的弧長(zhǎng)為，則存在常數(shù)，使得=。計(jì)算設(shè)有光滑曲線(xiàn) 函數(shù)為定義在上的連續(xù)函數(shù)

2、，則。若曲線(xiàn)由方程表示，且在上連續(xù)可導(dǎo)，則例1. 設(shè)是從到一段，試計(jì)算第一型曲線(xiàn)積分解 例2. 計(jì)算 其中為球面被平面所截得的圓周。解 由對(duì)稱(chēng)性知所以第二型曲線(xiàn)積分（對(duì)坐標(biāo)）有向曲線(xiàn)：帶有方向的曲線(xiàn)稱(chēng)為有向曲線(xiàn)，其正方向是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向。簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)的正方向是指逆時(shí)鐘方向。定義： 設(shè)函數(shù)與定義在平面有向可求長(zhǎng)度曲線(xiàn):上，對(duì)的任一分割，它把分成個(gè)小曲線(xiàn)段 其中。記各小曲線(xiàn)段的弧長(zhǎng)為，分割的細(xì)度 又設(shè)的分點(diǎn)的坐標(biāo)為，并記 在每個(gè)小曲線(xiàn)段上任取一點(diǎn)，若極限存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)沿有向曲線(xiàn)上的第二型曲線(xiàn)積分（對(duì)坐標(biāo)），記為或。上述積分還可寫(xiě)作或。為方便，上述積分可簡(jiǎn)寫(xiě)成。若是閉曲線(xiàn)，上述積分可寫(xiě)成

3、。若為空間有向可求長(zhǎng)度曲線(xiàn)，為定義在上的函數(shù)，則類(lèi)似地可定義沿空間有向曲線(xiàn)上的第二型曲線(xiàn)積分，記為可簡(jiǎn)寫(xiě)成。注：第一型曲線(xiàn)積分與曲線(xiàn)的方向無(wú)關(guān)，第二型曲線(xiàn)積分與曲線(xiàn)的方向有關(guān)。性質(zhì)：1. 2. 若存在，則也存在，且 其中為常數(shù)。3. 若有向曲線(xiàn)是由有向曲線(xiàn)首尾相接而成，且存在，則也存在，且計(jì)算：設(shè)平面曲線(xiàn)其中在上具有一階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，且點(diǎn)與的坐標(biāo)分別為與。又設(shè)與為上的連續(xù)函數(shù)，則例1. 計(jì)算 其中是由沿拋物線(xiàn)到的有向曲線(xiàn)。解 為 所以例2. 計(jì)算第二型曲線(xiàn)積分， 其中是螺旋線(xiàn)：從到上的一段。解 直接使用公式得應(yīng)用 求變力作功力沿有向曲線(xiàn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功為。例3 求在力的作用下，質(zhì)點(diǎn)由沿螺旋線(xiàn)：到所

4、作的功。解 由于，所以直接使用公式可得習(xí)題1. 計(jì)算 其中為單位圓周。2. 計(jì)算，其中是與相交的圓周。3. 計(jì)算 其中為圓周，依逆時(shí)鐘方向。4. 計(jì)算，其中：從到的直線(xiàn)段。5. 設(shè)質(zhì)點(diǎn)受力作用，力的反方向指向原點(diǎn)，大小與質(zhì)點(diǎn)離原點(diǎn)的距離成正比，若質(zhì)點(diǎn)由沿橢圓移動(dòng)到，求力所作的功。答案：1. 4， 2. 2， 3. 0， 4. 13， 5. 為比例系數(shù)。 二、二重積分定義：設(shè)為平面上的有界閉區(qū)域，為定義在上的函數(shù)。用任意的曲線(xiàn)把分成個(gè)小區(qū)域 以表示小區(qū)域的面積，這些小區(qū)域構(gòu)成的一個(gè)分割, 以表示小區(qū)域的直徑，稱(chēng)為分割的細(xì)度。在每個(gè)上任取一點(diǎn)，作和式，稱(chēng)它為函數(shù)在上屬于分割的一個(gè)積分和。如果存在，

5、則稱(chēng)在上可積，此極限值就稱(chēng)為在上的積分，記為，即。定理：有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)必可積。性質(zhì)：1. 若在區(qū)域上可積，為常數(shù)，則在上也可積，且 2. 若在上都可積，則在上也可積，且 3. 若在和上都可積，且與無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)，則在上也可積，且 4. 若在上都可積，且， 則 5. 若在區(qū)域上可積，則函數(shù)在區(qū)域上也可積，且 6. 若在區(qū)域上可積，且 則 這里是積分區(qū)域的面積。 7（中值定理）若在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則存在，使得幾何意義：若，則表示以為底，以為曲頂?shù)那斨w的體積，特別地，表示的面積。計(jì)算： 1. 若在矩形區(qū)域上可積，則。 2. 若在型區(qū)域上連續(xù)，其中在上連續(xù)，則。 若在型區(qū)域上連續(xù)，其中在上連

6、續(xù)，則 3. （極坐標(biāo)變換）在極坐標(biāo)變換 下，平面上的有界區(qū)域與平面上的區(qū)域相對(duì)應(yīng)，則 注：當(dāng)積分區(qū)域是圓域或圓域的一部分，或者被積函數(shù)的形式為時(shí)，我們選用極坐標(biāo)變換進(jìn)行積分比較方便。例1. 設(shè)是由直線(xiàn)及圍成的區(qū)域，試計(jì)算：的值。解 由分部積分法可得：注：本題用先對(duì)后對(duì)的累次積分是計(jì)算不出來(lái)的。選用合適的積分次序?qū)δ承╊?lèi)型的重積分計(jì)算是至關(guān)重要的。例2：在下列積分中改變累次積分的順序：。解：例3：計(jì)算，其中為圓域：。解 利用極坐標(biāo)變換，有注： 本題若不用極坐標(biāo)變換計(jì)算，而用直角坐標(biāo)系下化為累次積分計(jì)算，就會(huì)遇到計(jì)算的問(wèn)題，但無(wú)法計(jì)算。應(yīng)用：求曲頂柱體的體積例4：求球面被圓柱面所割下部分的體積。

7、解：由所求立體的對(duì)稱(chēng)性，我們只要求出在第一卦限內(nèi)的部分體積后乘以4，即得所求立體的體積。在第一卦限內(nèi)立體是個(gè)曲頂柱體，其底為平面內(nèi)由和所確定的區(qū)域，曲頂?shù)姆匠虨?所以其中，用極坐標(biāo)變換后得習(xí)題：2. 計(jì)算，其中是由所圍成。3. 改變累次積分的次序：4. 計(jì)算其中5. 求由和所圍成的立體的體積。參考答案：1.，2.3.4. 格林公式（Green公式）1格林公式 若函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有這里為區(qū)域的邊界曲線(xiàn)，并取正方向。（上述公式稱(chēng)為格林公式）。（區(qū)域邊界曲線(xiàn)的正方向規(guī)定為：當(dāng)人沿邊界正向行走時(shí)，區(qū)域總在它的左邊） 若令則得到一個(gè)計(jì)算平面區(qū)域的面積的公式：2曲線(xiàn)積分與路徑的

8、無(wú)關(guān)性 設(shè)是單連通閉區(qū)域，若函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，且具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則以下四條等價(jià)：（i）沿內(nèi)任一按段光滑封閉曲線(xiàn)，有 (ii) 對(duì)中任一按段光滑曲線(xiàn)，曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)，只與的起點(diǎn)及終點(diǎn)有關(guān)；（iii）在內(nèi)處處成立（iv）是內(nèi)某一函數(shù)的全微分，即在內(nèi)有。例1 計(jì)算，其中, 曲線(xiàn)是半徑為的圓在第一象限部分.解 設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，連接，則圍成四分之一圓域，其邊界曲線(xiàn)（正向）為，應(yīng)用格林公式有由于 所以例2 計(jì)算，其中為不通過(guò)原點(diǎn)的簡(jiǎn)單光滑閉曲線(xiàn)，為逆時(shí)鐘方向。解 記，則。（1） 當(dāng)不包含原點(diǎn)時(shí)，由格林公式得其中是包含的閉區(qū)域。（2） 當(dāng)包含原點(diǎn)時(shí)，在點(diǎn)處不連續(xù)，不滿(mǎn)足格林公式使用條件。為此，作一個(gè)以原

9、點(diǎn)為心半徑充分小的圓則為順時(shí)鐘方向，與所圍閉區(qū)域?yàn)?，則。于是習(xí)題1. 應(yīng)用格林公式計(jì)算曲線(xiàn)積分： 其中是以，為頂點(diǎn)的三角形，方向取正向。2. 計(jì)算 其中為常數(shù)，為由到經(jīng)過(guò)圓上半部分的路線(xiàn)。答案：1. 2. 。三、三重積分 定義： 設(shè)為定義在三維空間可求體積的有界區(qū)域上的函數(shù)，用若干光滑曲面所組成的曲面網(wǎng)來(lái)分割，它把分成個(gè)小區(qū)域。記的體積為在每個(gè)小塊上任取一個(gè)點(diǎn)，作積分和若存在，則稱(chēng)在上可積，此極限值稱(chēng)為函數(shù)在上的三重積分。記為或，其中稱(chēng)為被積函數(shù)，稱(chēng)為積分變量，稱(chēng)為積分區(qū)域。 當(dāng)時(shí)，表示的體積。性質(zhì)：三重積分的性質(zhì)與二重積分的性質(zhì)相同，例如：有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)必可積。計(jì)算：1. 若函數(shù)在長(zhǎng)

10、方體上的三重積分存在，則。2. “穿針?lè)ā保涸O(shè)空間區(qū)域在平面上的投影為， 則 。3. “截面法”： 若空間閉區(qū)域 其中是豎坐標(biāo)為的平面截閉區(qū)域所得到的一個(gè)平面閉區(qū)域，則有。 注：當(dāng)積分區(qū)域?yàn)樾D(zhuǎn)體，被積函數(shù)不含（或不含,不含）時(shí)，用截面法計(jì)算比較方便。4.柱面坐標(biāo)變換：作柱面坐標(biāo)變換為在柱面坐標(biāo)變換下的原像，則 。注：當(dāng)積分區(qū)域是旋轉(zhuǎn)體（旋轉(zhuǎn)軸為z軸）時(shí)，或者被積函數(shù)的形式為時(shí)，我們選用柱面坐標(biāo)變換進(jìn)行積分比較方便 5. 球坐標(biāo)變換：作球坐標(biāo)變換為在球坐標(biāo)變換下的原像，則。 （解釋下的幾何意義）。注：當(dāng)積分區(qū)域是球或球的一部分，或者被積函數(shù)的形式為時(shí)，我們選用球坐標(biāo)變換進(jìn)行積分比較方便。例1

11、計(jì)算，其中為由平面與所圍成的區(qū)域。解 在平面上的投影區(qū)域是型區(qū)域，這里。用穿針?lè)ㄓ欣? 求其中是橢球體。解 由于， 由截面法得其中表示橢圓面：或它的面積為于是 同理可得，。所以 。例3 計(jì)算其中是由曲面與為界面的區(qū)域。 解 在平面上的投影區(qū)域?yàn)?，按柱坐?biāo)變換，區(qū)域可表示為所以例4 求由圓錐體和球體所確定的立體體積，其中和為常數(shù)。解 在球坐標(biāo)變換下，球面方程可表示成，錐面方程可表示成。因此所以 例5 求 其中為由與所圍成的區(qū)域。解 作廣義球坐標(biāo)變換雅克比行列式, 在上述廣義球坐標(biāo)變換下，的原像為于是四、 曲面積分第一型曲面積分（對(duì)面積）定義 設(shè)是空間可求面積的曲面，為定義在上的函數(shù)。對(duì)曲面作分割

12、，它把分成個(gè)小曲面，以記小曲面的面積，分割的細(xì)度 在上任取一點(diǎn)，若極限存在，則稱(chēng)此極限為在上的第一型曲面積分（對(duì)面積），記為。如果是封閉曲面，也可記為 當(dāng)時(shí)，曲面積分就是曲面的面積。性質(zhì)： 類(lèi)似于第一型曲線(xiàn)積分。計(jì)算： 設(shè)有光滑曲面為上的連續(xù)函數(shù)，則。例1 設(shè)半徑為的球面的球心在定球面，問(wèn)當(dāng)取何值時(shí)，球面在定球面內(nèi)部的那部分面積最大？解 由于的中心在已知球面上那一點(diǎn)與結(jié)論無(wú)關(guān)，故可設(shè)球面方程為： 兩球面的交線(xiàn)在面上的投影為：投影曲線(xiàn)所圍平面區(qū)域?yàn)椋呵蛎嬖诙ㄇ蛎鎯?nèi)部的那部分方程： 這部分的面積為：再令： 得唯一駐點(diǎn) 又所以當(dāng)時(shí)，球面在定球面內(nèi)部的那部分面積最大。第二型曲面積分（對(duì)坐標(biāo)）曲面的側(cè)：

13、設(shè)為曲面上的一點(diǎn)，曲面在處的法線(xiàn)方向有兩個(gè)方向：當(dāng)取定其中一個(gè)為正方向時(shí)，則另一個(gè)指向就是負(fù)方向。設(shè)為上任一點(diǎn)，為上任一經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且不超過(guò)邊界的閉曲線(xiàn)。又設(shè)為動(dòng)點(diǎn)，它在處與有相同的法線(xiàn)方向，且有如下特性:當(dāng)從出發(fā)沿連續(xù)移動(dòng)，這時(shí)作為曲面上的點(diǎn)，它的法線(xiàn)方向也連續(xù)地變動(dòng)。最后當(dāng)沿回到時(shí)，若的法線(xiàn)方向仍與的法線(xiàn)方向一致，則稱(chēng)這個(gè)曲面是雙側(cè)曲面。 通常由所表示的曲面都是雙側(cè)曲面，當(dāng)其法線(xiàn)正方向與軸正方向的夾角成銳角的一側(cè)（上側(cè)）為正側(cè)時(shí)，則另一側(cè)（下側(cè)）為負(fù)側(cè)。當(dāng)為封閉曲面時(shí)，通常規(guī)定曲面的外側(cè)為正側(cè)，內(nèi)側(cè)為負(fù)側(cè)。定義：設(shè)為定義在雙側(cè)曲面上的函數(shù)，在所指定的一側(cè)作分割，它把分成 個(gè)小曲面，分割的細(xì)度，

14、以分別表示在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影區(qū)域的面積，它們的符號(hào)由的方向來(lái)確定。若的法線(xiàn)正向與軸正向成銳角時(shí)，在平面的投影區(qū)域的面積為正，反之，若法線(xiàn)正向與軸正向成鈍角時(shí)，在平面的投影區(qū)域的面積為負(fù)。在各個(gè)小曲面上任取一點(diǎn)，若極限存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)在曲面所指定的一側(cè)上的第二型曲面積分（對(duì)坐標(biāo)），記為或。性質(zhì)：與第二型曲線(xiàn)積分類(lèi)似1. 2. 若存在，則有3. 若曲面是由兩兩無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)的曲面塊所組成，且存在，則有計(jì)算： 設(shè)是定義在光滑曲面上的連續(xù)函數(shù)，以的上側(cè)為正側(cè)（即的法線(xiàn)方向與軸成銳角），則。例2 計(jì)算，其中是球面在部分并取球面外側(cè)。解 曲面在第一、第五卦限部分的方程分別為 它們?cè)谄矫嫔系耐队皡^(qū)域都是

15、單位圓在第一象限部分。依題意，積分是沿的上側(cè)和的下側(cè)進(jìn)行，所以高斯公式（Gauss公式）設(shè)空間區(qū)域是由分片光滑的雙側(cè)封閉曲面圍成，若函數(shù)在上連續(xù)，且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則其中取外側(cè)。上述公式稱(chēng)為高斯公式。例3 計(jì)算，其中為由六個(gè)平面所圍成的立方體表面并取外側(cè)為正向。 解 應(yīng)用高斯公式，所求曲面積分等于例4 計(jì)算曲面積分， 其中是曲面的上側(cè)。解 取為平面上被圓所圍部分的下側(cè)，記為由與圍成的空間閉區(qū)域，則由高斯公式知而 因此，原式=習(xí)題：1. 計(jì)算 其中為平面所圍成的四面體。2. 計(jì)算其中由錐面與平面所圍成的閉區(qū)域。3. 計(jì)算，其中是由曲面及平面所圍成的閉區(qū)域。4. 計(jì)算，其中是由球面所圍成的閉區(qū)域

16、。5. 計(jì)算，其中是上半球面6. 計(jì)算，其中是單位球面的外側(cè)。7. 計(jì)算 其中為下半球面的上側(cè)，為大于零的常數(shù)。參考答案：1. ，2. ，3. ，4. ，5. ，6. ，7.斯托克斯公式（Stokes公式）1.斯托克斯公式雙側(cè)曲面的側(cè)與其邊界曲線(xiàn)的方向的規(guī)定：右手法則定理22.4 設(shè)光滑曲面的邊界是按塊光滑的連續(xù)曲線(xiàn)若函數(shù)在（連同）上連續(xù)，且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則=（2）其中的側(cè)與的方向按右手法則確定如果曲面不能以的形式給出，則可用一些光滑曲線(xiàn)把分割為若于小塊，使每一小塊能用這種形式來(lái)表示因而這時(shí)（2）式也能成立公式(2)稱(chēng)為斯托克斯公式，也可寫(xiě)成如下形式：=.例2 計(jì)算，其中為平面與各坐標(biāo)面的交線(xiàn)，取逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎蚪?應(yīng)用斯托克斯公式=單連通區(qū)域：如