青島版數(shù)學(xué)八年級上冊專題突破講練三角形的內(nèi)外角關(guān)系

1、年 級八年級學(xué) 科數(shù)學(xué)版 本通用版課程標(biāo)題三角形的內(nèi)外角關(guān)系編稿老師董志臣一校呂麗娟二校黃楠審核郭瑩一、三角形的內(nèi)角和定理1. 定理：三角形的內(nèi)角和是180°要點(diǎn)： 定理的證明根據(jù)是平行線的性質(zhì)。 定理的證明方法有多種，選取以下兩種方法加以掌握。證明方法把三個角“湊”到A處，過點(diǎn)A作直線PQ/BC，這樣就相當(dāng)于把B移到了1的位置，把C移到了2的位置。延長BC到D，過點(diǎn)C作射線CE/BA，這樣就相當(dāng)于把移到了1的位置，把移到了2的位置。2. 推論：直角三角形的兩個銳角互余。ABC180° 又C90° AB90° A與B互余。 等邊三角形的每一個內(nèi)角都是60

2、°。DEF180°，又D=E=F，3D180°，D=E=F=60°定理的應(yīng)用： 在三角形中，已知兩個內(nèi)角可以求出第三個內(nèi)角。如：在ABC中，C180°（AB） 在三角形中，已知三個內(nèi)角和的比或它們之間的關(guān)系，求各內(nèi)角。如：在ABC中，已知A：B：C2：3：4，則可設(shè)A、B、C為2x、3x、4x，利用方程求得度數(shù)。二、三角形的外角1. 外角的定義：三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。如ACD與BCE均為外角。2. 三角形外角的性質(zhì)（1）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和。（2）三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)

3、角。提示：三角形每個頂點(diǎn)處有兩個外角，它們是對頂角，所以三角形共有六個外角。通常每個頂點(diǎn)處取一個外角，因此，我們常說三角形有三個外角。因?yàn)槿切蔚拿總€外角與它相鄰的內(nèi)角是鄰補(bǔ)角，由三角形的內(nèi)角和是180°，可推出三角形的外角和是360°。三、三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系1. 三角形的一個外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)，如圖：1與4是鄰補(bǔ)角，即14180º；2. 三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，如圖：123；3. 三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角，如圖：1>2，1>3?！就卣埂績煞N圖形的認(rèn)識（1）對頂三角形：有一個角是對頂角的兩個三角形。特

4、點(diǎn)是：每個三角形中除對頂角外，另兩個角的和與另一個三角形中其余兩個角的和相等。如圖：ABDE（2）圖形的折疊：將圖形沿某條線折疊，使其一部分與圖形中某部分重合，可以形成邊、角等多個相等關(guān)系。如圖：123方法歸納：三角形的內(nèi)、外角關(guān)系的知識點(diǎn)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）實(shí)際應(yīng)用中，題目中往往把ABC180°這個條件隱藏，要時時注意想到這個條件。（2）外角關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是“不相鄰”三個字，不要被題目偷換概念。（3）應(yīng)用三角形的內(nèi)、外角關(guān)系解題時，經(jīng)常要使用到高、角平分線，注意二者定義中，高有垂直的結(jié)論，即有角是90°，角平分線的作用是將一個角平分成兩個相等的角，有角的數(shù)值存在。（4）三角

5、形的內(nèi)角和定理和三角形的外角的性質(zhì)是求角度及與角有關(guān)的推理論證時常使用的理論依據(jù)，另外，在證明角的不等關(guān)系時也常想到外角的性質(zhì)。技巧歸納：解決本部分習(xí)題時要注意幾種數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用：方程的思想根據(jù)角與角之間的關(guān)系求角的度數(shù)時可列方程（或方程組）求解。如：A：B：C1：2：3，求三角形的形狀。整體運(yùn)用的思想將待解決的問題看作一個整體，通過研究問題做整體處理后，達(dá)到解決問題的目的。如：A40°，求34BC的度數(shù)。轉(zhuǎn)化的思想求較復(fù)雜的圖形中多個角的度數(shù)和的問題。解題的關(guān)鍵是利用有關(guān)性質(zhì)把這些角集中到一個三角形中，再利用三角形內(nèi)角和的性質(zhì)解決。如：求五角星的內(nèi)角和問題?？偨Y(jié)：1. 學(xué)會綜合運(yùn)用

6、內(nèi)、外角關(guān)系解決圖形的角度計(jì)算問題。 2. 將各種解題思想及方法掌握好，有利于今后幾何的學(xué)習(xí)。例題1 如圖，將三角尺的直角頂點(diǎn)放在直線a上，ab，150°，260°，則3的度數(shù)為（）A. 50°B. 60 °C. 70°D. 80°解析：先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出4的度數(shù)，由對頂角的性質(zhì)可得出5的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論。答案：在BCD中，150°，260°，4180°12180°50°60°70°，5470°，ab，3570°。故選

7、C。點(diǎn)撥：本題考查的是平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理。解答此類題目時往往用到三角形的內(nèi)角和是180°這一隱藏條件。例題2 如圖，在ABC中，ACB90°，沿CD折疊CBD，使點(diǎn)B恰好落在AC邊上的點(diǎn)E處。若A22°，則BDC等于（）A. 44°B. 60°C. 67°D. 77°解析：由ABC中，ACB90°，A22°，可求得B的度數(shù)。由折疊的性質(zhì)可得：CEDB68°，BDCEDC。由三角形外角的性質(zhì)，可求得ADE的度數(shù)，繼而求得答案。答案：在ABC中，ACB90°，A22°

8、;，B90°A68°，由折疊的性質(zhì)可得：CEDB68°，BDCEDC，ADECEDA46°，BDC67°。故選C。點(diǎn)撥：此題考查了折疊的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)。此題注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。1. 幾何圖形變換的研究幾何圖形的變換，核心內(nèi)容是首圖形的證明基本思路，變換后的圖形與首圖形的總體證明方法相同。但要注意的是這種題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想：通過變換掌握舉一反三的能力，將知識學(xué)活、用活。通過變換，提高面對試題的研讀能力，從而做到一會百會。（1）充分分析首圖形的條件，在此基礎(chǔ)上將其應(yīng)用到后面的圖形中

9、；（2）在變換時，認(rèn)清本質(zhì)，對變換后的結(jié)果依照首圖形結(jié)論加以書寫，注意與第一個結(jié)論保持格式上的一致，避免評卷老師的誤判。（3）注意變換后，結(jié)論的變與不變：基本規(guī)律是線段與角相等的一般來說結(jié)論都會不變，但和、差類的變換最后其結(jié)論都會發(fā)生變化。例題 如圖所示，在ABC中，A，ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線交于點(diǎn)P，且P，試探求下列各圖中與的關(guān)系，并選擇一個加以說明。解析：本題沒有給出具體角度，所以最后形成的將是一個關(guān)系式。主要考查角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理以及外角的性質(zhì)，分析可知圖（1）90°；（2）、（3）變換后圖形道理類似，但過程略有不同，可參考（1）應(yīng)用的定理加以說明。答案

10、：解：（1）90°；（2）；（3）90°。選擇（1）進(jìn)行證明。在圖（1）中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得：ABCACB180°A。BP與CP是ABC的角平分線，PBC ABC，PCB ACB，PBCPCB （ABCACB）90°。在PBC中，BPC180°（PCBPBC）180°（90°）90°。90° 。2. 化歸思想及對頂三角形的應(yīng)用化歸思想是指將不同圖形中的條件轉(zhuǎn)化到同一圖形中，三角形內(nèi)角和的轉(zhuǎn)化是利用有關(guān)性質(zhì)把不同圖形中的角集中到一個三角形中，再利用三角形的內(nèi)角和定理、外角性質(zhì)進(jìn)行解決。對頂三角形的

11、其他應(yīng)用包含整體應(yīng)用的思想，將不同三角形的內(nèi)角和整體轉(zhuǎn)化到一個圖形中，從而解決復(fù)雜圖形中的求值問題。例題 （1）如圖所示，線段AD、BC相交于點(diǎn)O，所組成的ABO與CDO叫做“對頂三角形”。已知A70°，B25°，求CD的度數(shù)。（2）如圖所示，求ABCDE的度數(shù)。（3）如圖所示，求ABCDEF的度數(shù)。解析：先根據(jù)對頂三角形的性質(zhì)求得圖中 ABCD 70°25°95°，圖中考慮連接BC，則可將問題轉(zhuǎn)化為對頂三角形的問題，總和為180°；圖 中圖形將三個三角形中的AB、CD、EF轉(zhuǎn)化到GIH中，利用對頂三角形的性質(zhì)得到2（GIHGHIHG

12、I）360°答案：解：（1）在ABO與CDO中因?yàn)?ABAOBCDCOD180°AOBCOD所以ABCD因?yàn)锳70°，B25°所以CD70°25°95°（2）連接BC因?yàn)镋OD與BOC為對頂三角形，所以DEOBCOCB所以ABCDE180°（3）因?yàn)锳BG與GIH、EFI與GIH、CHD與GIH都是對頂三角形，ABGIHGHICDGIH HGIEFGHIHGI所以ABCDEF2（GIHGHIHGI）360°（答題時間：45分鐘）一、選擇題1. 在給定的下列條件中，不能判定三角形是直角三角形的是（）A. A

13、BC123 B. ABCC. ABC D. A2B3C2. 已知ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足關(guān)系式BC3A，則此三角形中（ ）A. 一定有一個內(nèi)角為45° B. 一定有一個內(nèi)角為60°C. 一定是直角三角形 D. 一定是鈍角三角形*3. 如圖，在ABC中，C70º，沿圖中虛線截去C，則12（ ）A. 360º B. 250º C. 180º D. 140º*4. 已知ABC中，ABC和ACB的平分線交于點(diǎn)O，則BOC一定（ ）A. 小于直角B. 等于直角C. 大于直角D. 不能確定*5. 如圖ABC中，BADCBEACF，

14、ABC50°，ACB62°，則DFE的大小是（ ）A. 50° B. 62° C. 68° D. 70°*6. 如圖，在折紙活動中，小明制作了一張ABC紙片，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，將ABC沿著DE折疊壓平，A與A重合，若A75°，則12（）A. 150°B. 210°C. 105°D. 75°二、填空題*7. 如圖，已知ABC的B和C的外角平分線交于點(diǎn)D，A40°，那么D_。*8. 如圖，在ABC中，BC，F(xiàn)DBC，DEAB，AFD158°， 則EDF _。

15、*9. 如圖，ACD是ABC的外角，ABC的平分線與ACD的平分線交于點(diǎn)A1，A1BC的平分線與A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，An1BC的平分線與An1CD的平分線交于點(diǎn)An。設(shè)A。則：（1）A1；（2）An。三、解答題10. 判斷適合下列條件的ABC是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形？（1）A20°，B75°；（2）AB30°，BC30°；（3）ABC*11. 一個零件的形狀如圖，按規(guī)定A應(yīng)等于90°，B、D應(yīng)分別是20°和30°，李叔叔量得BCD142°就判定這個零件不合格，你能說出道理嗎?*12. 如圖，已

16、知在ABC中，B70°，BACBCA32，CDAD于D，且ACD35°，求BAE的度數(shù)。*13. 如圖，點(diǎn)C為RtABE的邊AE延長線上的一點(diǎn)，BEAC，點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn)，DC交BE于點(diǎn)F，已知ADC80°，B35°，求C的度數(shù)。*14. 如圖所示，已知12，34，C32°，D28°，（1）求P的度數(shù)。（2）請推斷P與C、D的關(guān)系。*15. 已知ABC中，BAC100°。（1）若ABC和ACB的平分線交于點(diǎn)O，如圖所示，試求BOC的大??；（2）若ABC和ACB的三等分線（即將一個角平均分成三等份的射線）相交于O、O1，如圖

17、所示，試求BOC的大??；（3）以此類推，若ABC和ACB的n等分線自下而上依次相交于O、O1、O2、，如圖所示，試探求BOC的大小與n的關(guān)系，并判斷當(dāng)BOC170°時，是幾等分線的交線所成的角。1. C 解析：利用比例設(shè)方程，A、B、D中都有直角，C選項(xiàng)中三角相等則每一角為60°，則選C。2. A 解析：題目中隱含的條件為ABC180°，將BC3A代入，則可知A45°。3. B 解析：利用整體運(yùn)用的思想，C70°，則1、2外角的和為110°，12360°110°250°。4. C 解析：ABCACBBAC

18、180°，ABCACB180°BAC，ABC和ACB的平分線交于點(diǎn)O，則BOC180°（180°BAC）90°BAC，所以選C。5. C 解析：因?yàn)镈FEACFCAF，BADCBEACF，所以DFEBAC，因?yàn)锳BC50°，ACB62°，則BAC180°50°62°68°。6. A 解析：連接A A，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，122A，所以12150°。7. 70° 解析：因?yàn)锳ABCACB180°，A40°，所以ABCACB140°，所以

19、ABC與ACB的外角和 360°140°220°，因?yàn)镃D、BD是角平分線，所以BCDCBD110°，所以D70°。8. 68° 解析：因?yàn)锳FD158°，所以CFD22°，因?yàn)镕DBC，所以C68°，又因?yàn)锽C，所以B68°，因?yàn)镈EAB，所以BDE22°，所以EDF180°90°22°68°。9. （1），（2） 解析：（1）A1B是ABC的平分線，A2B是A1BC的平分線，A1BCABC，A1CDACD，又ACDAABC，A1CDA1BCA

20、1，AABC2（A1BCA1），A1A，A，A1；（2）同理可得A2A1 ，所以An。10. 解：（1）因?yàn)镃180°AB，A20°，B75°；所以C180°AB180°20°75°85°，所以三角形為銳角三角形。（2）因?yàn)锳B30°，BC30°，所以A30°B，CB30°，因?yàn)锳BC180°，所以30°BBB30°180°，所以B60°，A90°，C30°，所以此三角形為直角三角形。（3）因?yàn)锳BC，所以設(shè)Ax，B2x，C6x，因?yàn)锳BC180°，所以x2x6x180°，所以x20°，所以6x120°，所以該三角形為鈍角三角形。11. 解：這個零件不合格。道理如下：延長DC交AB與點(diǎn)E，因?yàn)镈EB為ADE的外角，所以DEBAD，因?yàn)镈CB為BEC外角，所以DCBCEBB，因?yàn)锳應(yīng)等于90°，B、D應(yīng)分別是20°和30°，所以BCD140°，所以這個零件不合格