軸對(duì)稱壓軸題解析

1、軸對(duì)稱【知識(shí)脈絡(luò)】【基礎(chǔ)知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)一：軸對(duì)稱圖形及對(duì)稱軸1、軸對(duì)稱圖形：一個(gè)圖形沿著某直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，該直線就是它的對(duì)稱軸2、要點(diǎn)：前提是一個(gè)圖形，且這個(gè)圖形滿足兩個(gè)條件：存在直線（對(duì)稱軸）；沿著這條直線折疊，折痕兩旁的部分能重合3、注意：一個(gè)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸是直線且不一定只有一條，可能有兩條或多條如圖所示：知識(shí)點(diǎn)二：軸對(duì)稱及對(duì)稱點(diǎn)1、軸對(duì)稱：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱（或說這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱），這條直線叫做對(duì)稱軸折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)也叫做對(duì)稱點(diǎn)2、要點(diǎn)：前提是兩個(gè)圖形；存在一

2、條直線；兩個(gè)圖形沿著這條直線對(duì)折能夠完全重合3、注意：成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形一定全等；它與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別主要是：它是指兩個(gè)圖形，而軸 對(duì)稱圖形前提是一個(gè)圖形；成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形除了全等外還有特定的位置關(guān)系如圖所示：知識(shí)點(diǎn)三：軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形1、相互轉(zhuǎn)化：軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱的關(guān)系非常密切，若把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看作一個(gè)整體，則這個(gè)整體就是對(duì)稱圖形；反過來，若把軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸兩旁的部分看作兩個(gè)圖形，則這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線（原對(duì)稱軸）對(duì)稱2、軸對(duì)稱、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)（1）性質(zhì)1：若兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；注：經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，

3、叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線性質(zhì)1的證明如下：如圖所示，ABC與關(guān)于l對(duì)稱，其中點(diǎn)A、是對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)交對(duì)稱軸于點(diǎn)P將ABC和沿l折疊后，點(diǎn)A與重合，則有，1=2=90°，即對(duì)稱軸把垂直平分，同樣也能把、都垂直平分，于是得出性質(zhì)1 （2）性質(zhì)2：軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸也是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線證明類似性質(zhì)1（3）小結(jié)：不論性質(zhì)1，還是性質(zhì)2所指的都是只要兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱，那么這條直線（對(duì)稱軸）就是這兩個(gè)點(diǎn)連線的垂直平分線也就是說這兩條性質(zhì)所體現(xiàn)的是對(duì)稱點(diǎn)與對(duì)稱軸的關(guān)系也揭示了軸對(duì)稱（軸對(duì)稱圖形）的實(shí)質(zhì)知識(shí)點(diǎn)四：線段的垂直平分線1、性質(zhì)1：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線

4、段兩端點(diǎn)的距離相等；證法一：如圖所示，l是線段AB的垂直平分線，P為l上任意一點(diǎn)如果把AB沿著l對(duì)折，A點(diǎn)和B點(diǎn)一定重合，同時(shí)PA、PB也應(yīng)該重合，如果在l上再取一點(diǎn)，連、，則、也應(yīng)該重合，即它們分別對(duì)應(yīng)相等，由此得出性質(zhì)1證法二：另外，我們還可以從全等的角度得出性質(zhì)1，過程如下：如上圖， l垂直平分AB， AO=BO，1=2又 PO=PO（公共邊）， RtPAORtPBO（SAS） PA=PB即性質(zhì)1成立2、性質(zhì)2：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上性質(zhì)2的探究如下：如圖所示，作直線PCAB于C，則在RtPAC和RtPBC中，PA=PB，PC=PC， RtPACRtPBC

5、， AC=BC即PC垂直平分AB，所以點(diǎn)P在線段AB垂直平分線上3、 小結(jié)：（1）從以上的兩個(gè)結(jié)論可以看出，在線段AB垂直平分線上的點(diǎn)與A、B兩點(diǎn)的距離相等；反過來與點(diǎn)A、B距離相等的點(diǎn)都在線段AB的垂直平分線上綜合以上兩點(diǎn)可以得出：線段的垂直平分線可以看作是與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合（2）線段垂直平分線的兩個(gè)性質(zhì)具有不同的作用，性質(zhì)l是線段的垂直、平分線的性質(zhì)，可用它來證明線段相等的問題；而性質(zhì)2實(shí)質(zhì)是線段垂直平分線的判定知識(shí)點(diǎn)五：對(duì)稱軸的作法1、若兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，其對(duì)稱軸就是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線因此只要找到一對(duì)對(duì) 應(yīng)點(diǎn)，再作出連接它們的線段的垂直平分線就可以得到這

6、兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸作法相同 2、例如：A、B兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱，連接AB，作線段AB的垂直平分線就是A、B兩點(diǎn)的對(duì)稱軸，作法如下：（1）分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作?。ㄈ魞苫“霃叫∮诨虻扔贏B，則兩弧沒有交點(diǎn)或切于一點(diǎn)），兩弧交于C、D兩點(diǎn)；（2）連CD，得直線CD，直線CD即為所求如圖所示：3、說明：作對(duì)稱軸的方法也就是作線段垂直平分線的方法用此方法可確定線段的中點(diǎn)，即把線段平分知識(shí)點(diǎn)六：軸對(duì)稱變換1、由一個(gè)平面圖形得到它關(guān)于某直線的對(duì)稱圖形，這一過程叫軸對(duì)稱變換2、注意：（1）將一個(gè)圖形進(jìn)行軸對(duì)稱變換（作一個(gè)圖形關(guān)于某直線的對(duì)稱圖形）關(guān)鍵是作某些點(diǎn)（關(guān)鍵點(diǎn)）關(guān)于

7、這條直線的對(duì)稱點(diǎn) 如：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)先作AOl于O；再延長(zhǎng)AO至使，則就是A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)，如下圖所示：主要有兩步：第一步，過已知點(diǎn)作對(duì)稱軸的垂線，得到一個(gè)垂線段；第二步，將這個(gè)垂線段延長(zhǎng)一倍所到達(dá)的點(diǎn)就是已知點(diǎn)關(guān)于這條直線（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)（2）成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中的任何一個(gè)都可以看作是另一個(gè)圖形經(jīng)過軸對(duì)稱變換得到的同樣，一個(gè)軸對(duì)稱圖形也可以看作是以它的一部分為基礎(chǔ)，經(jīng)軸對(duì)稱變換擴(kuò)展而成的（3）經(jīng)過軸對(duì)稱變換并結(jié)合平移變換我們可得到一些美麗的圖案，如圖所示：知識(shí)點(diǎn)七：用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱1、關(guān)于x軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)的關(guān)系已知P點(diǎn)坐標(biāo)，則它關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，如下圖所示：

8、即關(guān)于x軸的對(duì)稱的兩點(diǎn)，坐標(biāo)的關(guān)系是：橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)2、關(guān)于y軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)橫（縱）坐標(biāo)的關(guān)系已知P點(diǎn)坐標(biāo)為，則它關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，如上圖所示 即關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系是：縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù) 注意：由此我們可以在平面直角坐標(biāo)系中作出與一個(gè)已知圖形關(guān)于x軸或y軸對(duì)稱的圖形3、關(guān)于與x軸（y軸）平行的直線對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)橫（縱）坐標(biāo)的關(guān)系（1）P點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為證明：如下圖所示，令坐標(biāo)為，由題意可知，即，故所以同樣可以推導(dǎo)出下面的結(jié)論（2）P點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，如下圖所示三、規(guī)律方法指導(dǎo)1由一個(gè)平面圖形得到它的軸對(duì)稱圖形叫做軸對(duì)稱變換成軸對(duì)稱的兩

9、個(gè)圖形中的任何一個(gè)可以看著 由另一個(gè)圖形經(jīng)過軸對(duì)稱變換后得到2軸對(duì)稱變換的性質(zhì)：（1）經(jīng)過軸對(duì)稱變換得到的圖形與原圖形的形狀、大小完全一樣（2）經(jīng)過軸對(duì)稱變換得到的圖形上的每一點(diǎn)都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)（3）連接任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直平分3作一個(gè)圖形關(guān)于某條直線的軸對(duì)稱圖形的步驟：（1）作出一些關(guān)鍵點(diǎn)或特殊點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)（2）按原圖形的連接方式連接所得到的對(duì)稱點(diǎn)，即得到原圖形的軸對(duì)稱圖形4點(diǎn)P（x，y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，-y）；點(diǎn)P（x，y）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-x，y）；點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-x，-y）5點(diǎn)P（x，y）關(guān)于直線x=m對(duì)

10、稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（2m-x，y）；點(diǎn)P（x，y）關(guān)于直線y=n對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，2n-y）。【典例解析】例題1：如圖，在RtABC中，AC=BC，點(diǎn)D是ABC內(nèi)一點(diǎn)，若AC=AD，CAD=30°，連接BD，則ADB的度數(shù)為（）A120°B135°C150°D165°【考點(diǎn)】等腰直角三角形【分析】先根據(jù)ABC是等腰直角三角形得：CAB=ABC=45°，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明CDBAED，則ADE=CBD，ED=BD，設(shè)CBD=x，則ADE=x，DEB=DBE=15+x，根據(jù)ABC=45°列方程可求x的值，根據(jù)三角形內(nèi)

11、角和得BDC=150°，最后由周角得出結(jié)論【解答】解：AC=BC，ACB=90°，CAB=ABC=45°，AC=AD，AD=BC，CAD=30°，ACD=ADC=75°，DAB=45°30°=15°，DCB=90°75°=15°，EAD=DCB，在AB上取一點(diǎn)E，使AE=CD，連接DE，在CDB和AED中，CDBAED（SAS），ADE=CBD，ED=BD，DEB=DBE，設(shè)CBD=x，則ADE=x，DEB=DBE=15+x，ABC=45°，x+15+x=45，x=15

12、76;，DCB=DBC=15°，BDC=180°15°15°=150°，ADB=360°75°150°=135°；故選B例題2：如圖，在等腰三角形ABC中，AC=BC，D、E分別為AB、BC上一點(diǎn)，CDE=A（1）如圖，若BC=BD，求證：CD=DE；（2）如圖，過點(diǎn)C作CHDE，垂足為H，若CD=BD，EH=1，求DEBE的值【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【分析】（1）先根據(jù)條件得出ACD=BDE，BD=AC，再根據(jù)ASA判定ADCBED，即可得到CD=DE；（2）先根據(jù)條件得出DCB

13、=CDE，進(jìn)而得到CE=DE，再在DE上取點(diǎn)F，使得FD=BE，進(jìn)而判定CDFDBE（SAS），得出CF=DE=CE，再根據(jù)CHEF，運(yùn)用三線合一即可得到FH=HE，最后得出DEBE=DEDF=EF=2HE=2【解答】解：（1）AC=BC，CDE=A，A=B=CDE，ACD=BDE，又BC=BD，BD=AC，在ADC和BED中，ADCBED（ASA），CD=DE；（2）CD=BD，B=DCB，又CDE=B，DCB=CDE，CE=DE，如圖，在DE上取點(diǎn)F，使得FD=BE，在CDF和DBE中，CDFDBE（SAS），CF=DE=CE，又CHEF，F(xiàn)H=HE，DEBE=DEDF=EF=2HE=2

14、例題3：閱讀下面材料：小聰遇到這樣一個(gè)有關(guān)角平分線的問題：如圖1，在ABC中，A=2B，CD平分ACB，AD=2.2，AC=3.6求BC的長(zhǎng)小聰思考：因?yàn)镃D平分ACB，所以可在BC邊上取點(diǎn)E，使EC=AC，連接DE這樣很容易得到DECDAC，經(jīng)過推理能使問題得到解決（如圖2）請(qǐng)回答：（1）BDE是等腰三角形（2）BC的長(zhǎng)為5.8參考小聰思考問題的方法，解決問題：如圖3，已知ABC中，AB=AC，A=20°，BD平分ABC，BD=2.3，BC=2求AD的長(zhǎng)【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)【分析】（1）由已知條件和輔助線的作法，證得ACDECD，得到AD=DE，A

15、=DEC，由于A=2B，推出DEC=2B，等量代換得到B=EDB，得到BDE是等腰三角形；（2）在BA邊上取點(diǎn)E，使BE=BC=2，連接DE，得到DEBDBC，在DA邊上取點(diǎn)F，使DF=DB，連接FE，得到BDEFDE，即可推出結(jié)論【解答】解：（1）BDE是等腰三角形，在ACD與ECD中，ACDECD，AD=DE，A=DEC，A=2B，DEC=2B，B=EDB，BDE是等腰三角形；（2）BC的長(zhǎng)為5.8，ABC中，AB=AC，A=20°，ABC=C=80°，BD平分B，1=2=40°BDC=60°，在BA邊上取點(diǎn)E，使BE=BC=2，連接DE，則DEBD

16、BC，BED=C=80°，4=60°，3=60°，在DA邊上取點(diǎn)F，使DF=DB，連接FE，則BDEFDE，5=1=40°，BE=EF=2，A=20°，6=20°，AF=EF=2，BD=DF=2.3，AD=BD+BC=4.3例題4：（1）如圖1，圖2，圖3，在ABC中，分別以AB，AC為邊，向ABC外作正三角形，正四邊形，正五邊形，BE，CD相交于點(diǎn)O如圖1，試說明：ABEADC；探究：如圖1，BOC=120；如圖2，BOC=90°；如圖3，BOC=72°；（2）如圖4，AB，AD是以AB為邊向ABC外所作正n邊形

17、的一組鄰邊；AC，AE是以AC為邊向ABC外所作正n邊形的一組鄰邊，BE，CD的延長(zhǎng)相交于點(diǎn)O，試猜想：圖4中BOC=（用含n的式子表示）【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；多邊形內(nèi)角與外角；正方形的性質(zhì)【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以得出DACBAE，再根據(jù)三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系就可以求出BOC的值，在圖2中，連結(jié)BD，然后用同樣的方法證明DACBAE，根據(jù)三角形外角與內(nèi)角之間的關(guān)系就可以求出BOC的值，依此類推就可以得出當(dāng)作n邊形的時(shí)候就可以求出圖4BOC的值【解答】證明：如圖1，ABD和AEC是等邊三角，AD=AB，AE=AC，DAB=EAC=ABD=ADB=60

18、6;，DAB+BAC=EAC+BAC，即DAC=BAE在DAC和BAE中，DACBAE（SAS）解：DACBAE，CDA=EBABOC=BDO+OBD，BOC=BDA+ABE+OBD，BOC=BDA+ADC+OBA，BOC=BDA+OBD=60°+60°=120°=如圖2，連結(jié)BD，四邊形ABFD和四邊形ACGE是正方形，AB=AD，AE=AC，BAD=CAE=90°，BDA=DBA=45°，BAD+DAE=CAE+DAE，即BAE=CAD在DAC和BAE中，DACBAE（SAS），CDA=EBABOC=BDO+DBO，BOC=BDA+ADO+

19、DBO，BOC=BDA+ABE+DBO，BOC=BDA+DBA=45°+45°=90°=；如圖3，連結(jié)BD，五邊形ABHFD和五邊形ACIGO是正五邊形，AB=AD，AE=AC，BAD=EAC=108°，BAD+DAE=EAC+DAE，ABD=ADB=36°BAE=DAC在BAE和DAC中，BAEDAC（SAS），ABE=ADCBOC=OBD+BDO，BOC=ADB+ADC+OBD，BOC=ADB+ABE+OBD，BOC=ADB+ABD=72°=（2）以此類推，當(dāng)作正n邊形時(shí)，BOC=故答案為：120°，90°，7

20、2°，【跟蹤訓(xùn)練】1. 如圖是一個(gè)風(fēng)箏的圖案，它是軸對(duì)稱圖形，EF是對(duì)稱軸A=90°，AED=130°，C=45°，則BFC的度數(shù)為140°2. 如圖，ABC中，AB=AC，ADBC，CEAB，AE=CE求證：（1）AEFCEB；（2）AF=2CD3. （2016秋監(jiān)利縣校級(jí)期中）已知：如圖，在RtABC中，BAC=90°，AC=2AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，以AD為斜邊在ABC外作等腰直角三角形AED，連結(jié)BE、EC試猜想線段BE和EC有何關(guān)系，并證明你的猜想4. （2016秋監(jiān)利縣校級(jí)期中）在ABC中，ACB=90°，AC=

21、BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且ADMN于D，BEMN于E（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：DE=AD+BE；（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)寫出新的結(jié)論并說明理由5. 如圖，在ABC中，AB=AC，BEAC于點(diǎn)E，BE=AE，AD是BAC的角平分線，和BE相交于點(diǎn)P，和BC邊交于點(diǎn)D，點(diǎn)F是AB邊的中點(diǎn)，連結(jié)EF，交AD于點(diǎn)Q，連結(jié)BQ（1）求證：BCEAPE；（2）求證：BD=AP；（3）判斷BDQ的形狀，并證明你的結(jié)論6. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（7a，0），B（0，7a），點(diǎn)C為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，ADA

22、B，1=2（1）求ABC+D的度數(shù)；（2）如圖，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3a，0），求點(diǎn)D的坐標(biāo)（結(jié)果用含a的式子表示）；（3）如圖，在（2）的條件下，若a=1，過點(diǎn)D作DEy軸于點(diǎn)E，DFx軸于點(diǎn)F，點(diǎn)M為線段DF上一點(diǎn)，若第一象限內(nèi)存在點(diǎn)N（n，2n3），使EMN為等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出符合條件的N點(diǎn)坐標(biāo)，并選取一種情況計(jì)算說明參考答案：1. 如圖是一個(gè)風(fēng)箏的圖案，它是軸對(duì)稱圖形，EF是對(duì)稱軸A=90°，AED=130°，C=45°，則BFC的度數(shù)為140°【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形【分析】利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)結(jié)合四邊形內(nèi)角和定理得出答案【解答】解：一個(gè)風(fēng)箏的圖

23、案，它是軸對(duì)稱圖形，EF是對(duì)稱軸A=90°，AED=130°，C=45°，D=90°，MED=65°，DEF=115°，CFN=360°115°90°45°=110°BFC的度數(shù)為：2（180°110°）=140°故答案為：140°【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)以及四邊形內(nèi)角和定理，熟練應(yīng)用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵2. 如圖，ABC中，AB=AC，ADBC，CEAB，AE=CE求證：（1）AEFCEB；（2）AF=2CD【考點(diǎn)】全等三角

24、形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【分析】（1）由ADBC，CEAB，易得AFE=B，利用全等三角形的判定得AEFCEB；（2）由全等三角形的性質(zhì)得AF=BC，由等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”得BC=2CD，等量代換得出結(jié)論【解答】證明：（1）ADBC，CEAB，BCE+CFD=90°，BCE+B=90°，CFD=B，CFD=AFE，AFE=B在AEF與CEB中，AEFCEB（AAS）；（2）AB=AC，ADBC，BC=2CD，AEFCEB，AF=BC，AF=2CD3. （2016秋監(jiān)利縣校級(jí)期中）已知：如圖，在RtABC中，BAC=90°，AC=2AB，點(diǎn)D是AC的

25、中點(diǎn)，以AD為斜邊在ABC外作等腰直角三角形AED，連結(jié)BE、EC試猜想線段BE和EC有何關(guān)系，并證明你的猜想【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形【分析】由條件可求得AB=CD、DE=AE，且BAE=EDC=135°，可證明ABEDCE，再利用AEB=DEC，可證得BECE【解答】解：猜想：BE=CE，BECE證明如下：AC=2AB，D是AC的中點(diǎn)，CD=AB，AED為等腰直角三角形，AE=DE，且EAD=EDA=45°，BAE=CDE=135°，在ABE和DCE中ABEDCE（SAS），BE=CE，AEB=DEC，BED+DEC=AEB+BED=AED

26、=90°，BECE，即BE和CE的關(guān)系為相等且垂直【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，由條件證得ABEDCE是解題的關(guān)鍵，注意利用等腰直角三角形的性質(zhì)4. （2016秋監(jiān)利縣校級(jí)期中）在ABC中，ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且ADMN于D，BEMN于E（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：DE=AD+BE；（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)寫出新的結(jié)論并說明理由【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形【分析】（1）首先證明DAC=BCE，進(jìn)而

27、利用AAS定理證明DACECB，問題即可解決（2）首先證明DAC=BCE，進(jìn)而利用HL定理證明ACDCBE，問題即可解決【解答】解：（1）如圖1，ACB=90°，ADMN于D，BEMN于E，DAC+DCA=BCE+DCA，DAC=BCE；在DAC與ECB中，DACECB（AAS），AD=CE，DC=BE，DE=AD+BE（2）如圖2，（1）中的結(jié)論不成立；新的結(jié)論為：DE=ACBE；ACB=90°，ADMN，DAC+ACD=ACD+BCE，DAC=BCE；在ACD與CBE中，ACDCBE（AAS），AC=CE，CD=BE，DE=CECD=ACBE；即DE=ACBE【點(diǎn)評(píng)】該

28、命題在考查全等三角形的判定及其性質(zhì)定理的同時(shí)，還滲透了對(duì)旋轉(zhuǎn)變換的考查；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用全等三角形的判定定理解題5. 如圖，在ABC中，AB=AC，BEAC于點(diǎn)E，BE=AE，AD是BAC的角平分線，和BE相交于點(diǎn)P，和BC邊交于點(diǎn)D，點(diǎn)F是AB邊的中點(diǎn)，連結(jié)EF，交AD于點(diǎn)Q，連結(jié)BQ（1）求證：BCEAPE；（2）求證：BD=AP；（3）判斷BDQ的形狀，并證明你的結(jié)論【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形【分析】（1）求出AEP=BEC=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出EBC=EAP，根據(jù)ASA推出BCEAPE即可；（2）根據(jù)全等得出BC=AP，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)

29、得出BD=BC，即可求出答案；（3）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出AQ=BQ，求出BAE=45°，根據(jù)角平分線的定義求出BAD=ABQ=22.5°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出BQD=45°，即可得出答案【解答】證明：（1）如圖：AD是BAC的角平分線，AB=AC，BDP=90°，BD=CD，BEAC，AEP=BEC=90°，在BPD和APE中，AEP=BDP=90°，BPD=APE，PAE+PEA+APE=180°，BDP+BPD+EBC=180°，EBC=EAP，在BCE和APE中，BCEAPE；（2）BCEAPE，BC=AP，BD=CD，BD=BC，BD=AP；（3）BDQ是等腰直角三角形，證明：BE=AE，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，EF是線段AB的垂直平分線，AQ=BQ，BAQ=ABQ，BE=AE，BEA=90°，BAE=45°，AD是BAC的角平分線，BAD=CAD=22.5°，BAD=ABQ，BAD=ABQ=22.5°，BQD=22.5°×2=45°，ADB=90&#