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文檔簡介

1、會將非線性回歸模型經(jīng)過變換轉(zhuǎn)化為線性回歸模型,進(jìn)而進(jìn)行回歸分析學(xué)習(xí)本節(jié)后還應(yīng)初步會將簡單的非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題(重點(diǎn)、難點(diǎn))1.3可線性化的回歸分析【課標(biāo)要求】【核心掃描】 對不具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量做統(tǒng)計分析,通過變量代換,轉(zhuǎn)化為線性回歸模型1非線性回歸分析 2非線性回歸方程曲線方程曲線圖形變換公式變換后的線性函數(shù)yaxbcln avln xuln y. . ucbv曲線方程曲線圖形變換公式變換后的線性函數(shù)yaebxcln auln y . .ucbx續(xù)表ucbv uabv 想一想:作兩個變量的散點(diǎn)圖的主要目的是_ _提示直觀了解兩個變量之間的關(guān)系當(dāng)兩變量y與x不具有線性相關(guān)

2、關(guān)系時,要借助于散點(diǎn)圖,與已學(xué)過的函數(shù)(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等)的圖象相比較,找到合適的函數(shù)模型,利用變量代換轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)關(guān)系,從而使問題得以解決(1)確定變量:確定解釋變量為x,預(yù)報變量為y;(2)畫散點(diǎn)圖:通過觀察散點(diǎn)圖并與學(xué)過的函數(shù)(冪、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù))作比較,選取擬合效果好的函數(shù)模型;名師點(diǎn)睛1可線性化的回歸分析2解決非線性回歸問題的方法及步驟(3)變量置換:通過變量置換把非線性問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題;(4)分析擬合效果:通過計算相關(guān)指數(shù)或相關(guān)系數(shù)等來判斷擬合效果;(5)寫出非線性回歸方程在大量的實(shí)際問題中,研究的兩個變量不一定都呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系,它們之間可能呈現(xiàn)指

3、數(shù)關(guān)系或?qū)?shù)關(guān)系等非線性關(guān)系等在某些情況下可以借助于線性回歸模型研究呈現(xiàn)非線性關(guān)系的兩個變量之間的關(guān)系我們往往將兩個非線性的變量關(guān)系轉(zhuǎn)化成線性的變量關(guān)系例如,將冪函數(shù)曲線yaxb轉(zhuǎn)化為ucbv.其中uln y,vln x,cln a;將指數(shù)曲線yaebx轉(zhuǎn)化為ucbx.其中uln y,cln a.3非線性變量關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性變量關(guān)系(1)畫出散點(diǎn)圖,觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等)(2)由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型(如觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系,則選用線性回歸方程yabx)(3)按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)(如最小二乘法)(4)得出結(jié)果后分析是否有異常,若存在異常,則檢查數(shù)據(jù)是否有誤,或模型是

4、否合適等4建立回歸模型的基本步驟 有一位同學(xué)家里開了一個小賣部,他為了研究氣溫對熱茶銷售杯數(shù)的影響,經(jīng)過統(tǒng)計,得到一個賣出熱茶杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表:題型一線性回歸分析【例1】 氣溫x/504712151923273136熱茶銷售杯數(shù)y/杯156150 132 12813011610489937654(1)求熱茶銷售杯數(shù)y與氣溫x的線性回歸方程;(2)預(yù)測氣溫為10 時熱茶的銷售杯數(shù)思路探索 根據(jù)樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖利用散點(diǎn)圖直觀分析熱茶銷售杯數(shù)y與氣溫x具有線性相關(guān)關(guān)系,利用線性回歸方程中參數(shù)的計算公式可得線性回歸方程解(1)所給數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如下圖所示由圖可看出,這些點(diǎn)在一條直線附近,可以用

5、線性回歸方程來刻畫y與x之間的關(guān)系因?yàn)?,由公式計算得b2.352,ab147.767,所以y對x的線性回歸方程為y147.7672.352x.(2)對于氣溫10,由回歸方程可以預(yù)報熱茶的銷售杯數(shù)為y147.7672.352(10)171.287171(杯)規(guī)律方法進(jìn)行線性回歸分析的關(guān)鍵是畫出樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖,確定出變量具有線性相關(guān)關(guān)系,再求出回歸直線方程如果x,y的線性相關(guān)關(guān)系具有統(tǒng)計意義,就可以用線性回歸方程來作預(yù)測和控制預(yù)測是指對于x的取值范圍內(nèi)任一個x0,y取相應(yīng)值y0的估計;控制是指通過控制x的值把y的值控制在指定范圍內(nèi) 為了研究3月下旬的平均氣溫(x)與4月20日前棉花害蟲化蛹高峰日(

6、y)的關(guān)系,某地區(qū)觀察了2006年至2011年的情況,得到了下面的數(shù)據(jù):【訓(xùn)練1】 年份200620072008200920102011x/24.429.632.928.730.328.9y/日19611018(1)對變量x,y進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn);(2)據(jù)氣象預(yù)測,該地區(qū)在2012年3月下旬平均氣溫為27 ,試估計2012年4月化蛹高峰日為哪天解制表.題型二可線性化的回歸分析【例2】 (12分)在一化學(xué)反應(yīng)過程中,化學(xué)物質(zhì)的反應(yīng)速度y(g/min)與一種催化劑的量x(g)有關(guān),現(xiàn)收集了8組觀測數(shù)據(jù)列于表中:催化劑的量x/g1518212427303336化學(xué)物質(zhì)的反應(yīng)速度y/(gmin1)6830

7、277020565350審題指導(dǎo) 解答本題可先畫出散點(diǎn)圖,再選擇適宜的回歸方程求解【解題流程】 規(guī)范解答 根據(jù)收集的數(shù)據(jù),作散點(diǎn)圖(如圖),根據(jù)已有的函數(shù)知識,可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲數(shù)yc1ec2x的周圍,其中c1和c2是待定的參數(shù)令zln y,則zln yln c1c2x,即變換后的樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直線zabx(aln c1,bc2)的周圍(2分)(4分)由y與x的數(shù)據(jù)表可得到變換后的z與x的數(shù)據(jù)表: x1518212427303336z 1.792 2.079 3.401 3.296 4.248 5.323 4.174 5.858(6分) 作出z與x的散點(diǎn)圖(如圖)(8分)由

8、散點(diǎn)圖可觀察到,變換后的樣本點(diǎn)分布在一條直線的附近,所以可用線性回歸方程來擬合由z與x的數(shù)據(jù)表,可得線性回歸方程:z0.8480.81x,所以y與x之間的非線性回歸方程為:ye0.8480.81x. (12分)【題后反思】 可線性化的回歸分析問題,畫出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,選擇跟散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù)模型進(jìn)行變量代換,作出變換后樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖,用線性回歸模型擬合 電容器充電后,電壓達(dá)到100 V,然后開始放電,由經(jīng)驗(yàn)知道,此后電壓U隨時間t變化的規(guī)律用公式UAebt(b0)表示,現(xiàn)測得時間t(s)時的電壓U(V)如下表: 【訓(xùn)練2】 t/s0123456789 10U/V 1007555403020

9、151010 55試求:電壓U對時間t的回歸方程(提示:對公式兩邊取自然對數(shù),把問題轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問題) 對UAebt兩邊取對數(shù)得ln Uln Abt,令yln U,aln A,xt,則yabx,得y與x的數(shù)據(jù)如下表:根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖,如下圖所示,從圖中可以看出,y與x具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,由表中數(shù)據(jù)求得5,3.045,進(jìn)而可以求得b0.313,ab 4.61,所以y對x的線性回歸方程為y4.610.313x.x012345678910y 4.64.34.03.73.43.02.72.32.31.61.6解由yln U,得Uey,Ue4.610.313 xe4.16e0.313 x

10、,因此電壓U對時間t的回歸方程為Ue4.61e0.313 x. 在一次抽樣調(diào)查中測得樣本的5個樣本點(diǎn),數(shù)值如下表:試建立y與x之間的回歸方程誤區(qū)警示沒有判斷兩變量的相關(guān)性而致錯【示例】 x 0.250.5 1 2 4y16125 2 1錯解 由已知條件制下表: 序號xiyixiyixy10.251640.062 525620.51260.25144315512542244454141617.75362321.312 5430t421 0.50.25y 1612 521由散點(diǎn)圖也可以看出y與t呈近似的線性相關(guān)關(guān)系列表如下:序號tiyitiyity141664162562212244144315512540.5210.25450.2510.250.062 517.753694.2521

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