13　可線性化的回歸分析

1、會(huì)將非線性回歸模型經(jīng)過變換轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，進(jìn)而進(jìn)行回歸分析學(xué)習(xí)本節(jié)后還應(yīng)初步會(huì)將簡單的非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題(重點(diǎn)、難點(diǎn))1.3可線性化的回歸分析【課標(biāo)要求】【核心掃描】 對(duì)不具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量做統(tǒng)計(jì)分析，通過變量代換，轉(zhuǎn)化為線性回歸模型1非線性回歸分析 2非線性回歸方程曲線方程曲線圖形變換公式變換后的線性函數(shù)yaxbcln avln xuln y. . ucbv曲線方程曲線圖形變換公式變換后的線性函數(shù)yaebxcln auln y . .ucbx續(xù)表ucbv uabv 想一想：作兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖的主要目的是_ _提示直觀了解兩個(gè)變量之間的關(guān)系當(dāng)兩變量y與x不具有線性相關(guān)

2、關(guān)系時(shí)，要借助于散點(diǎn)圖，與已學(xué)過的函數(shù)(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等)的圖象相比較，找到合適的函數(shù)模型，利用變量代換轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)關(guān)系，從而使問題得以解決(1)確定變量：確定解釋變量為x，預(yù)報(bào)變量為y；(2)畫散點(diǎn)圖：通過觀察散點(diǎn)圖并與學(xué)過的函數(shù)(冪、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù))作比較，選取擬合效果好的函數(shù)模型；名師點(diǎn)睛1可線性化的回歸分析2解決非線性回歸問題的方法及步驟(3)變量置換：通過變量置換把非線性問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題；(4)分析擬合效果：通過計(jì)算相關(guān)指數(shù)或相關(guān)系數(shù)等來判斷擬合效果；(5)寫出非線性回歸方程在大量的實(shí)際問題中，研究的兩個(gè)變量不一定都呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，它們之間可能呈現(xiàn)指

3、數(shù)關(guān)系或?qū)?shù)關(guān)系等非線性關(guān)系等在某些情況下可以借助于線性回歸模型研究呈現(xiàn)非線性關(guān)系的兩個(gè)變量之間的關(guān)系我們往往將兩個(gè)非線性的變量關(guān)系轉(zhuǎn)化成線性的變量關(guān)系例如，將冪函數(shù)曲線yaxb轉(zhuǎn)化為ucbv.其中uln y，vln x，cln a；將指數(shù)曲線yaebx轉(zhuǎn)化為ucbx.其中uln y，cln a.3非線性變量關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性變量關(guān)系(1)畫出散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等)(2)由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型(如觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程yabx)(3)按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)(如最小二乘法)(4)得出結(jié)果后分析是否有異常，若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是

4、否合適等4建立回歸模型的基本步驟 有一位同學(xué)家里開了一個(gè)小賣部，他為了研究氣溫對(duì)熱茶銷售杯數(shù)的影響，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，得到一個(gè)賣出熱茶杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比表：題型一線性回歸分析【例1】 氣溫x/504712151923273136熱茶銷售杯數(shù)y/杯156150 132 12813011610489937654(1)求熱茶銷售杯數(shù)y與氣溫x的線性回歸方程；(2)預(yù)測氣溫為10 時(shí)熱茶的銷售杯數(shù)思路探索 根據(jù)樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖利用散點(diǎn)圖直觀分析熱茶銷售杯數(shù)y與氣溫x具有線性相關(guān)關(guān)系，利用線性回歸方程中參數(shù)的計(jì)算公式可得線性回歸方程解(1)所給數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如下圖所示由圖可看出，這些點(diǎn)在一條直線附近，可以用

5、線性回歸方程來刻畫y與x之間的關(guān)系因?yàn)?，由公式?jì)算得b2.352，ab147.767，所以y對(duì)x的線性回歸方程為y147.7672.352x.(2)對(duì)于氣溫10，由回歸方程可以預(yù)報(bào)熱茶的銷售杯數(shù)為y147.7672.352(10)171.287171(杯)規(guī)律方法進(jìn)行線性回歸分析的關(guān)鍵是畫出樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖，確定出變量具有線性相關(guān)關(guān)系，再求出回歸直線方程如果x，y的線性相關(guān)關(guān)系具有統(tǒng)計(jì)意義，就可以用線性回歸方程來作預(yù)測和控制預(yù)測是指對(duì)于x的取值范圍內(nèi)任一個(gè)x0，y取相應(yīng)值y0的估計(jì)；控制是指通過控制x的值把y的值控制在指定范圍內(nèi) 為了研究3月下旬的平均氣溫(x)與4月20日前棉花害蟲化蛹高峰日(

6、y)的關(guān)系，某地區(qū)觀察了2006年至2011年的情況，得到了下面的數(shù)據(jù)：【訓(xùn)練1】 年份200620072008200920102011x/24.429.632.928.730.328.9y/日19611018(1)對(duì)變量x，y進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)；(2)據(jù)氣象預(yù)測，該地區(qū)在2012年3月下旬平均氣溫為27 ，試估計(jì)2012年4月化蛹高峰日為哪天解制表.題型二可線性化的回歸分析【例2】 (12分)在一化學(xué)反應(yīng)過程中，化學(xué)物質(zhì)的反應(yīng)速度y(g/min)與一種催化劑的量x(g)有關(guān)，現(xiàn)收集了8組觀測數(shù)據(jù)列于表中：催化劑的量x/g1518212427303336化學(xué)物質(zhì)的反應(yīng)速度y/(gmin1)6830

7、277020565350審題指導(dǎo) 解答本題可先畫出散點(diǎn)圖，再選擇適宜的回歸方程求解【解題流程】 規(guī)范解答 根據(jù)收集的數(shù)據(jù)，作散點(diǎn)圖(如圖)，根據(jù)已有的函數(shù)知識(shí)，可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲數(shù)yc1ec2x的周圍，其中c1和c2是待定的參數(shù)令zln y，則zln yln c1c2x，即變換后的樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直線zabx(aln c1，bc2)的周圍(2分)(4分)由y與x的數(shù)據(jù)表可得到變換后的z與x的數(shù)據(jù)表： x1518212427303336z 1.792 2.079 3.401 3.296 4.248 5.323 4.174 5.858(6分) 作出z與x的散點(diǎn)圖(如圖)(8分)由

8、散點(diǎn)圖可觀察到，變換后的樣本點(diǎn)分布在一條直線的附近，所以可用線性回歸方程來擬合由z與x的數(shù)據(jù)表，可得線性回歸方程：z0.8480.81x，所以y與x之間的非線性回歸方程為：ye0.8480.81x. (12分)【題后反思】 可線性化的回歸分析問題，畫出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，選擇跟散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù)模型進(jìn)行變量代換，作出變換后樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖，用線性回歸模型擬合 電容器充電后，電壓達(dá)到100 V，然后開始放電，由經(jīng)驗(yàn)知道，此后電壓U隨時(shí)間t變化的規(guī)律用公式UAebt(b0)表示，現(xiàn)測得時(shí)間t(s)時(shí)的電壓U(V)如下表： 【訓(xùn)練2】 t/s0123456789 10U/V 1007555403020

9、151010 55試求：電壓U對(duì)時(shí)間t的回歸方程(提示：對(duì)公式兩邊取自然對(duì)數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問題) 對(duì)UAebt兩邊取對(duì)數(shù)得ln Uln Abt，令yln U，aln A，xt，則yabx，得y與x的數(shù)據(jù)如下表：根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，如下圖所示，從圖中可以看出，y與x具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，由表中數(shù)據(jù)求得5，3.045，進(jìn)而可以求得b0.313，ab 4.61，所以y對(duì)x的線性回歸方程為y4.610.313x.x012345678910y 4.64.34.03.73.43.02.72.32.31.61.6解由yln U，得Uey，Ue4.610.313 xe4.16e0.313 x

10、，因此電壓U對(duì)時(shí)間t的回歸方程為Ue4.61e0.313 x. 在一次抽樣調(diào)查中測得樣本的5個(gè)樣本點(diǎn)，數(shù)值如下表：試建立y與x之間的回歸方程誤區(qū)警示沒有判斷兩變量的相關(guān)性而致錯(cuò)【示例】 x 0.250.5 1 2 4y16125 2 1錯(cuò)解 由已知條件制下表： 序號(hào)xiyixiyixy10.251640.062 525620.51260.25144315512542244454141617.75362321.312 5430t421 0.50.25y 1612 521由散點(diǎn)圖也可以看出y與t呈近似的線性相關(guān)關(guān)系列表如下：序號(hào)tiyitiyity141664162562212244144315512540.5210.25450.2510.250.062 517.753694.2521