172-等腰三角形與勾股定理

1、2009年中考數(shù)學(xué)試題匯編之17.2-等腰三角形與勾股定理11（2009年衡陽(yáng)市）如圖，ABC中，ABAC，AD、AE分別是BAC和BAC和外角的平分線，BEAE（1）求證：DAAE；（2）試判斷AB與DE是否相等？并證明你的結(jié)論 【關(guān)鍵詞】等腰三角形、矩形ABCDEF【答案】解：（1）證明：（2）ABDE，理由是：12（山東省臨沂市）如圖，A，B是公路l（l為東西走向）兩旁的兩個(gè)村莊，A村到公路l的距離AC1km，B村到公路l的距離BD2km，B村在A村的南偏東方向上（1）求出A，B兩村之間的距離；（2）為方便村民出行，計(jì)劃在公路邊新建一個(gè)公共汽車(chē)站P，要求該站到兩村的距離相等，請(qǐng)用尺規(guī)在圖

2、中作出點(diǎn)P的位置（保留清晰的作圖痕跡，并簡(jiǎn)要寫(xiě)明作法）北東BACDl解：（1）方法一：設(shè)與的交點(diǎn)為，根據(jù)題意可得和都是等腰直角三角形，兩村的距離為（km）方法二：過(guò)點(diǎn)作直線的平行線交的延長(zhǎng)線于易證四邊形是矩形，在中，由，可得（km）兩村的距離為kmBACDlNMOP（2）作圖正確，痕跡清晰作法：分別以點(diǎn)為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于兩點(diǎn)，作直線；直線交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求（7分13（四川省瀘州市）在某段限速公路BC上(公路視為直線)，交通管理部門(mén)規(guī)定汽車(chē)的最高行駛速度不能超過(guò)60千米時(shí) (即米秒)，并在離該公路100米處設(shè)置了一個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)A在如圖8所示的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A位于軸上，測(cè)速路段B

3、C在軸上，點(diǎn)B在A的北偏西60°方向上，點(diǎn)C在A的北偏東45°方向上，另外一條高等級(jí)公路在軸上，AO為其中的一段(1)求點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)一輛汽車(chē)從點(diǎn)B勻速行駛到點(diǎn)C所用的時(shí)間是15秒，通過(guò)計(jì)算，判斷該汽車(chē)在這段限速路上是否超速?(參考數(shù)據(jù)：)(3)若一輛大貨車(chē)在限速路上由C處向西行駛，一輛小汽車(chē)在高等級(jí)公路上由A處向北行駛，設(shè)兩車(chē)同時(shí)開(kāi)出且小汽車(chē)的速度是大貨車(chē)速度的2倍，求兩車(chē)在勻速行駛過(guò)程中的最近距離是多少?解：在RtAOB中，OA100,BAO60°所以O(shè)BOA·tanBAO100RtAOC中,CAO45°所以O(shè)COA100,所以B

4、(-100,0),C（100，0）（2）BCBO+CO100+100,18>,所以這輛車(chē)超速了。（3）高大貨車(chē)行駛到某一時(shí)刻行駛了x米，則此時(shí)小汽四行駛 了2x米，且兩車(chē)的距離為當(dāng)x60時(shí)，y有最小值是米，答：兩四相距的最近距離為米14（2009年重慶）作圖，請(qǐng)你在下圖中作出一個(gè)以線段AB為一邊的等邊（要求：用尺規(guī)作圖，并寫(xiě)出已知、求作，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法和結(jié)論）AB19題圖已知：求作：【關(guān)鍵詞】等邊三角形, 尺規(guī)作圖【答案】解：已知：線段求作：等邊作圖如下：（注：每段弧各1分，連接線段各1分）ABC15（2009年重慶）已知：如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90

5、6;，DEAC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且（1）求證：；（2）若，求AB的長(zhǎng)DCEBGAF【關(guān)鍵詞】勾股定理、直角三角形性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)和全等三角形的判定方法【答案】（1）證明：于點(diǎn)，連接，AGAG,ABAF，（2）解：ADDC,DFAC，DCEBGAF16（2009年廣西欽州）已知：如圖2，O1與坐標(biāo)軸交于A（1，0）、B（5，0）兩點(diǎn)，點(diǎn)O1的縱坐標(biāo)為求O1的半徑【關(guān)鍵詞】垂徑定理、勾股定理【答案】解：過(guò)點(diǎn)O1作O1CAB，垂足為C，則有ACBC由A（1，0）、B（5，0），得AB4，AC2在中，O1的縱坐標(biāo)為，O1CO1的半徑O1A317(2009年甘肅定西)如圖1

6、3，ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACBECD90°，D為AB邊上一點(diǎn)，求證：（1）；（2）【關(guān)鍵詞】全等三角形、勾股定理【答案】證明:（1） ， 即 ， ACEBCD（2） 是等腰直角三角形， ACEBCD， 由（1）知AEDB， 18（2009年莆田）已知：等邊的邊長(zhǎng)為探究（1）：如圖，過(guò)等邊的頂點(diǎn)依次作的垂線圍成求證：是等邊三角形且； 探究（2）：在等邊內(nèi)取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作垂足分別為點(diǎn) 如圖2，若點(diǎn)是的重心，我們可利用三角形面積公式及等邊三角形性質(zhì)得到兩個(gè)正確結(jié)論（不必證明）：結(jié)論1；結(jié)論2；如圖3，若點(diǎn)是等邊內(nèi)任意一點(diǎn)，則上述結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不

7、成立，請(qǐng)說(shuō)明理由NMAGCBAFCEBDAFCEBD（圖1）（圖2）（圖3）OAFCEBD（圖4）OO【關(guān)鍵詞】等邊三角形證明：如圖1，為等邊三角形NMAGCB（圖1）同理：為等邊三角形在中，在中，（2）：結(jié)論1成立AFCEBD（圖2）OH證明；方法一：如圖2，連接由 作垂足為，則方法二：如圖3，過(guò)點(diǎn)作分別交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，是等邊三角形四邊形是矩形在中，AFCEBDOMHG在中，在中， AFCEBDOMGN（2）結(jié)論2成立證明：方法一：如圖，過(guò)頂點(diǎn)依次作邊的垂線圍成由（1）得為等邊三角形且過(guò)點(diǎn)分別作于,于于點(diǎn)于點(diǎn)由結(jié)論1得： 又四邊形為矩形同理：，方法二：（同結(jié)論1方法二的輔助線）AFCEB

8、D（圖3）OMHG在中，在中，同理：由結(jié)論1得：AFCEBD（圖5）O方法三：如圖5，連接，根據(jù)勾股定理得：整理得：12分20(2009年南充)如圖8，半圓的直徑，點(diǎn)C在半圓上，（1）求弦的長(zhǎng)；（2）若P為AB的中點(diǎn)，交于點(diǎn)E，求的長(zhǎng)PBCEA【關(guān)鍵詞】圓的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)【答案】解：是半圓的直徑，點(diǎn)在半圓上，在中， （2），又，19(2009年湖州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與軸，軸相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是軸的負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為圓心，3為半徑作（1）連結(jié)，若，試判斷與軸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)為何值時(shí)，以與直線的兩個(gè)交點(diǎn)和圓心為頂點(diǎn)的三角形是正三角形？BAOxlyPAOx

9、ly（備用圖）【關(guān)鍵詞】直線與圓的位置關(guān)系，相切的判定，正三角形的性質(zhì)，相似的性質(zhì)【答案】第（1）題BAOxlyPBAOxlyCEDP1P2第（2）題解：（1）與軸相切直線與軸交于，與軸交于，由題意，在中，等于的半徑，與軸相切 （2）設(shè)與直線交于兩點(diǎn)，連結(jié)當(dāng)圓心在線段上時(shí)，作于為正三角形，即，當(dāng)圓心在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可得，當(dāng)或時(shí)，以與直線的兩個(gè)交點(diǎn)和圓心為頂點(diǎn)的三角形是正三角形20(2009年湖州)若P為所在平面上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)叫做的費(fèi)馬點(diǎn)（1）若點(diǎn)為銳角的費(fèi)馬點(diǎn)，且，則的值為_(kāi)；（2）如圖，在銳角外側(cè)作等邊連結(jié)求證：過(guò)的費(fèi)馬點(diǎn)，且ACB【關(guān)鍵詞】閱讀理解題，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的

10、判定及性質(zhì)，綜合題【答案】（1）2 （2）ACBPE證明：在上取點(diǎn)，使，連結(jié)，再在上截取，連結(jié)，為正三角形，為正三角形，為的費(fèi)馬點(diǎn)，過(guò)的費(fèi)馬點(diǎn)，且+21(2009年溫州)如圖，在ABC中，C90°，AC3，BC40為BC邊上一點(diǎn)，以0為圓心，OB為半徑作半圓與BC邊和AB邊分別交于點(diǎn)D、點(diǎn)E，連結(jié)DE (1)當(dāng)BD3時(shí)，求線段DE的長(zhǎng)； (2)過(guò)點(diǎn)E作半圓O的切線，當(dāng)切線與AC邊相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為F求證：FAE是等腰三角形【關(guān)鍵詞】直角三角形、圓的性質(zhì)，相似的判定，切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定【答案】解：（1）C90°，AC3，BC4，AB5，DB為直徑，DEBC90

11、6;，又BB，DBEABC即DE。（2）解法一：連結(jié)OE，EF為半圓O的切線，DEO+DEF90°，AEF+DEF90°，AEFDEO，DBEABC，AEDB，又EDODEO，AEFA，F(xiàn)AE是等腰三角形。解法二：連結(jié)OE，EF為半圓O的切線，AEF+OEB90°，C90°，A+B90°，OEOBOEBB，AEFAFAE是等腰三角形。22（2009臨沂）如圖，A，B是公路l（l為東西走向）兩旁的兩個(gè)村莊，A村到公路l的距離AC1km，B村到公路l的距離BD2km，B村在A村的南偏東方向上（1）求出A，B兩村之間的距離；（2）為方便村民出行，計(jì)劃

12、在公路邊新建一個(gè)公共汽車(chē)站P，要求該站到兩村的距離相等，請(qǐng)用尺規(guī)在圖中作出點(diǎn)P的位置（保留清晰的作圖痕跡，并簡(jiǎn)要寫(xiě)明作法）北東BACDl【關(guān)鍵詞】等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，尺規(guī)作圖【答案】解：（1）方法一：設(shè)與的交點(diǎn)為，根據(jù)題意可得和都是等腰直角三角形，兩村的距離為（km）方法二：過(guò)點(diǎn)作直線的平行線交的延長(zhǎng)線于易證四邊形是矩形，在中，由，可得（km）兩村的距離為km（2）作圖正確，痕跡清晰BACDlNMOP作法：分別以點(diǎn)為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于兩點(diǎn)，作直線；直線交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求1（2009年中山）如圖所示，是等邊三角形， 點(diǎn)是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)到，使，（1）用尺規(guī)作圖的方法，過(guò)

13、點(diǎn)作，垂足是（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；（2）求證：【關(guān)鍵詞】等腰三角形，等邊三角形【答案】解：（1）作圖見(jiàn)下圖，ACBDEM（2）是等邊三角形，是的中點(diǎn)，平分（三線合一），又，又，又，23（2009年牡丹江）有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長(zhǎng)分別為現(xiàn)在要將綠地?cái)U(kuò)充成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以為直角邊的直角三角形，求擴(kuò)充后等腰三角形綠地的周長(zhǎng)【關(guān)鍵詞】等腰三角形，勾股定理【答案】在中，由勾股定理有：，擴(kuò)充部分為擴(kuò)充成等腰應(yīng)分以下三種情況 如圖1，當(dāng)時(shí)，可求 得的周長(zhǎng)為32m如圖2，當(dāng)時(shí)，可求由勾股定理得：，得的周長(zhǎng)為如圖3，當(dāng)為底時(shí)，設(shè)則由勾股定理得：，得的周長(zhǎng)為ADCBADBCADBC圖

14、1圖2圖324(2009年寧德市)（本題滿(mǎn)分13分）如圖，已知拋物線C1：的頂點(diǎn)為P，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1（1）求P點(diǎn)坐標(biāo)及a的值；（4分）（2）如圖（1），拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，C3的頂點(diǎn)為M，當(dāng)點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱(chēng)時(shí)，求C3的解析式；（4分）（3）如圖（2），點(diǎn)Q是x軸正半軸上一點(diǎn)，將拋物線C1繞點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C4拋物線C4的頂點(diǎn)為N，與x軸相交于E、F兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊），當(dāng)以點(diǎn)P、N、F為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)（5分）yxAOBPN圖2

15、C1C4QEF圖（2）yxAOBPM圖1C1C2C3圖（1）【關(guān)鍵詞】二次函數(shù),勾股定理的運(yùn)用yxAOBPM圖(1)C1C2C3HG解：（1）由拋物線C1：得頂點(diǎn)P的為（-2，-5） 點(diǎn)B（1，0）在拋物線C1上 解得，a （2）連接PM，作PHx軸于H，作MGx軸于G點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱(chēng)PM過(guò)點(diǎn)B，且PBMBPBHMBGMGPH5，BGBH3頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，5） 拋物線C2由C1關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)得到，拋物線C3由C2平移得到拋物線C3的表達(dá)式為 （3）拋物線C4由C1繞點(diǎn)x軸上的點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°得到頂點(diǎn)N、P關(guān)于點(diǎn)Q成中心對(duì)稱(chēng) 由（2）得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為5設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（m，5）

16、 yxAOBPN圖(2)C1C4QEFHGK 作PHx軸于H，作NGx軸于G 作PKNG于K 旋轉(zhuǎn)中心Q在x軸上EFAB2BH6 FG3，點(diǎn)F坐標(biāo)為（m+3，0） H坐標(biāo)為（2，0），K坐標(biāo)為（m，-5），根據(jù)勾股定理得 PN2NK2+PK2m2+4m+104 PF2PH2+HF2m2+10m+50 NF252+3234 當(dāng)PNF90º時(shí)，PN2+ NF2PF2，解得m，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，0） 當(dāng)PFN90º時(shí)，PF2+ NF2PN2，解得m，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）PNNK10NF，NPF90º綜上所得，當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）或（，0）時(shí)，以點(diǎn)P、N、F為頂點(diǎn)的三角形是直角

17、三角形 25(2009年河北)圖10是一個(gè)半圓形橋洞截面示意圖，圓心為O，直徑AB是河底線，弦CD是水位線，CDAB，且CD 24 m，OECD于點(diǎn)E已測(cè)得sinDOE  （1）求半徑OD；（2）根據(jù)需要，水面要以每小時(shí)05 m的速度下降，則經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間才能將水排干？AOB圖10ECD 【關(guān)鍵詞】解直角三角形,勾股定理,解：（1）OECD于點(diǎn)E，CD24，ED 12 在RtDOE中，sinDOE  ，OD 13（m） （2）OE 將水排干需：5÷0510（小時(shí)） 26(2009年濰坊)在四邊形中，且取的中點(diǎn)，連結(jié)（1）試判斷三角形的形狀；（2）在線段上，

18、是否存在點(diǎn)，使若存在，請(qǐng)求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由PDCBA解：（1）在四邊形中，四邊形為直角梯形（或矩形）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，又， 與是全等的等腰直角三角形，是等腰直角三角形 （2）存在點(diǎn)使 以為直徑，為圓心作圓當(dāng)時(shí)，四邊形為矩形，圓與相切于點(diǎn)，此時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，存在點(diǎn)，使得，此時(shí) 當(dāng)時(shí)，四邊形為直角梯形，圓心到的距離小于圓的半徑，圓與相交，上存在兩點(diǎn)，使， 過(guò)點(diǎn)作，在中，連結(jié)，則，在直角三角形中，同理可得：綜上所述，在線段上存在點(diǎn)，使當(dāng)時(shí)，有一點(diǎn)，；當(dāng)時(shí)，有兩點(diǎn)， PDCBAQEM2M127（09湖北宜昌）已知：如圖， AF平分BAC，BCAF， 垂足為E，點(diǎn)D與

19、點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱(chēng)，PB分別與線段CF， AF相交于P，M(1)求證：ABCD；(2)若BAC2MPC，請(qǐng)你判斷F與MCD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由 【關(guān)鍵詞】全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角性的性質(zhì)【答案】解：(1)證明：AF平分BAC， CADDABBACD與A關(guān)于E對(duì)稱(chēng)，E為AD中點(diǎn)BCAD，BC為AD的中垂線，ACCD 在RtACE和RtABE中，注：證全等也可得到ACCDCAD+ACEDAB+ABE90°， CADDABACEABE，ACAB 注：證全等也可得到ACABABCD (2)BAC2MPC， 又BAC2CAD，MPCCADACCD，CADCDA， MPCCDA MPFC

20、DM ACAB，AEBC，CEBE 注：證全等也可得到CEBEAM為BC的中垂線，CMBM 注：證全等也可得到CMBMEMBC，EM平分CMB，(等腰三角形三線合一) CMEBME 注：證全等也可得到CMEBME BMEPMF，PMFCME， MCDF(三角形內(nèi)角和) 注：證三角形相似也可得到MCDF28（09湖南懷化）如圖12，在直角梯形OABC中， OACB，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（15，0），B（10，12），動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從O、B兩點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿BC向C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)線段OB、PQ相交于點(diǎn)D，

21、過(guò)點(diǎn)D作DEOA，交AB于點(diǎn)E，射線QE交軸于點(diǎn)F設(shè)動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒）（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PABQ是等腰梯形，請(qǐng)寫(xiě)出推理過(guò)程；（2）當(dāng)t2秒時(shí)，求梯形OFBC的面積；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，PQF是等腰三角形？請(qǐng)寫(xiě)出推理過(guò)程【關(guān)鍵詞】一元二次方程解法及應(yīng)用、勾股定理及逆定理、等腰三角形、等腰梯形的判定【答案】解：（1）如圖4，過(guò)B作則過(guò)Q作則要使四邊形PABQ是等腰梯形，則，即或（此時(shí)是平行四邊形，不合題意，舍去）（2）當(dāng)時(shí)，。（3）當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)， 綜上，當(dāng)時(shí)，PQF是等腰三角形 29（09湖南邵陽(yáng)）如圖，在梯形中，將延長(zhǎng)至點(diǎn)，使（1）求的度數(shù)；（2）求證：為等腰三角

22、形DAFBC【關(guān)鍵詞】等腰三角性的性質(zhì)與判定、等腰梯形的性質(zhì)【答案】（1）在中，；（2）連接在梯形中，在四邊形中，四邊形是平行四邊形，即為等腰三角形【關(guān)鍵詞】直角三角形的有關(guān)計(jì)算、勾股定理【答案】C30（2009年湖北十堰市）如圖，在一次數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，小明同學(xué)在點(diǎn)P處測(cè)得教學(xué)樓A位于北偏東60°方向，辦公樓B位于南偏東45°方向小明沿正東方向前進(jìn)60米到達(dá)C處，此時(shí)測(cè)得教學(xué)樓A恰好位于正北方向，辦公樓B正好位于正南方向求教學(xué)樓A與辦公樓B之間的距離（結(jié)果精確到01米）（供選用的數(shù)據(jù)：1414，1732）【關(guān)鍵詞】直角三角形的有關(guān)計(jì)算、測(cè)量問(wèn)題、勾股定理【答案】解：由題意可

23、知 ACP BCP 90°，APC30°，BPC45°2分在RtBPC中，BCP90°，BPC45°，在RtACP中，ACP90°，APC30°， 60+20×1732 9464946(米) 答：教學(xué)樓A與辦公樓B之間的距離大約為946米說(shuō)明：（1）其它解法請(qǐng)參照上述評(píng)分說(shuō)明給分；（2）不作答不扣分31(2009年達(dá)州)如圖10，O的弦ADBC,過(guò)點(diǎn)D的切線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，ACDE交BD于點(diǎn)H，DO及延長(zhǎng)線分別交AC、BC于點(diǎn)G、F(1)求證：DF垂直平分AC；（2）求證：FCCE；（3）若弦AD5，AC8，求O的半徑 【關(guān)鍵詞】圓,平行四邊形,勾股定理【答案】（1）DE是O的切線，且DF過(guò)圓心ODFDE又ACDEDFACDF垂直平分AC （2）由（1）知：AGGC又ADBCDAGFCG又AGDCGFAGDCGF（ASA）ADFCADBC且ACDE四邊形ACED是平行四邊形ADCEFCCE5分（3）連結(jié)AO； AGGC，AC8cm，AG4cm在RtAGD中，由勾股定理得 GDAD2-AG252-423cm 設(shè)圓的半徑為r，則AO