楊輝與縱橫圖

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上楊輝與縱橫圖 楊輝(約13世紀)，字謙光，是南宋時期的數(shù)學家、數(shù)學教育家，他生活在錢塘(現(xiàn)杭州)一帶，他的著作有詳解九章算法。 縱橫圖最早起源于中國縱橫圖在國外譯為奇平方(MagicSquares)或幻方(或魔方陣)，日本人稱為方陣，楊輝稱為縱橫圖一般是指將連續(xù)的若干個自然數(shù)按一定規(guī)則進行“安排”，形成滿足某種要求的圖形將n²(n>3)個連續(xù)的自然數(shù)排列成縱橫各有n個數(shù)的正方形，使每行、每列以及兩對角線上的n個數(shù)字之和均相等，這樣的正方形圖叫做n階縱橫圖，也叫做n階幻方 世界上最古老的幻方是我國著名的“九宮圖”它是由1到9這九個連續(xù)的自然數(shù)排列成的每行

2、、每列以及兩對角線上的三個數(shù)字之和均等于15的三階幻方九宮圖是我國有著悠久歷史的一種數(shù)字組合游戲，據(jù)傳說，伏羲氏得了天下，黃河龍馬馱了一張圖，作為禮物獻給他，稱為“河圖”公元前2200年左右大禹治水時、洛水中浮出一只大烏龜，它的背上有圖有字，人們稱之為“洛書”“洛書”所畫的圖中共有黑、白小圓圈45個把這些連在一起的小圓圈用數(shù)目表示出來，得到l，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數(shù)人們把由九個數(shù)組成3行3列的數(shù)字方陣，如用現(xiàn)代的數(shù)字來書寫，這個方陣表示的的確就是一個九宮圖，稱為3階幻方(如圖13)周易·系辭傳說：“河出圖，洛出書，圣人則之”這是說黃河出現(xiàn)河圖，洛水出現(xiàn)洛書，圣人把它們

3、當作天賜作為治理天下的準則，關于河圖，洛書這些簡單的數(shù)字排列，最早可考查的資料是大戴記(公元80年)，歷代學者在著書中都把這些圖形描寫成神秘哲學的一個重要部分反映出中國文化的特色，同時對后世哲學、占卜、音樂和數(shù)學等都有深遠影響 美妙的九宮圖作為數(shù)學游戲，引起了一代又一代人的興趣在參與游戲的過程中，人們通過認真的思考，不斷地提出巧妙的對策與方法，同時在九宮圖的基礎上，逐漸地刨造出一批類似的、但更為復雜的數(shù)字組合游戲 在早期的幻方愛好者中，我國13世紀的宋朝數(shù)學家楊輝成績最大，他利用數(shù)學方法尋找規(guī)律，巧妙地構造出許多別具風格的幻方來，楊輝構造的九宮圖，方法簡單又巧妙例如，他將1到9這九個數(shù)字斜著排

4、列（如圖14），然后將上、下兩個數(shù)字對調，左右兩個數(shù)字對調，最后將對調后的四個數(shù)字填人相鄰的空格中，就得到一個九宮圖 楊輝構造的四階幻方，方法也十分簡便，他先將1到16這16個連續(xù)的自然數(shù)按順序排列在四行四列上（如圖15），然后把兩條對角線上關于正方形中心對稱的四對數(shù)分別對調，這樣就得到一個行、列以及對角線上數(shù)字之和都是34的一個四階幻方 (a)依次排四行 (b)外四角對換 (c)內四角對換 楊輝在構造了三、四階幻方的基礎上，繼續(xù)對幻方進行系統(tǒng)研究，陸續(xù)地構造出五階、六階、七階、八階、九階、十階幻方后來，人們經(jīng)過研究，得出計算任意階數(shù)幻方的各行、各列、各條對角線上所有數(shù)的和的公式為： N。=-

5、 n(n²+1) 其中n為幻方的階數(shù)，所求的數(shù)為N。 此外，他還突破了幻方為正方形的限制，將它擴大到不同的形狀，楊輝對幻方的研究和推廣，大大豐富了這種數(shù)字游戲的內容，直到今天，在國際上一些科學家利用幻方這種變化無窮的特點，把它作為智力測驗的工具和智力玩具提高了它在訓練人們機智方面的層次 對幻方的深入研究也為人們帶來了新的啟示，將幻方中的自然數(shù)換成一般的物體，也對它們按一定規(guī)則進行安排”，并進一步討論這種“安排”的存在性問題、計數(shù)問題、構造問題和優(yōu)化問題，就構成了今天的數(shù)學分支組合數(shù)學研究的主要內容古老的幻方作為歷史上最早的組合結構，開創(chuàng)了組合數(shù)學的先河，顯示了中華民族的聰明才智，近代它還被現(xiàn)在計算機程序設計、人工智能等許多方面都有著廣泛的應用?；梅阶钤缬涊d于我國公元前500年的春秋時期大戴禮中，這說明我國人民在2500年前就已經(jīng)知道了幻方的排列規(guī)律，而在國外，公元130年，希臘人塞翁才第一次提起幻方，我國不僅擁有幻方的發(fā)明權，而且是對幻方進行深入研究的國家，公元13世紀的數(shù)學家楊輝已經(jīng)編制出3-10階幻方，記載在他1275年寫的續(xù)古摘奇