Ch3.1-3(動量角動量及其守恒定律)

1、第三章第三章 動量動量 角動量及其守恒定律角動量及其守恒定律(Momentum, Angular Momentum and Their Conservative Law) 在外力作用下，物體的運動狀態(tài)會發(fā)生變化。同在外力作用下，物體的運動狀態(tài)會發(fā)生變化。同時力作用于物體往往還有一段持續(xù)時間，或一段持時力作用于物體往往還有一段持續(xù)時間，或一段持續(xù)距離。這就是力對時間和力對空間的累積作用。續(xù)距離。這就是力對時間和力對空間的累積作用。這兩種累積作用使物體的動量（角動量）、動能或這兩種累積作用使物體的動量（角動量）、動能或能量發(fā)生轉(zhuǎn)移。在一定條件下，系統(tǒng)的動量（角動能量發(fā)生轉(zhuǎn)移。在一定條件下，系統(tǒng)的動

2、量（角動量）或能量將保持守恒。動量（角動量）守恒和能量）或能量將保持守恒。動量（角動量）守恒和能量守恒定律不僅適用于力學，而且適用于物理學的量守恒定律不僅適用于力學，而且適用于物理學的其他運動。其他運動。本章主要學習動量定理及動量守恒定律。本章主要學習動量定理及動量守恒定律。3-1 質(zhì)點的質(zhì)點的動量定理動量定理 (Principle of momentum of particles)一、一、 沖量（沖量（Impulse）由于由于dtPdF 所以所以PddtF dtF表示力的時間累積，表示力的時間累積，叫叫 dt 時間內(nèi)合外力時間內(nèi)合外力F的沖量。的沖量。（1）力）力 是恒力是恒力F)(12tt

3、FI 沖量是一個矢量，常用沖量是一個矢量，常用 表示。它表征了力對時間的表示。它表征了力對時間的累積效應(yīng)。累積效應(yīng)。一段時間的沖量：一段時間的沖量：IFtt1t2O（2）力）力 是變力是變力F在很短時間間隔在很短時間間隔 ti 內(nèi)，內(nèi)，iF可以看成恒力可以看成恒力iiitFI 在在 t1 t2 時間內(nèi)時間內(nèi) iiiiitFII 21lim0 max 0ttiiitidtFtFItitit2t1tFiF(t)O , , 212121 ttzzttyyttxxdtFIdtFIdtFI直角坐標的分量形式：直角坐標的分量形式：這表明：質(zhì)點所受合外力的沖量等于系統(tǒng)動量的增量。這表明：質(zhì)點所受合外力的沖量

4、等于系統(tǒng)動量的增量。2 2）積分形式）積分形式對對微分形式微分形式作積分，即作積分，即 2121ppttPddtF令令 21ttdtFI則有則有12PPI 力對時間的累積作用力對時間的累積作用 = = 動量增量動量增量 （原因）（原因） （效果）（效果）二、二、質(zhì)點的動量定理質(zhì)點的動量定理1 1）微分形式）微分形式PtFdd 動量定理的微分式動量定理的微分式動量定理的積分式動量定理的積分式由動力學的基本方程由動力學的基本方程tPFdd 3）碰撞碰撞 (1)(1)沖力沖力 碰撞過程中物體間相互作用時間極碰撞過程中物體間相互作用時間極短，在這一過程中，短，在這一過程中，相互作用力相互作用力很大，而

5、且往往隨時很大，而且往往隨時間變化，這種力通常稱為間變化，這種力通常稱為沖力沖力。tPPttdtFFtt 121221tPtPPttdtFFtt 121221若沖力很大若沖力很大, ,其它外力可忽略時其它外力可忽略時, ,則則若其它外力不可忽略時若其它外力不可忽略時, ,則則 是是合外力的平均。合外力的平均。F(2)平均沖力平均沖力 沖力對碰撞時間的平均值沖力對碰撞時間的平均值OFF1t2tt4）動量定理分量形式動量定理分量形式1221PPdtFItt 的分量式為：的分量式為：xxttxxPPdtFI1221 1221yyttyyPPdtFI 1221zzttzzPPdtFI 即系統(tǒng)所受合外力

6、的沖量在某一方向上的分量等于即系統(tǒng)所受合外力的沖量在某一方向上的分量等于系統(tǒng)動量在該方向上分量的增量。系統(tǒng)動量在該方向上分量的增量。 例題例題1 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 0.2kg 的皮球，向地板落下，以的皮球，向地板落下，以 8m/s 的速率與地板相碰，并以近似相同的速率彈回，的速率與地板相碰，并以近似相同的速率彈回，接觸時間為接觸時間為 10-3s。求：。求：(1) 地板對球的平均作用力；地板對球的平均作用力；(2) 比較沖力的沖量和重力的沖量。比較沖力的沖量和重力的沖量。解：解：(1) 取地板為參考系，取地板為參考系，y 軸向上為正，由軸向上為正，由12PPI 得：得：sm.k2 . 32)(

7、1121221gmvmvmvPPFdttt N)(3200102 .3321 tFdtFtt(2) 在計算在計算 21dtttF時時 F 應(yīng)為合外力，除沖力外還有重力，應(yīng)為合外力，除沖力外還有重力，在在(1)(1)計算中忽略了重力。若考慮重力，則應(yīng)有：計算中忽略了重力。若考慮重力，則應(yīng)有：mgFFFF 沖沖重重沖沖kgm/s 202. 3d3213100100 mgdtdtFtFtt沖沖求沖力的步驟：求沖力的步驟：1. 選物體確定研究對象，分析力；選物體確定研究對象，分析力；2. 確定物體的始末狀態(tài)，列矢量方程；確定物體的始末狀態(tài)，列矢量方程；3. 用解析或幾何方法解方程；用解析或幾何方法解方

8、程；4. 用牛頓定律求出代求的力。用牛頓定律求出代求的力。 例題例題2 已知：已知：60 ,05. 0 , stvv求：求：FvmvmvmtF Oxyvv ,/5 ;20. 0smvkgm 解：解：以球為研究對象，設(shè)墻對球的平均作用以球為研究對象，設(shè)墻對球的平均作用力為力為 ，由動量定理得：，由動量定理得：F建立圖示坐標系，將上式沿建立圖示坐標系，將上式沿 x 軸和軸和 y 軸分解：軸分解：xxxmvmvtF yyymvmvtF 由圖知：由圖知： sin ,sinvvvvxx cos ,cosvvvvyy 因而：因而： sinsinmvmvtFx 0 )cos(cos mvmvtFy cos2

9、mv Oxyvv 故：故：0 xFtmvFy cos2)(2005. 052 . 0Ntmv 由牛頓第三定律，球?qū)Φ淖饔昧陀膳ｎD第三定律，球?qū)Φ淖饔昧?Fy 大小相等，大小相等，方向相反方向相反另解另解（幾何法）幾何法）vv v vmtf 由圖知：由圖知：|vv | vmtf tvmf / |0 內(nèi)內(nèi)if一、質(zhì)點系的一、質(zhì)點系的內(nèi)力與外力內(nèi)力與外力 對一個質(zhì)點系，系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點之間的相互作用力對一個質(zhì)點系，系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點之間的相互作用力稱為內(nèi)力，系統(tǒng)外物體對系統(tǒng)的作用力稱為外力。稱為內(nèi)力，系統(tǒng)外物體對系統(tǒng)的作用力稱為外力。13f12f3F2F1F3m2m1m21f31f23f32f質(zhì)點系所

10、有內(nèi)力之和為零：質(zhì)點系所有內(nèi)力之和為零：內(nèi)內(nèi)力力 ; , ; , ; ,322331132112ffffff外外力力 , , ,321FFF3-2 質(zhì)點系的質(zhì)點系的動量定理動量定理 (Principle of momentum of particles system)二、二、質(zhì)點系的動力學方程質(zhì)點系的動力學方程 N 個質(zhì)點的質(zhì)點系個質(zhì)點的質(zhì)點系 m1、m2、.mN，第，第 i 個質(zhì)點個質(zhì)點的位矢為的位矢為 ，受力為受力為 ，動量為，動量為 ，則動力，則動力學方程為學方程為irifdtrdmPiii dtPdfffiiii 外外內(nèi)內(nèi)對對 N 個質(zhì)點的個質(zhì)點的動力學方程求和，得動力學方程求和，得

11、NiiNiiNiidtPdff111外外內(nèi)內(nèi)dtPdF 外外 NiiNiiNiidtPdff111外外內(nèi)內(nèi)因為因為01 Niif內(nèi)內(nèi)令令外外外外FfNii 1 合外力合外力PdtdPdtddtPdFNiiNii )(11外外 NiiPP1 系系統(tǒng)的總動量統(tǒng)的總動量 質(zhì)質(zhì)點系的動力學方程點系的動力學方程 上式表明：質(zhì)點系所受合外力等于系統(tǒng)總動量的變化上式表明：質(zhì)點系所受合外力等于系統(tǒng)總動量的變化率。內(nèi)力可改變一個質(zhì)點的動量，對系統(tǒng)動量的改變無率。內(nèi)力可改變一個質(zhì)點的動量，對系統(tǒng)動量的改變無貢獻。貢獻。這表明：系統(tǒng)所受合外力的沖量等于系統(tǒng)動量的增量。這表明：系統(tǒng)所受合外力的沖量等于系統(tǒng)動量的增量。

12、（2 2）積分形式）積分形式對對微分形式微分形式作積分，即作積分，即 2121ppttPddtF外外令令 21ttdtFI外外則有則有12PPI 力對時間的累積作用力對時間的累積作用 = = 動量增量動量增量 （原因）（原因） （效果）（效果） 注意注意 整個系統(tǒng)整個系統(tǒng) 相對同一參考系相對同一參考系 iiFF外外2）質(zhì)點系的動量定理質(zhì)點系的動量定理（1 1）微分形式）微分形式PtFdd 外外 動量定理的微分式動量定理的微分式動量定理的積分式動量定理的積分式3-3 動量守恒定律動量守恒定律(conversation law of momentum)（1669年（荷蘭）惠更斯年（荷蘭）惠更斯 C

13、. Huygens）對質(zhì)點系，由對質(zhì)點系，由dtPdF 知，當知，當0 F時時0 dtPdConstant PConstant11 iNiiNiivmP 動量守恒定律動量守恒定律應(yīng)用動量守恒定律時應(yīng)注意：應(yīng)用動量守恒定律時應(yīng)注意：系統(tǒng)的選擇是任意的，內(nèi)、外力也是相對的系統(tǒng)的選擇是任意的，內(nèi)、外力也是相對的(合理合理 選擇系統(tǒng)選擇系統(tǒng))2., 0 iF有以下幾種情況：有以下幾種情況：a. 不受外力；不受外力；b. 外力矢量合為零；外力矢量合為零；c. 內(nèi)力內(nèi)力 外力。外力。0 F時，時，Constant P并不意味著每個質(zhì)點的動量并不意味著每個質(zhì)點的動量不變，在內(nèi)力的作用下，每個質(zhì)點一般均不斷改

14、變不變，在內(nèi)力的作用下，每個質(zhì)點一般均不斷改變著其動量。但總的動量和保持不變，即內(nèi)力不改變著其動量。但總的動量和保持不變，即內(nèi)力不改變總動量，這一結(jié)論與內(nèi)力的性質(zhì)無關(guān)。總動量，這一結(jié)論與內(nèi)力的性質(zhì)無關(guān)。3. 若若,0 iF質(zhì)點系動量守恒，但分動量可以交換。質(zhì)點系動量守恒，但分動量可以交換。6. 各速度應(yīng)是相對同一慣性參考系各速度應(yīng)是相對同一慣性參考系4. 動量和力是矢量，可沿坐標軸分解：動量和力是矢量，可沿坐標軸分解：Fx=0 Px=常常 量；量；Fy= 0，Py= 常量；常量；Fz= 0，Pz= 常量。常量。5. .此處動量守恒定律由牛頓定律導出，但它比牛頓此處動量守恒定律由牛頓定律導出，但

15、它比牛頓 定律更早出現(xiàn)，應(yīng)用的范圍更廣泛。如宏觀領(lǐng)域、定律更早出現(xiàn)，應(yīng)用的范圍更廣泛。如宏觀領(lǐng)域、 微觀領(lǐng)域、量子力學、相對論。微觀領(lǐng)域、量子力學、相對論。7. 動量守恒反映了物理規(guī)律的空間平移不變性。動量守恒反映了物理規(guī)律的空間平移不變性。 例題例題1 質(zhì)量為質(zhì)量為 M 的木塊在光滑的固定斜面上由的木塊在光滑的固定斜面上由 A 點靜止下滑，經(jīng)路程點靜止下滑，經(jīng)路程 l 后到后到 B 點時，木塊被一水平射點時，木塊被一水平射來速度為來速度為 v 的子彈的子彈 m 擊中，子彈射入木塊中，求射中擊中，子彈射入木塊中，求射中后二者的共同速度。后二者的共同速度。解：解：分為兩個階段：分為兩個階段： 第

16、一階段：從第一階段：從 A 運動到運動到 B，勻加速運動勻加速運動 sin2glvB )sin ,2(202 gaasvvt 第二階段：碰撞階段第二階段：碰撞階段取木塊與子彈組成的系統(tǒng)為研究對象，沿斜面方向，取木塊與子彈組成的系統(tǒng)為研究對象，沿斜面方向，內(nèi)力內(nèi)力 外力，可用動量守恒定律求近似解外力，可用動量守恒定律求近似解 0ixiixivmvmAB gMNgmvxl可解得：可解得：mMglMmvV sin2cos解題步驟：解題步驟：1. 分清過程，分為不同階段；分清過程，分為不同階段；2. 對不同階段，利用不同規(guī)律，求解。對不同階段，利用不同規(guī)律，求解。 對碰撞過程：對碰撞過程： 選系統(tǒng)；選

17、系統(tǒng)； 明過程；明過程； 分析力；分析力； 審條件；審條件； 列、解方程。列、解方程。VmMMvmvB)(cos AB gMNgmvxlgMNyxL gmuO 例題例題2 質(zhì)量為質(zhì)量為 M，仰角為，仰角為 的炮車發(fā)射了一枚質(zhì)的炮車發(fā)射了一枚質(zhì)量為量為 m 的炮彈，炮彈發(fā)射時相對炮身的速率為的炮彈，炮彈發(fā)射時相對炮身的速率為 u ，不，不計摩擦，求：計摩擦，求：(1) 炮彈出口時炮車的速率炮彈出口時炮車的速率 v1；(2) 發(fā)射炮發(fā)射炮彈過程中，炮車移動的距離彈過程中，炮車移動的距離 ( 炮身長為炮身長為 L )。 解：解：() 選炮車和炮選炮車和炮彈為系統(tǒng)，地面為參考彈為系統(tǒng)，地面為參考系，系

18、統(tǒng)所受外力為系，系統(tǒng)所受外力為 N ，Mg，mg 都沿豎直都沿豎直方向，水平方向合外力方向，水平方向合外力為零，系統(tǒng)總動量為零，系統(tǒng)總動量 x 分分量守恒。設(shè)炮彈相對于量守恒。設(shè)炮彈相對于地面的速度為地面的速度為 v2gMNyxL gmuO由由 x x 方向的動量守恒可得方向的動量守恒可得021 xmvMv由相對速度的概念可得由相對速度的概念可得12vuv 得得12cosvuvx 0)cos(11 vumMv 解得解得 cos1umMmv “”號表示炮車反沖速度與號表示炮車反沖速度與 x 軸正向相反。軸正向相反。（）若以（）若以 u(t) 表示炮彈在發(fā)射過程中任一時刻，炮表示炮彈在發(fā)射過程中任

19、一時刻，炮彈相對炮車的速率，則此時炮車相對地面的速率彈相對炮車的速率，則此時炮車相對地面的速率 cos)()(1tumMmtv 設(shè)炮彈經(jīng)設(shè)炮彈經(jīng) t1 秒秒出口，在出口，在t1 秒秒內(nèi)炮車沿水平方向移動了內(nèi)炮車沿水平方向移動了 cos)(cos)(001LmMmdttumMmdttvStt 例題例題3 質(zhì)量分別為質(zhì)量分別為 m1 和和 m2 的兩人的兩人 A、B 在光滑在光滑的水平冰面上用繩子彼此拉對方。開始時兩人靜止對的水平冰面上用繩子彼此拉對方。開始時兩人靜止對立，相距為立，相距為 L，它們在何處相遇，它們在何處相遇? 解：解：水平方向受水平方向受合力為零，該方向合力為零，該方向動量守恒。動量守恒。選兩人為系統(tǒng)，選兩人為系統(tǒng)，A 所在處為坐標原點，向右為正，任所在處為坐標原點，向右為正