2019暑正講義初二數學通用版

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3、 平方根的概念：如果 x2 = a(a 0) ，那么 x 叫做 a 的平方根，也稱為二次根式2. 平方根的表示：正數 a 的正的平方根記作“ a ”，負的平方根記作“ - a ” 正數 a 的平方根記作“ ± a ”，讀作“正、負根號 a ”3. 算術平方根的概念：正數 a 有兩個平方根 ± a ，我們把正數 a 的正的平方根a ，叫做 a 的算術平方根， 0 的平方根也叫做 0 的算術平方根，即 0 = 0 4. 雙重非負性：在式子 a 中， a 0 且 a 0 5. 平方根的計算：求一個數的平方根的運算叫做開平方，開平方運算和平方運算互為逆運算總結 1 ：一個正數有兩個

4、平方根，它們互為相反數； 0 的平方根是 0 總結 2 ：一個正數有一個算術平方根； 0 的算術平方根是 0 總結 3 ：負數沒有平方根一起學網校01模塊 1學習札記注：（1）熟記 1000 以內的平方數（ 12 : 312 ）及立方數（ 13 : 103 ）（2）常用實數近似數： 2 » 1.414 ，3 » 1.732 ， 5 » 2.236 ，7 » 2.646 例題精講例 1求下列各數的平方根（1） 4（2） 196（3） 0.36（4） 3（5） 1 27（6） 4 1216925實數 1 - 2a 有平方根，則 a 可以取的值為（例 2）A

5、0B 1C 2D 302一起學網校第第第實數舉例平方根算術平方根2± 224±22116± 14146.25±2.52.510000±100100-5無無例 3下列說法正確的是（）學習札記 - 2 是 2 的一個平方根 -4 的算術平方根是 2 16 的平方根是±2 0 沒有平方根ABCD一個正數 m 的平方根是 n + 2 與 n - 6 ，則下列正確的是（例 4）A m = 2 ， n = 1C m = 16 ， n = 2B m = 1 ， n = 2D m = 8 ， n = 2a - 2 + (b + 3)2 = 0 ，則(

6、a + b)2019 的值為（例 5已知A 0）B -2019C -1D 1當式子 2a +1 的值取最小值時， a 的取值為（例 6）B - 1C -1A 0D 12立方根的定義和性質知識梳理1. 立方根的概念：一般地，如果 x3 = a ，那么 x 叫做 a 的立方根2. 立方根的表示：數 a 的立方根記作“ 3 a ”，讀作“三次根號 a ” 總結 1 ：任何一個數都有立方根，且只有一個立方根總結 2 ：正數的立方根是正數；負數的立方根是負數； 0 的立方根是 0初二數學·暑期03實數第第第模塊 2立方根的計算：求一個數的立方根的運算叫做開立方，開立方運算與立方運算互為逆運算學

7、習札記例題精講例 7求下列各數的立方根（1） - 1（2） 48（4） 3 -27（3） 64（5） (-9)3（6） -(-33 ) 例 8已知正方體的體積為 64 ，則這個正方體的棱長為（）D 2 2A 4B 8C 4 204一起學網校第第第實數舉例立方根23 2-2- 3 218126423 -125- 3 5例 9下列說法中，正確的是（A 9 = ±3C 6 的平方根是 6）學習札記B 64 的立方根是±4D 25 的算術平方根是 5如果 a = 3 ，則 3 a -17 =例 10若實數 x ， y 滿足(2x - 3)2 + 9 + 4 y= 0 ，則 xy 的

8、立方根為例 11實數的定義知識梳理1實數的分類0 2. 實數的計算（1） 正數和 0 可以進行開平方運算（2） 任何一個實數都可以進行開立方運算（3） 運算法則與有理數的運算法則一致（4） 實數混合運算的順序與有理數混合運算的順序一致初二數學·暑期05實數第第第模塊 3學習札記例題精講例 12 把下列各數填入相應的集合：-1 、 3 、 、 -3.14 、 9 、 - 6 - 2 、 -2 、 0 、 0.131331333 、 - 3 82（1） 有理數集合 ；（2） 無理數集合 ；（3） 整數集合 ；（4） 負實數集合 4±=9； 3 -8 的絕對值是例 13；5 -1

9、 的相反數是； - 3.14 的相反數是；16 的平方根是x 6 ， y 是 4 的平方根，且| y - x |= x - y ， x + y 的值為例 14已知916（2） (-2.4) + 6 - 5 ´ (-4)2 + 3 -125（1） - 36 - 3 (-1)3 + 1 +例 1558（3） -22 - | -7 | +3 + 2 ´ (- 1 )206一起學網校第第第實數牛刀小試學習札記（溫馨提示：請對準虛線區(qū)域清晰拍照上傳）初二數學·暑期07實數第第第1下列結論正確的是（）A - -(-6)2 = -6B (- 3 )2 = 92C (-16)2

10、= ±16D -æ - 16 ö = 16ç÷è25 ø252已知下列結論：在數軸上的點只能表示無理數；任何一個無理數都 能用數軸上的點表示；實數與數軸上的點一一對應；有理數有無限 個，無理數有限個，其中正確的結論是（ ）A B C D3a 是 9 的算術平方根，而 b 的算術平方根是 9 ，則 a + b =學習札記08一起學網校第第第實數4（1）已知 x - y + 3 與 x + y -1 互為相反數，求( x - y )2 的平方根；（2）已知 a = 6 ， b2 = 4 ，求 a + 2b 5計算下列各題（1）

11、0.16 + 0.49 - 0.81 ；（2） - 0.25 - 3 1- 65 ；（3） - 5 4 - 3 2 10 +1 + 1 ；927916（4） 3 1- 0.973 ´ (-10)2 - 2 ( 3 13 - )0 學習札記初二數學·暑期09實數第第第數學是上帝描述自然的符號。黑格爾第講二次根式第二講二次根式二次根式的定義與性質知識梳理1. 二次根式的定義：一般地，式子 a (a 0) 叫做二次根式， a 叫做被開方數2. 二次根式有意義的條件：被開方數大于等于零，即： a 03. 二次根式的性質：（1）二次根式的雙重非負性：對于 a ， a 0 ； a 0（

12、2） ( a )2 = a(a 0)(a > 0)ìa= ï0 (a = 0)（3）=a2aíï-a(a < 0)î例題精講例 1 在式子 3 2 ， -4 ， 是二次根式的有（A 1 個C 3 個- 4 ， x -1 ， x2 + y2 ，）B 2 個D 4 個， a2 -1 ，a +1 中，m2一起學網校11模塊 1例 2下列 x 取何值時，下列式子有意義學習札記3x - 7x - 3 + 3 - x（1）（2）(x - 5)2-(x - 6)2（3）（4）x2 +1- y2（5）（6）m - 6（7）m - 7例 3下列判斷正

13、確的是（）A. 帶根號的式子一定是二次根式B. 5a 一定是二次根式C. m2 +1 一定是二次根式D. 二次根式的值必定是無理數已知 x = 5 ，化簡( x - 2)2 +x - 4 的結果是例 4212一起學網校第第第二次根式例 5計算學習札記æ2 ö2ç-´(- 5 )2（1）÷è5 ø(x + 4)2 - (x - 2)2 (-4 < x < 2)（2）4x2 + 4x +1(x - 1 )2（3）二次根式的乘除知識梳理1二次根式的乘法： a × b =ab (a 0, b 0) aab2二次

14、根式的除法：=b(a 0, b > 0) 3. 最簡二次根式：一般地，化簡二次根式就是使二次根式：（1） 被開方數中不含能開得盡方的因數或因式；（2） 被開方數中不含分母；（3） 分母中不含有根號這樣化簡后得到的二次根式叫做最簡二次根式初二數學·暑期13第第第二次根式模塊 2學習札記例題精講例 6計算下列二次根式，并化簡為最簡二次根式：25 ×16（1）81（2）16x2（3）4xy（4）128a3（5）（6）533 59（7）（8）25a3b2(a 0, b 0, c > 0)（9）9c414一起學網校第第第二次根式例 7計算：14 y學習札記6x5x2

15、15;7 ¸ 3 3 ´ 2 3 ¸ 3 7（1）（2）y3x12 y（3）8 ¸æ 2 1 ö´(-22 )13(a > 1)（4）ç 2 ÷a2 - 2a +14èø若 ab < 0 ，則 a2b 化簡后為（例 8）C aB -a-bD -a-bA a bb最簡二次根式 a-b 2a +1 與a + 3 可以合并，則 a + b =例 9 二次根式的加減知識梳理1. 同類二次根式：經過化簡后，被開方數相同的二次根式，叫做同類二次根式2. 二次根式的加減運算：二次根式相加

16、減，先化簡每個二次根式，然后合并同類二次根式【注意】進行二次根式的混合運算時，整式運算的法則、公式和運算律仍然適用初二數學·暑期15第第第二次根式模塊 3學習札記例題精講例 10下列是同類二次根式的是（A 12 和 18C 24 和 32）BD20 和18 和5072（1） 3 3 + 2 - 22 - 2 3例 11（2） (23 -1)(3 +1)æö112 - 2+ 48 ¸ 23÷（3） ç 33èø212+ 18 - 4（4）2 -116一起學網校第第第二次根式已知 a =5 + 3 ， b =5 -3

17、求 a2b - ab2 的值例 12學習札記例 13計算：（1） 75 + 27 - 48 94(-3)2-4 ´（2）（3） (1+ 2 3)(2 3 -1)（4） (2 +3 -12)(2)11已知 a =， b =例 14，3 -3 +22（1）求 ab ， a + b 的值；（2）求 b + a 的值ab初二數學·暑期17第第第二次根式學習札記牛刀小試（溫馨提示：請對準虛線區(qū)域清晰拍照上傳）18一起學網校第第第二次根式1(a +1)2 = a +1 ，則 a 的取值范圍是（）A a = -1B a -1C a = 0D a -12下列各式中，已化為最簡形式的是（）A

18、 18B x2 + y2C 1D a2b 23已知 3a -1 與 11 是同類二次根式，則 a 的值可以是（寫兩個即可）4已知： a 、 b 在數軸上的位置如圖所示，是化簡 a2 + (a - b)2 - b - a 的結果是a0b學習札記51（1） 3 6 + 24 - 954xy × 5 y ¸15x（2） 10x2xy（3） (3 -10 )( 2 + 5 ) （4） (2 +10 )2 (14 - 4 10 ) 初二數學·暑期19第第第二次根式幾何學是在不準確的圖形上進行正確推理的藝術。波利亞第講勾股定理第三講勾股定理勾股定理知識梳理1. 勾股定理： 直

19、角三角形的兩條直角邊 a , b 的平方和等于斜邊 c 的平方， 即a2 + b2 = c2 常見公式： c2 = a2 + b2 ，a2 = c2 - b2 ，b2 = c2 - a2注：勾較短的直角邊，股較長的直角邊，弦斜邊2. 勾股定理的證明：（1）方法一：內弦圖以 a 、 b 為直角邊，以 c 為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于 1 ab 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使 A 、 E 、 B 三點在2一條直線上， B 、 F 、 C 三點在一條直線上， C 、 G 、 D 三點在一條直線上aDbGCa HbbFaaBAbE RtHAE RtEBF ， 

20、08;AHE = ÐBEF 一起學網校21cccc模塊 1 ÐAEH + ÐAHE = 90° ， ÐAEH + ÐBEF = 90° ÐHEF = 180°- 90° = 90° 四邊形 EFGH 是一個邊長為 c 的正方形它的面積等于 c2 RtGDH RtHAE ， ÐHGD = ÐEHA ÐHGD + ÐGHD = 90° ， ÐEHA + ÐGHD = 90° 又 ÐGHE = 90&#

21、176; ， ÐDHA = 90°+ 90° = 180° ÐDHA = 90°+ 90° = 180° ABCD 是一個邊長為 a + b 的正方形，它的面積等于(a + b)2 學習札記 (a + b)2 = 4 ´ 1 ab + c2 2 a2 + b2 = c2 （2）方法二：外圖趙爽弦圖以 a 、 b 為直角邊(b > a) ，以 c 為斜邊作四個全等直角三角形，則每個直角三角形的面積等于 1 ab 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀2Dcba G HFECAB RtDAH RtABE ，

22、 ÐHDA = ÐEAB ÐHAD + ÐHAD = 90° ， ÐEAB + ÐHAD = 90° ， ABCD 是一個邊長為 c 的正方形，它的面積等于 c2 EF = FG = GH = HE = b - a ，ÐHEF = 90° 22一起學網校第第第勾股定理 EFGH 是一個邊長為 b - a 的正方形，它的面積等于(b - a)2 學習札記 4 ´ 1 ab + (b - a)2 = c2 2 a2 + b2 = c2 （3）方法三：1876 年美國總統 Garfield

23、證明以 a 、 b 為直角邊，以 c 為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于 1 ab 把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使 A 、2E 、 B 三點在一條直線上CDa AccbaBEb RtEAD RtCBE ， ÐADE = ÐBEC ÐAED + ÐADE = 90° ， ÐAED + ÐBEC = 90° ÐDEC = 180°- 90° = 90° DEC 是一個等腰直角三角形，它的面積等于 1 c2 2又 ÐDAE = 90 ， &#

24、208;EBC = 90° ， ADBC ABCD 是一個直角梯形，它的面積等于 1 (a + b)2 2 1 (a + b)2 = 2 ´ 1 ab + 1 c2 2 a2 + b2 = c2 22（4）方法四：拼接法做 8 個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為 a 、 b ，斜邊長為 c ，再做三個邊長分別為 a 、 b 、 c 的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形初二數學·暑期23第第第勾股定理baab學習札記aaabbbbaaabb從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是 a + b ，所以面積相等即：a2 + b2 + 4 ´ 1

25、ab = c2 + 4 ´ 1 ab 2整理得 a2 + b2 = c2 2做三個邊長分別為 a 、 b 、 c 的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H 、 C 、 B 三點在一條直線上，連結 BF 、 CD 過 C 作 CL DE ， 交 AB 于點 M ，交 DE 于點 L AF = AC ， AB = AD ，ÐFAB = ÐGAD ， FAB GAD ， FAB 的面積等于 1 a2 ，GAD 的面積等于矩形 ADLM 的面積的一半，2矩形 ADLM 的面積= a2 同理可證，矩形 MLEB 的面積= b2 正方形 ADEB 的面積= 矩形 ADLM 的面

26、積+ 矩形 MLEB 的面積 c2 = a2 + b2 ，即 a2 + b2 = c2 GHaCKFbaBAccEDL24一起學網校第第第勾股定理Mbccccaaccb學習札記例題精講在RtABC 中， ÐB = 90° ， BC = 1 ， AC = 2 ，則 AB 的長是（例 1）A 1B 3C 2D 5例 2如圖，兩個較大正方形的面積分別為 225 、 289 ，則字母 A 所代表的正方形的面積為（）289225AA 4B 8C 16D 64例 3如圖圖中，不能用來證明勾股定理的是（）ababcbaaabABDCcFcbbaaAEBCD初二數學·暑期25第第

27、第勾股定理cabbc cc c如圖，在 ABC 中， ÐACB = 90° ， AC = 8 ， AB = 10 ， CD AB 于D ，則 CD 的長是（）C例 4學習札記ADBB 32C 24D 18A 6555例 5一架 5m 的梯子，斜靠在一豎直的墻上，這時梯足距墻角 3m ，若梯子的頂端下滑 1m ，則梯足將滑動（）A 0mB 1mC 2mD 3m如圖，在四邊形 ABCD 中， ÐB = ÐD = 90° ， AB = BC = 2 ， CD = 1 ， 求 AD 的長A例 6DBC26一起學網校第第第勾股定理勾股定理的逆定理學習札記

28、知識梳理1. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長分別為 a 、 b 、 c ，且 a2 + b2 = c2 ，那么這個三角形是直角三角形，2. 勾股定理逆定理的證明：采用構造全等三角形的證明方法3. 勾股定理逆定理的應用（1） 判斷一個三角形是否為直角三角形；結論：在ABC 中，設 AB = c ， BC = a ， AC = b若 c2 = a2 + b2 ，則ÐC 是直角；若 c2 < a2 + b2 ，則ÐC 是銳角；若 c2 > a2 + b2 ，則ÐC 是鈍角（2） 證明線段的垂直關系3勾股數：滿足 a2 + b2 = c2 的三個正整數，

29、稱為勾股數勾股數擴大相同倍數后，仍為勾股數必須是三個正整數， 0.3 ， 0.4 ， 0.5 ，滿足 0.32 + 0.42 = 0.52 ，但它們不是正整數，不是一組勾股數如果三個數 a ， b ， c 滿足勾股定理，那么 ak ， bk ， ck 也一定滿足勾股定理（但它們不一定是一組勾股數，勾股數必須是三個正整數）用含字母的代數式表示 n 組勾股數：n2 -1 ， 2n ， n2 +1 （ n 2 ， n 為正整數）2n +1 ， 2n2 + 2n ， 2n2 + 2n +1 （ n 為正整數）記住常用勾股數，提高做題速度常用勾股數： 3 ， 4 ， 5 ； 6 ， 8 ， 10 ； 5

30、 ， 12 ， 13 ； 7 ， 24 ， 25 ；9 ， 40 ， 41 ； 8 ， 15 ， 17初二數學·暑期27第第第勾股定理模塊 2學習札記例題精講例 7下列以 a ， b ， c 為邊的三角形，不是直角三角形的是（）A a = 1 ， b = 1 ， c =2C a = 3 ， b = 4 ， c = 5B a = 1 ， b =3 ， c = 2D a = 2 ， b = 2 ， c = 3例 8下列各組數中是勾股數的是（A 4 ， 5 ， 6C 1 ， 2 ， 3）B 0.3 ， 0.4 ， 0.5D 5 ， 12 ， 13例 9下列說法中，正確的有（）如果Ð

31、;A + ÐB = ÐC ，那么ABC 是直角三角形；如果ÐA : ÐB : ÐC = 3: 4 : 5 ，則ABC 是直角三角形；如果三角形三邊之比為 2 : 5: 7 ，則ABC 為直角三角形；如果三角形三邊長分別是 n2 -1 、 2n 、 n2 +1(n > 1) ，則ABC 是直角三角形A 1 個B 2 個C 3 個D 4 個如圖，已知 AD = 4 ， CD = 3 ， BC = 12 ， AB = 13 ， ÐADC = 90° ，求四邊形 ABCD 的面積例 10CBDA28一起學網校第第第勾股定理例

32、11 如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長均為 1 ， ABC 的三個頂點分別在正方形網格的格點上（1） 計算邊 AB 、 BC 、 AC 的長（2） 判斷ABC 的形狀，并說明理由學習札記AB例 12 如圖，矩形 ABCD 中， AB = 8 ， BC = 4 ，將矩形沿 AC 折疊，點 D 落在點 D¢ 處，則重疊部分ABC 的面積為DCAFBD初二數學·暑期29第第第勾股定理C學習札記牛刀小試（溫馨提示：請對準虛線區(qū)域清晰拍照上傳）30一起學網校第第第勾股定理1如果直角三角形的兩直角邊長是 9 ， 12 ，那么斜邊長為（）A 15B 13C 17D 192滿足下列

33、條件的ABC ，不是直角三角形的是（）A b2 - c2 = a2B a : b : c = 3: 4 : 5C ÐC = ÐA - ÐBD ÐA : ÐB : ÐC = 9 :12 :153如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形拼成一個大的正方形， 是我國古代數學的驕傲，巧妙地利用面積關系證明了勾股定理已知小 正方形的面積是 1 ，直角三角形的兩直角邊分別為 a 、 b 且 ab = 6 ，則圖中大正方形的邊長為（ ）A 5B 13C 4D 3學習札記初二數學·暑期31第第第勾股定理4如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的

34、四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形 A ， B ， C ， D 的邊長分別是 4 ， 9 ， 1 ， 4 ，則最大正方形 E 的面積是（ ）CDEA 18B 114C 194D 3245如圖，在四邊形 ABCD 中， ADBC ， ÐC = 90° ， BCD 與BC¢D 關于直線 BD 軸對稱， BC = 6 ， CD = 3 ，點 C 與點 C¢ 對應， BC¢ 交 AD 于點 E ，則線段 DE 的長為（ ）CA EDB CA 3B 15C 5D 1542BA幾何無王者之道。歐幾里德第講全等三角形的輔助線添加（一）第四

35、講全等三角形的輔助線添加（一）復習全等三角形及其判定知識梳理1. 全等三角形：兩個能完全重合的三角形叫做全等三角形2. 全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等，對應角相等 .3. 全等三角形的判定：（1） 邊角邊（SAS）：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等 .（2） 角邊角（ASA）：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等 .（3） 角角邊（AAS）：兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等 .（4） 邊邊邊（SSS）：三邊分別相等的兩個三角形全等 .（5） 斜邊、直角邊（HL）：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等 .例題精講例 1 如圖， AB AC ， CD BD

36、 ， AC 、 BD 相交于點 O 已知 AB = CD ，利用可以判定ABO DCO ；已知AB = CD ， ÐBAD = ÐCDA ，利用可以判定ABD DCA ；一起學網校33模塊 1已知 AC = BD ，利用可以判定ABC DBC ；已知 AO = DO ，利用可以判定ABO DCO ；已知AB = CD ， BD = AC ，利用可以判定ABD DCA ；學習札記ADOBC常見模型“手拉手”模型知識梳理手拉手模型：在直線 ABC 的同一側作兩個等邊三角形ABD 和BCE ，連接AE 與 CD 特點：共頂點，特殊圖形（等邊三角形、等腰直角三角形、正多邊形）DEDD OAFHEOHE F