行列式的解法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上行列式的解法摘要：本文列舉了行列式的幾種計(jì)算方法：如化三角形法，提取公因式法等，并指明了這幾種方法的使用條件。關(guān)鍵詞：行列式 三角形行列式 范德蒙行列式 循環(huán)行列式。Determinant solutionsAbstract: This article enumerates several calculation methods of deteminants . such as .turning into triangle .extracting publicly owned multiplier and so on .At the same time .it poi

2、nts out the service conditions of these kinds of methods .Key words: determination . triangulaire determination . vandermonde determination 一、 定義法 n介行列式 的值等于所有取自不同行不同列的個元素的乘積 的代數(shù)和,這里是的一個排列,每一項(xiàng)都是按下列規(guī)則帶有符號:當(dāng)是偶排列時, 帶有正號,當(dāng)是奇排列時,帶有負(fù)號.這一定義可以寫成,這里表示對所有級排列求和.例 1. 計(jì)算 的值.解:原式 但是對于含有元素較多的高階行列式可用定義法計(jì)算則較為復(fù)雜,一般僅對

3、2級3級的行列式采用。而對與高階行列式中0元素較多的行列式則可以采用.因行列式的項(xiàng)中有一因數(shù)為零時，該項(xiàng)的值為零，故只需求出全部為非零乘積的項(xiàng)相加即可。通常是從行列式的一般項(xiàng)行入手，將行標(biāo)按自然數(shù)排列，討論列標(biāo)的所有可能的非零取值，并且要注意每一項(xiàng)的符號。例 2. 計(jì)算12345階行列式 =解:有定義法知:只需求出A中所有的非零項(xiàng)相加即可。D中的第一行的非零元素只有，因而，同理于是在可能取的數(shù)值中，只能組成一個12345個元素的排列：12344 12343 2 1 12345 .而此排列的逆序數(shù)為=為偶數(shù)，故 二、 升階法在計(jì)算行列式時，我們往往先利用行列式的性質(zhì)變換給定的行列式，再用展開定理

4、使之降階，從而使問題得到簡化。有時與此相反，即在原行列式的基礎(chǔ)上添行加列使其升階構(gòu)造一個容易計(jì)算的新行列式，進(jìn)而求出原行列式的值。這種計(jì)算行列式的方法稱為升階法。凡可利用升階法計(jì)算的行列式具有的特點(diǎn)是：除主對角線上的元素外，其余的元素都相同，或任兩行（列）對應(yīng)元素成比例。升階時，新行（列）由哪些元素組成？添加在哪個位置？這要根據(jù)原行列式的特點(diǎn)作出選擇。例1計(jì)算n階行列式 ，其中解 將最后一個行列式的第j列的倍加到第一列（，就可以變?yōu)樯先切涡辛惺?，其主對角線上的元素為1+故 例2 計(jì)算n階行列式解 好象范德蒙行列式，但并不是，為了利用范德蒙行列式的結(jié)果，令 按第列展開，則得到一個關(guān)于的多項(xiàng)式，

5、的系數(shù)為。另一方面 顯然，中的系數(shù)為所以三、降階法（按行按列展開） 利用行列式的性質(zhì)對行列式中存在某行（列）0元素較多的行列式進(jìn)行行(列)展開.容易留下少些非0部分將行列式降階一般也只對非特殊階數(shù)不高的行列式計(jì)算如下.亦可利用降階定理對高階的行列式求值. 例5 計(jì)算行列式 解： = = =-7 降階定理:設(shè)是方陣,且A可逆,則 證明: 例 6. 計(jì)算 解: 原式= =然后從第2列起,后面的每一列依次減去第一列,可得: 原式= = =四、利用遞推關(guān)系法所謂利用遞推關(guān)系法，就是先建立同類型n階與n-1階（或更低階）行列式之間的關(guān)系遞推關(guān)系式，再利用遞推關(guān)系求出原行列式的值。例3計(jì)算n階行列式 ，其

6、中解 將的第一行視為據(jù)行列式的性質(zhì)，得 于b與c的對稱性，不難得到 聯(lián)立（1），(2）解之，得 例4計(jì)算n階行列式 解將按第一行展開，得于是得到一個遞推關(guān)系式，變形得 易知 所以，據(jù)此關(guān)系式在遞推，有 如果我們將的第一列元素看作,1+0,0+0,按第一列坼成兩個行列式的和，那么可直接得到遞推關(guān)系式，同樣可得的值。五、化三角形法此種方法是利用行列式的性質(zhì)把給定的行列式表為一個非零數(shù)與一個三角形行列式之積，所謂三角形行列式是位于對角線一側(cè)的所有元素全部等于零的行列式。三角形行列式的值容易求得，涉及主對角線的三角形行列式等于主對角線上元素之積，涉及次對角線的N階三角形行列式等于次對角線上元素之積且?guī)?/p>

7、符號 例5計(jì)算N階行列式解 六、利用范德蒙（Vandermonde）行列式法著名的范德蒙行列式，在線性代數(shù)中占有重要地位，研究它的應(yīng)用引起了一些數(shù)學(xué)家的興趣，因此在計(jì)算行列式時，可直接用其結(jié)果。例6 計(jì)算n階行列式 解 將第一行可視為，再由行列式的性質(zhì)，得 把第一個行列式從第一行起依次將行加到行；第二個行列式的第列提取得=七、利用乘法定理法在計(jì)算行列式時，有時可以用乘法定理，將給定的行列式表為兩個容易計(jì)算的或已知的行列式的乘積，從而求出給定行列式的值；有時不直接計(jì)算給定的行列式，而是選一個適當(dāng)?shù)呐c給定行列式同階的行列式，計(jì)算兩行列式的乘積，由此求出給定行列式的值，這樣也可使問題簡單。例7計(jì)算n

8、階行列式 解 所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，八、 加邊法行列式的計(jì)算一般是想辦法降階,但對于某些行列式,在保持原行列式值不變的基礎(chǔ)上增加一行一列(增加的一行一列元素一般是有0和1組成),然后可化為爪型行列式,最終在根據(jù)行列式性質(zhì)化為上下三角形行列式計(jì)算.例 7. 求 分析:這類行列式的一個顯著特點(diǎn)就是每一行每一列除個別元素以外均相同,這時可加條邊將相同元素化為0.解： 九、提取公因式法若行列式滿足下列條件之一，則可以用此法：（1）有一行（列）元素相同，稱為“型”；（2）有兩行（列）的對應(yīng)元素之和或差相等，稱為“鄰和型”；（3）各行（列）元素之和相等，稱為“全和型”。滿足條件（1）的行列式可直接提取

9、公因式變?yōu)椤?，1，1型”，于是應(yīng)用按行（列）展開定理，使行列式降一階。滿足（2）和（3）的行列式都可以根據(jù)行列式的性質(zhì)變?yōu)闈M足條件（1）的行列式，間接使用提取公因式法。例9計(jì)算N階行列式 解 該行列式各行元素之和都等于 ，屬于“全和型”，所以 十、拆行（列）法計(jì)算 若行列式某一行（列）或多行（列）可以表示成兩項(xiàng)之和，且有一拆成的項(xiàng)相同元素較多(一般都會全力相同)，則此時可以利用行列式的拆項(xiàng)的性質(zhì)，將行列式拆成兩個簡單的行列式計(jì)算。 例11.計(jì)算n階行列式 解： =0+0 =0除了以上常見的方法外還有一些特殊的方法,如n階輪換行列式的初等計(jì)算方法、極限法、導(dǎo)數(shù)法、積分法，數(shù)學(xué)歸納法等。對于一個給定的行列式可以有多種方法求解，這是則要求我們注意方法的靈活性，要在眾多方法中選取一種最簡便的方法。參考文獻(xiàn)1. 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)（第二版）.北京：高