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1、導(dǎo)數(shù)中的多次求導(dǎo)【一次求導(dǎo)型】已知函數(shù).(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).()若曲線過點(diǎn),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;()若在上恒成立,求的取值范圍;解:()略()由得,即有【分離變量】令, 【一次構(gòu)造】則, 【一次求導(dǎo)】令,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減【得單調(diào)性】, 【取最值】 【結(jié)論】【二次求導(dǎo)型】設(shè)函數(shù) () 當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;() 若對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)的最小值答案:()略() 由題意知,在上恒成立,即在區(qū)間上恒成立,又,在區(qū)間上恒成立,【分離變量】設(shè), 【一次構(gòu)造】則, 【一次求導(dǎo)】又令, 【二次構(gòu)造】則, 【二次求導(dǎo)】當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減, 【得單調(diào)性】, 【求最值
2、并與0比較】即在恒成立,所以在單調(diào)遞增, 【說明原函數(shù)單調(diào)性】,故,所以實(shí)數(shù)的最小值【二次求導(dǎo)型 + 零點(diǎn)存在性定理】已知函數(shù)有極小值()求實(shí)數(shù)的值;()若,且對(duì)任意恒成立,求的最大值 答案:()()當(dāng)時(shí),所以設(shè),【一次構(gòu)造】則 【一次求導(dǎo)】令 【二次構(gòu)造】因?yàn)椋?【二次求導(dǎo)】所以函數(shù)在上單調(diào)遞增, 【得單調(diào)性】又,【零點(diǎn)存在性定理】所以在上存在唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)根,滿足,且,即,所以當(dāng)時(shí),此時(shí),當(dāng)時(shí),此時(shí).所以在時(shí),單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以所以要使對(duì)任意恒成立,則,因?yàn)?,所以要,即的最大值為【三次求?dǎo)型】已知函數(shù),且函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在處有公共的切線(1)求的值;(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;
3、(3)證明:當(dāng)時(shí),在區(qū)間內(nèi)恒成立解:(1);(2)略;(3)令 ,在單調(diào)遞減()在單調(diào)遞增在單調(diào)遞減【三次求導(dǎo)型 + 零點(diǎn)存在性定理】已知函數(shù),()(1)函數(shù)與的圖象無(wú)公共點(diǎn),試求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)是否存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意的,都有函數(shù)的圖象在的圖象的下方?若存在,請(qǐng)求出最大整數(shù)的值;若不存在,請(qǐng)說理由(參考數(shù)據(jù):,,).解:()略;()假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足題意,則不等式對(duì)恒成立.即對(duì)恒成立. 【分離變量】令, 【構(gòu)造函數(shù)】則, 【一次求導(dǎo)】則, 【二次求導(dǎo)】 【三次求導(dǎo)】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增, 【得到單調(diào)性】 ,且的圖象在上連續(xù),所以存在,使得, 【零點(diǎn)存在性定理】即,則,所以當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),
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