導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算83203

1、導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算編稿：周尚達(dá) 審稿：張揚(yáng) 責(zé) 編:嚴(yán)春梅目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)：1了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線的切線的斜率等）；掌握函數(shù)在一 點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)數(shù)的概念。2熟記常函數(shù)y=C，冪函數(shù)y=xn（n為有理數(shù)），三角函數(shù)y=sinx，y=cosx，指數(shù)函數(shù)y=ex，y=ax，對 數(shù)函數(shù)y=lnx，y=logax的導(dǎo)數(shù)公式；掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則；3掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會求某些簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念以及幾何意義，常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念的理解以及求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。學(xué)習(xí)策略：

2、1結(jié)合物理學(xué)中的平均速度，瞬時速度、加速度等的概念，理解導(dǎo)數(shù)的概念以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義。2熟記各基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式以及和、差、積、商的求導(dǎo)法則，理解和掌握求導(dǎo)法則和公式的結(jié) 構(gòu)規(guī)律，解題時才能結(jié)合函數(shù)本身的特點(diǎn)，準(zhǔn)確有效地進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算。3注意理解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；對于一個復(fù)合函數(shù)，一定要理清中間的復(fù)合關(guān)系，弄清各分解函數(shù) 中應(yīng)對哪個變量求導(dǎo)。知識要點(diǎn)梳理知識點(diǎn)一：函數(shù)的平均變化率（1）概念：函數(shù)中，如果自變量在處有增量，那么函數(shù)值y也相應(yīng)的有增量y=f(x0+x)-f(x0)，其比值叫做函數(shù)從到+x的平均變化率，即。若，則平均變化率可表示為，稱為函數(shù)從到的平均變化率。注意：事物的變化率是相

3、關(guān)的兩個量的“增量的比值”。如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體積增量的比值；函數(shù)的平均變化率表現(xiàn)函數(shù)的變化趨勢，當(dāng)取值越小，越能準(zhǔn)確體現(xiàn)函數(shù)的變化情況。是自變量在處的改變量，；而是函數(shù)值的改變量，可以是0。函數(shù)的平均變化率是0，并不一定說明函數(shù)沒有變化，應(yīng)取更小考慮。（2）平均變化率的幾何意義函數(shù)的平均變化率的幾何意義是表示連接函數(shù)圖像上兩點(diǎn)割線的斜率。如圖所示，函數(shù)的平均變化率的幾何意義是：直線AB的斜率。事實(shí)上，。作用：根據(jù)平均變化率的幾何意義，可求解有關(guān)曲線割線的斜率。知識點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的概念：1導(dǎo)數(shù)的定義：對函數(shù)，在點(diǎn)處給自變量x以增量，函數(shù)y相應(yīng)有增量。若極限存在，則此極限稱為在點(diǎn)處的導(dǎo)

4、數(shù)，記作或，此時也稱在點(diǎn)處可導(dǎo)。即：（或）注意：增量可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)；導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時變化率。2導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，此時對于每一個，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)，從而構(gòu)成了一個新的函數(shù), 稱這個函數(shù)為函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)。注意：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不是同一概念，是常數(shù)，是函數(shù)在處的函數(shù)值，反映函數(shù)在附近的變化情況。3導(dǎo)數(shù)幾何意義：（1）曲線的切線曲線上一點(diǎn)P(x0，y0)及其附近一點(diǎn)Q(x0+x,y0+y)，經(jīng)過點(diǎn)P、Q作曲線的割線PQ，其傾斜角為當(dāng)點(diǎn)Q(x0+x,y0+y)沿曲線無限接近于點(diǎn)P(x0，y0)，即x0

5、時，割線PQ的極限位置直線PT叫做曲線在點(diǎn)P處的切線。若切線的傾斜角為，則當(dāng)x0時，割線PQ斜率的極限，就是切線的斜率。即：。(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)是曲線上點(diǎn)（）處的切線的斜率。注意：若曲線在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不存在，但有切線，則切線與軸垂直。，切線與軸正向夾角為銳角；，切線與軸正向夾角為鈍角；,切線與軸平行。(3)曲線的切線方程如果在點(diǎn)可導(dǎo)，則曲線在點(diǎn)（）處的切線方程為：。4瞬時速度：物體運(yùn)動的速度等于位移與時間的比，而非勻速直線運(yùn)動中這個比值是變化的，如何了解非勻速直線運(yùn)動中每一時刻的運(yùn)動快慢程度，我們采用瞬時速度這一概念。如果物體的運(yùn)動規(guī)律滿足s=s(t)(位移公式)，那么物體

6、在時刻t的瞬時速度v，就是物體t到t+t這段時間內(nèi)，當(dāng)t0時平均速度的極限，即。如果把函數(shù)看作是物體的位移公式），導(dǎo)數(shù)表示運(yùn)動物體在時刻的瞬時速度。知識點(diǎn)三：常見基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（1）（C為常數(shù)），（2）（n為有理數(shù)），（3），（4），（5），（6），（7），（8），知識點(diǎn)四：函數(shù)四則運(yùn)算求導(dǎo)法則設(shè)，均可導(dǎo)（1）和差的導(dǎo)數(shù)：（2）積的導(dǎo)數(shù)：（3）商的導(dǎo)數(shù)：（）知識點(diǎn)五：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則或即復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)。注意：選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵。求導(dǎo)時需要記住中間變量，逐層求導(dǎo)，不遺漏。求導(dǎo)后，要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)。

7、規(guī)律方法指導(dǎo)1如何求函數(shù)的平均變化率求函數(shù)的平均變化率通常用“兩步”法：作差：求出和作商：對所求得的差作商，即。注意：（1），式子中、的值可正、可負(fù)，但的值不能 為零，的值可以為零。若函數(shù)為常數(shù)函數(shù)時，。（2）在式子中，與是相對應(yīng)的“增量”，即在時， 。（3）在式子中，當(dāng)取定值，取不同的數(shù)值時，函數(shù)的平均變化率不 同；當(dāng)取定值，取不同的數(shù)值時，函數(shù)的平均變化率也不一樣。2如何求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)（1）利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，通常用“三步法”。 計算函數(shù)的增量：； 求平均變化率：； 取極限得導(dǎo)數(shù)：。（2）利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是，則表示曲線在點(diǎn)（）處的切線的斜率。設(shè)是位移關(guān)于時間的函數(shù)，則表示物體在時刻的瞬時速度；設(shè)是速度關(guān)于時間的函數(shù)，則表示物體在時刻的加速度；4利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程的步驟求出在處的導(dǎo)數(shù)；利用直線方程的點(diǎn)斜式得切線方程為。5求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的一