定積分的求法與應用

1、摘要由于定積分在數(shù)學中的重要地位，對于定積分的求法和應用的研究就有不可低估的作用。首先，本文主要根據(jù)定積分的定義、性質、被積函數(shù)的奇偶性和對稱性、以及某些具有特征的函數(shù)總結了牛頓萊布尼茲公式、換元法、分部積分、湊微分、數(shù)學軟件Mathematic等方法；其次，對于定積分的應用，在本文中歸納總結了數(shù)學應用，如求面積、體積、平面曲線的弧長、數(shù)學建模、在初等數(shù)學中的應用等和物理應用，如功、求液體對平面薄板的壓力等以及在經(jīng)濟學方面的應用。關鍵詞：定積分；分部積分；極限；弧長AbstractDue to the important position of the definite integral in

2、 the mathematics, researching on methods and the application of the definite integral can not be underestimated. Firstly, in this paper, according to the definition, the nature, the integrand parity and symmetry of the definite integral ,and certain characteristics of the function,I summarize Newton

3、 Leibnitz formula, changing element method, integration by parts, gather together differential methods and Mathematical software Mathematic; Secondly, for the application of the definite integral in this article ,I summarize the application of mathematics, such as beg of area, volume, arc length of

4、the plane curve，mathematical modeling ,the application in elementary mathematics and physics application, such as power, letting the pressure plate to plane liquid such as well as the application in economics. Keywords:the definite integral;integration by parts;limition; arc length 目錄第1章引言1第2章定積分的求法

5、12.1 定積分概念12.2 定積分的求法22.2.1 運用定義求定積分22.2.2 運用幾何意義求定積分22.2.3 運用牛頓萊布尼茨公式求定積分32.2.4 運用換元積分法求定積分32.2.5 運用分部積分法求定積分42.2.6 運用湊微分法求定積分52.2.7 運用數(shù)學軟件Mathematic求定積分6第3章定積分的應用63.1 定積分的數(shù)學應用63.1.1 求平面圖形的面積63.1.2 由平面截面面積求體積83.1.3 求平面弧長93.1.4 在數(shù)學建模中的簡單應用103.1.5 在初等數(shù)學中的應用103.2 定積分的物理應用113.2.1 變力作功11液體靜壓力123.3 定積分的經(jīng)

6、濟應用13第4章結論14第5章參考文獻15第6章致謝16定積分的求法與應用作者：雷蕾 指導老師：王勇第1章 引言目前，對于定積分的求法和應用的研究是比較全面和完善的。但是，對于定積分的求法與應用的研究沒有停止，了解了定積分的基本概念后，我們要學會總結歸納定積分的一般性求法以及具有特殊特征的函數(shù)的求法。同時，將定積分應用于數(shù)學問題的求解中以及物理學和經(jīng)濟學的實際問題中是非常必要的。理論聯(lián)系實際，對于生活中出現(xiàn)的現(xiàn)象，學會用定積分求解也是一種非常重要的工具。第2章定積分的求法2.1 定積分概念定義1：設閉區(qū)間,上有個點，依次為=<<<<<=,它們把,分成個小區(qū)間=,

7、=1,2,.這些分點或這些閉子區(qū)間構成對,的一個分割，記為,或,。（詳見13）定義2：設是定義在,上的一個函數(shù)。對于,的一個分割,，任取點, =1,2,，并作和式，稱此和式函數(shù)在,上的一個積分和。（詳見13）定義3：設是定義在,上的一個函數(shù)，是一個確定的實數(shù)。若對任給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)，使得對,的任何分割，以及在其上任意選取的點集，只要<,就有，則稱函數(shù)在區(qū)間,上可積；數(shù)在,上的定積分，記作.其中，稱為被積函數(shù)，稱為積分變量，,稱為積分區(qū)間，、分別稱為這個定積分的下限和上限。（詳見13）2.2 定積分的求法2.2.1運用定義求定積分首先，我們考慮用定積分的定義來求解。根據(jù)定義，分三步

8、求解：將,分成個小區(qū)間，求得分割；近似求和；取極限.例1 用定義計算.解 （1）分割 把等分，=， （2）近似求和 取=，=（3）取極限= 說明：這種利用定義，“三步走”的方法，求出積分和的極限來計算定積分一般而言是比較困難的。下面會介紹幾種簡便的方法。2.2.2 運用幾何意義求定積分定積分的幾何意義：連續(xù)曲線在,上形成的曲邊梯形面積為；對于,上的連續(xù)函數(shù)，當，時，定積分的幾何意義就是該曲邊梯形的面積；當，時，這時是位于軸下方的曲邊梯形面積的相反數(shù)，稱為“負面積”。（詳見1）例2 利用定積分的幾何意義，證明.解 令，顯然， 則由和直線，所圍成的曲邊梯形是單位圓位于軸上方的半圓.如圖1所示.因為

9、 單位圓的面積，所以 半圓的面積為.由定積分的幾何意義知： .說明：對于一般圖形的表達式，能夠清楚地畫出在坐標軸中的圖像。然后求出在上下限所規(guī)定的范圍內(nèi)，圖像表示的面積，就可得出定積分的結果。推廣：對于本題中將上下限改為，則半圓的面積為，即定積分的值。這種方法是十分直接簡單的。2.2.3 運用牛頓萊布尼茨公式求定積分定理1 若函數(shù)在,上連續(xù)，且存在原函數(shù)，即，則在,上可積，且.這稱為牛頓萊布尼茨公式，也常寫成.（詳見1） （1）例3 利用牛頓萊布尼茨公式計算.解 由公式（1） 說明：題中函數(shù)的原函數(shù)為，. 牛頓萊布尼茨公式解題法，首先要求用不定積分求出函數(shù)的原函數(shù)，然后利用公式即可算出。這種方

10、法不僅為定積分計算提供了一個有效地方法，而且在理論上把定積分與不定積分聯(lián)系了起來。2.2.4 運用換元積分法求定積分定理2 若函數(shù)在,上連續(xù)，在上連續(xù)可微，且滿足，則有定積分換元公式：.（詳見12） (2)例4 計算.解 令，當從變成時，從增到。于是由公式（2）及得到+- 對最末的第二個定積分作變換，有=， 它與上面的第三個定積分相消，故得=. 說明：事實上，例4中的被積函數(shù)的原函數(shù)雖然存在，但是難以用初等函數(shù)來表示，因此無法直接使用牛頓萊布尼茨公式。可是通過用定積分的性質和公式（2），消去了其中無法求出原函數(shù)的部分，最終得出這個定積分的值。2.2.5 運用分部積分法求定積分定理3 若為,上的

11、連續(xù)可微函數(shù)，則有定積分分布積分公式：.（詳見1） （3）例5 計算.解 由公式（3）=說明：本例題5中，令=，代入公式即可立刻算出結果。若被積函數(shù)是冪函數(shù)乘以對數(shù)函數(shù)，一般情況考慮設對數(shù)函數(shù)或者反三角函數(shù)為。（詳見4）例6 計算.解 令=，代入公式（3）得，=例7計算解 令，代入公式（3）得，=說明：由例題6和例題7可看出，若被積函數(shù)是冪函數(shù)乘以指數(shù)函數(shù)或者冪函數(shù)乘以正（余弦函數(shù)，設冪函數(shù)為，使得其降冪一次。（詳見4）2.2.6 運用湊微分法求定積分定理4 設函數(shù)在上有定義，在上可導，則函數(shù)。若在上存在原函數(shù)，則在上也有原函數(shù)，即（詳見2） (4)例8計算解 = =說明：本例題中湊微分，利用

12、，然后通過換元令就可以得到最簡單的積分公式，結果也就出來了。（詳見4）例9 計算解 = = = =說明：當被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時，拆開奇次項去湊微分。（詳見4） 運用數(shù)學軟件Mathematic求定積分基本原理：（1）使用矩陣法求定積分，即定義的三步求解：將,分成個小區(qū)間，求得分割；近似求和；取極限 （2）用牛頓萊布尼茨公式。上面已經(jīng)詳細敘述原理內(nèi)容。定積分的應用中需要使用的Matheatic語句：Sum(總和)，NSum(總和的近似值)，Integratef,x,a,b（求定積分），NIntegratef,x,a,b（求定積分的近似值），N(表達式的近似值)例10用數(shù)學軟件求定積分.解 定

13、義函數(shù)和式，計算和式的數(shù)值，輸入以下語句： tn:=NSumExpi/n/n,i,1,n求出t100 t500 t1000 t5000 t10000 t50000 t100000 t500000就可以確定定積分的近似值了。 再輸入以下語句得到結果，NIntegrateExpx,x,0,1與上面的數(shù)值加以比較。 用牛頓萊布尼茨輸入以下語句： bx:=IntegrateExpx,x Nb1-b0加以驗證。第3章 定積分的應用3.1 定積分的數(shù)學應用3.1.1求平面圖形的面積（1）直角坐標系下面積的計算由曲線和直線所圍成曲邊梯形的面積.求由兩條曲線，及直線所圍成平面的面積（如圖2所示）.下面用微元法

14、求面積.取為積分變量，.在區(qū)間上任取一小區(qū)間，該區(qū)間上小曲邊梯形的面積可以用高，底邊為的小矩形的面積近似代替，從而得面積元素. 寫出積分表達式，即.（詳見7）（5）例11求曲線與所圍圖形的面積.解 畫出所圍的圖形（如圖3所示）。由方程組得兩條曲線的交點坐標為，取為積分變量，.將兩曲線方程分別改寫為得所求面積為 .說明：對于直角坐標系內(nèi)的平面圖形面積，一般先接觸交點坐標，確定定積分的上下限。其次，用公式（5）代入，可以算出面積了。（2）極坐標系下面積的計算設曲邊扇形由極坐標方程與射線所圍成（如圖4所示）.下面用微元法求它的面積A.以極角為積分變量，它的變化區(qū)間是，相應的小曲邊扇形的面積近似等于半

15、徑為，中心角為的圓扇形的面積，從而得面積微元為于是，所求曲邊扇形的面積為 .（詳見7）（6） 例12計算心形線所圍圖形的面積（如圖5）.解 此圖形對稱于極軸，因此所求圖形的面積是極軸上方部分圖形面積的兩倍.對于極軸上方部分圖形，取為積分變量， ，由對稱性及公式（6）得：.說明：對于一般的幾何圖形，知道其極坐標方程的表示方法。然后，根據(jù)題目確定極角的范圍，再由公式（6）代入，解定積分就可以得出結果。3.1.2 由平面截面面積求體積設旋轉體是由連續(xù)曲線和直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉一周而成.取為積分變量，它的變化區(qū)間為，在上任取一小區(qū)間，相應薄片的體積近似于以為底面圓半徑，為高的小圓柱體的體積

16、，從而得到體積元素為，于是，所求旋轉體體積為.（詳見7）（7）例13求由橢圓繞軸及軸旋轉而成的橢球體的體積.解 (1)繞軸旋轉的橢球體如圖6所示,它可看作上半橢圓與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉而成.取為積分變量,由公式所求橢球體的體積為.(2)繞軸旋轉的橢球體,可看作右半橢圓與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉而成（如圖7所示）,取為積分變量, ,由公式所求橢球體體積為.當時,上述結果為,這就是大家所熟悉的球體的體積公式.3.1.3 求平面弧長（1）直角坐標系下弧長的計算定理5 設平面曲線由參數(shù)方程給出。若為一條光滑曲線，則是可求長的，且弧長為.（詳見1）(8)例14 線一拱的弧長。解 ，由公式（8）得（2

17、）極坐標系下弧長的計算定理6 若平面曲線由極坐標方程，當在上連續(xù)，且與不同時為零時，此極坐標曲線為一光滑曲線。這時弧長公式為.（詳見1）（9）例15 心形線的周長。解 由公式（9）得說明：根據(jù)已知函數(shù)的表達式，如果可以用極坐標表示，選擇公式（9）;若不能簡便的極坐標表示出來，用直角坐標系下的公式，選擇（8）。3.1.4 在數(shù)學建模中的簡單應用定積分在數(shù)學建模中的應用是比較廣泛的，主要是動態(tài)優(yōu)化模型、統(tǒng)計回歸模型和概率模型等。下面主要介紹一個簡單的短程線問題，了解動態(tài)優(yōu)化問題。短程線問題：給定任意曲面上的兩個點，如圖8，求連接它們的長度最短的光滑曲線。地球近似于一個橢圓體，由甲地飛往乙地的最短航

18、線是橢球表面上連接甲乙兩地的最短程線。由于北極上空對民航的開放，從北京飛往北美的航線比原來需要飛越太平洋時縮短了很多，就是因為可以采用接近于短程線的航線。這個問題在數(shù)學上可以表述如下：給定曲面方程，已知曲面上兩個點的坐標為，在曲面上求兩點的曲線，使得該曲線的長度最短。 因為曲線的弧長為，所以曲線的長度是。短程線問題歸結為在曲面上求曲線，即滿足的條件下，使得達到最小。（詳見8）3.1.5在初等數(shù)學中的應用（1）證明不等式 用積分證明不等式，一般利用積分如下性質：設與都在上可積，且，則。特別地，當時，有。（詳見8）例16 證明：貝努利不等式，已知且，且時，求證 解 若或且時， 因此 即 若或且時，

19、 因此 即綜上可得：當且，且時，有說明：利用定積分的性質，能夠容易的得出貝努利不等式。由上面證明推廣，去掉時，結論仍然成立。所以，我們得到一般性結論：設，則若時，有；若或時，有；當且僅當時，兩邊等式成立。（2）求和根據(jù)微分與積分互逆運算的關系，先對和式積分，利用已知的數(shù)列求和，得到積分和，再求導即可。（詳見8）例17 求和， 解 設， 對和式積分，對和式求導，（3）因式分解 化簡代數(shù)式，把原式中某字母看成自變量，其余字母看作常量。令原式為，先對其求導，再積分，確定積分常數(shù)，可以達到分解因式的目的。（詳見8）例 18 化簡解設原式為=，把看作變量，、看作常量；對求導，得對積分，得 確定常數(shù) 于是

20、有，3.2 定積分的物理應用3.2.1 變力作功由物理學知道,物體在常力的作用下,沿力的方向作直線運動,當物體發(fā)生了位移時,力對物體所作的功是.但在實際問題中,物體在發(fā)生位移的過程中所受到的力常常是變化的,這就需要考慮變力作功的問題.由于所求的功是一個整體量,且對于區(qū)間具有可加性,所以可以用微元法來求這個量.設物體在變力的作用下,沿軸由點移動到點,如圖9所示,且變力方向與軸方向一致.取為積分變量,a x x+dx b xF(x)圖9.在區(qū)間上任取一小區(qū)間,該區(qū)間上各點處的力可以用點處的力近似代替.因此功的微元為，因此,從到這一段位移上變力所作的功為.（詳見6）（10）例19 彈簧在拉伸過程中,

21、所需要的力與彈簧的伸長量成正比,即(為比例系數(shù)).已知彈簧拉長時,需力,要使彈簧伸長,計算外力所做的功.解 由題設,時,.代入,得.從而變力為,由上述公式（10）所求的功為.3.2.2液體靜壓力由物理學知道,在液面下深度為處的壓強為,其中是液體的密度,是重力加速度.如果有一面積為的薄板水平地置于深度為處,那么薄板一側所受的液體壓力.設薄板形狀是曲邊梯形,為了計算方便,建立如圖10所示的坐標系,曲邊方程為.取液體深度為積分變量,在上取一小區(qū)間,該區(qū)間上小曲邊平板所受的壓力可近似地看作長為,寬為的小矩形水平地放在距液體表面深度為的位置上時,一側所受的壓力.因此所求的壓力微元為:.于是，整個平板一側

22、所受壓力為.（詳見6） （ 11）例20修建一道梯形閘門，它的兩條底邊各長6m和4m，高為6m,較長的底邊與水面平齊，要計算閘門一側所受水的壓力.解 根據(jù)題設條件.建立如圖11所示的坐標系，的方程為.取為積分變量,在上任一小區(qū)間的壓力微元為，從而所求的壓力為.說明：定積分在物理學中有著廣泛的應用，不僅了解上面介紹的這兩種，此外還要在其他方面也會靈活應用。比如引力、平均功率等方面。（詳見7）3.3 定積分的經(jīng)濟應用定理7 已知邊際成本，求總成本.有，其中是固定成本，一般不為零.定理8已知邊際收益，求總成本.有.其中被稱為自然條件，意指當銷售量為0時，自然收益為0.例21已知某產(chǎn)品邊際成本函數(shù)且固定成本為1000元，求總成本函數(shù)C(Q).解.說明：定積分在經(jīng)濟學上的應用，也是十分廣泛的，這里簡單介紹了關于成本問題的解法。在總收益和平均收益等方面，定積分計算也發(fā)揮著很大的作用。第4章 結論本文主要討論了定積分的求法和在數(shù)學、物理、經(jīng)濟上的應用。通過查閱相關文獻資料與求助老師同