二階變系數(shù)線性非齊次微分方程的通解公式

1、收稿日期 2007-04-23作者簡介 邢春峰(1970 ,男,山東德州人,北京聯(lián)合大學基礎部副教授,主要從事應用數(shù)學理論與高職數(shù)學教學的研究;袁安鋒(1979 ,男,山東日照人,北京聯(lián)合大學基礎部助教,主要從事應用數(shù)學理論與高等數(shù)學教學的研究。二階變系數(shù)線性非齊次微分方程的通解公式邢春峰,袁安鋒(北京聯(lián)合大學基礎部,北京 100101摘 要 為了更多地得到理論上和應用上占有重要地位的二階變系數(shù)線性非齊次微分方程的通解,這里使用常數(shù)變易法,在先求得二階變系數(shù)線性齊次微分方程一個特解的情況下,將二階變系數(shù)線性非齊次微分方程轉(zhuǎn)化為可降階的微分方程,從而給出了一種運算量較小的二階變系數(shù)線性非齊次微分

2、方程通解的一般公式,并且將通解公式進行了推廣,實例證明該方法是可行的。關鍵詞 二階變系數(shù)線性非齊次微分方程;通解;特解中圖分類號 O 175 文獻標識碼 A 文章編號 1005-0310(200704-0074-03 二階變系數(shù)線性非齊次微分方程y +p (x y +q (x y =f (x (1在純粹數(shù)學、應用數(shù)學、工程技術及力學、物理學等領域有著及其重要的位置。關于它的通解結(jié)構(gòu),有著十分完美的結(jié)論,但求解變系數(shù)微分方程卻無一般方法。只有在一些特殊情況下(如文獻1的常系數(shù)化等才能夠求出用初等函數(shù)表示的解。本文在方程(1中的p (x ,q (x 滿足(如文獻2r 2+p (x r +q (x

3、0(2的條件下(其中r R ,給出了二階變系數(shù)線性非齊次微分方程通解的公式,并在此基礎上進行了推廣。設方程(1的通解為y =u (x v (x uv即尋找兩個函數(shù)u =u (x ,v =v (x ,使得y =uv 為方程(1的通解。求導得y =u v +uv ,y =u v +2u v +uv 將y ,y ,y 代入(1化簡得uv +(2u +p (x u v +(u +p (x u +q (x u v =f (x (3首先尋找函數(shù)u =u (x 。在(3中不妨令u +p (x u +q (x u =0(4方程(4為二階變系數(shù)線性齊次微分方程,文獻2給出一類若p (x ,q (x 滿足(2,則

4、方程(4的一個特解必為u =erx(5其次尋找函數(shù)v =v (x 。將(4代入(3整理得v +2uu+p (x v =f (x u (6顯然(6為可降階的微分方程。利用可降階的微分方程的求解方法可求得(6的通解(即求得v =v (x 為v =1u2e - p (x d xf (x u ep (x d xd x +c 1d x +c2其中積分 p (x d x , f (x u ep (x d xd x 和 1u 2e - p (x d xf (x u e p (x d xd x +c 1d x 都表示一個原函數(shù),c 1和c 2為任意常數(shù)。由此得(1的通解為y =erx1u2e- p (x d

5、xf (x u ep (x d xd x +c 1dx +c 2綜上所述,把求方程(1通解的過程歸納如下:定理 對于二階變系數(shù)線性非齊次微分方程(1,若p (x ,q (x ,和實數(shù)r 滿足(2,則(1的通解為y =erx1u2e- p (x d xf (x u ep (x d xd x +c 1d x +c 2(72007年12月第21卷第4期總70期北京聯(lián)合大學學報(自然科學版Journal of Beijing Union University(Natural SciencesDec.2007其中積分p (x d x ,f (x u ep (x d xd x 和1u2e - p (x d

6、 x d xf (x u ep (x d x d x +c 1d x 各表示一個原函數(shù),c 1和c 2為任意常數(shù)。例1 求微分方程y -1xy -9+3xy =x e 3x的通解。解: 文獻2中給出r =-3,所以對應齊次方程y -1xy -9+3xy =0的一個特解為u =e -3x 。又p (x =-1x ,f (x =x e 3x,代入(7得方程的通解為y =e-3xe 6xe 1x d xx e3x e-3xe - 1x d xd x +c 1d x +c 2=e-3xx e 6x(d x +c 1d x +c 2=e -3xx e 6x(x +c 1d x +c 2=e-3x16x

7、2e 6x +c 16-118x e 6x+1108-c 136e 6x +c 2=16x 2e 3x +c 16-118x e 3x+1108-c 136e 3x +c 2e -3x 例2 求微分方程y +2+1x y +1+1xy=x e-x的通解。解: 文獻2中給出r =-1,所以對應齊次方程y +2+1x y +1+1xy =0的一個特解為u=e -x 。又p (x =2+1x ,f (x =x e -x ,代入(7得方程的通解為y =e-xe 2x e -2+1x d xx e -x e -xe2+1x d xd x +c 1d x +c 2=e-x1x( x 2d x +c 1d

8、x +c 2=e-x13x 2+c 1xd x +c 2=19x 3e -x +c 1e -x ln |x |+c 2e -x 注意: 定理中的條件r 2+p (x r +q (x 0非?？量?只有在特殊條件下才能滿足。但通過分析可以發(fā)現(xiàn),定理中的這個條件并不一定必須滿足,只要能知道方程(1對應齊次方程的一個非零特解u =u (x ,則由公式(7同樣可以求出方程(1的通解。這就是一般教材上應用Liouville 公式導出的公式(如文獻3。例3 求微分方程y +2xy +y =1x cos x 的通解。解: 已知對應齊次方程y +2xy +y =0的一個特解為u =sin x x 。又p (x

9、=2x ,f (x =1x cos x ,代入(7得方程的通解為y =sin x xx 2sin 2xe - 2x d xcos x x sin x xe 2x d xd x +c 1d x +c 2=sin xx1sin 2x( sin x cos x d x +c 1d x +c 2=sin x x 12+c 1csc 2x d x +c 2=sin x x 12x -c 1cot x +c 2=12sin x -c 1x cos x +c 2x sin x參考文獻1 李洪祥.兩類二階變系數(shù)線性微分方程的通解J.高等數(shù)學研究,2002,5(2:10-13.2 李永利,桑改蓮.一類二階變系數(shù)

10、齊次微分方程通解的求法J.高等數(shù)學研究,2006,9(3:22-24.3 王高雄,周之銘.常微分方程M.第2版.北京:高等教育出版社,1983.4 郭韻霞.變系數(shù)線性系統(tǒng)補解的新估計及部分變元穩(wěn)定性J.重慶工學院學報:自然科學版,2007,21(8:136-141.5 陳勇明,張正萍,唐恒書.一類非線性波方程解的爆破J.重慶工學院學報,2003,17(6:38-39.75第21卷第4期邢春峰等:二階變系數(shù)線性非齊次微分方程的通解公式76北京聯(lián)合大學學報(自然科學版2007年12月The Formula of General Solution to Second Order LinearDiff

11、erential Equation with Variable CoefficientsXING Chun-feng,YUAN An-feng(Basic Courses Department of Beijing Union University,Beijing 100101,ChinaAbstract:In order to obtain more general solution to second order linear differential equation with variable coefficients which is important in theory and

12、prac tice,on the basis of knowing a special solution of the second order linear differential equation with variable coefficients and by using the method of variation of constant,the second order linear differential equation with variable coefficients is transferred to the reduced differential equati

13、on and a general formula of the second order linear differential equation with variable c oefficients is derived.E xamples are given to verify the method.Key words:second order linear differential equation with variable coefficients;general solution;particular solution(責任編輯 李亞青 (上接第70頁The Convergenc

14、e of Quasi-Newton Methods forUnconstrained OptimizationWANG L-i wei,LIU Da-lian(Basic Courses Department of Beijing Union University,Beijing 100101,ChinaAbstract:A class of algorithms which are update Quas-i Newton methods for unconstrained optimization are as follows: min f(x,x R n.The proof of the global a