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1、二階常系數(shù)非齊次線形微分方程 (1)其中p,q是常數(shù)。因?yàn)榍蠖A常系數(shù)非齊次線形微分方程的通解歸結(jié)為求對(duì)應(yīng)的齊次方程 (2)的通解和非齊次方程(1)本身的一個(gè)特解,而二階常系數(shù)齊次線形微分方程解法已在上一知識(shí)點(diǎn)中講過(guò),所以,在此我們就只討論方程(1)的特解。當(dāng)方程中f(x)取兩種常見(jiàn)形式時(shí),我們用待定系數(shù)法求。型如果,則二階常系數(shù)非齊次線形微分方程(1)具有形如 (4)的特解,其中是與同次(m次)的多項(xiàng)式,而k按不是特征方程的根,是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取為0,1或2。上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線形微分方程,但要注意(4)式中的k是特征方程含根的重復(fù)次數(shù)(即若不是特征方程的
2、根,k取為0,若是特征方程的s重根,k取為s)例 求微分方程的一個(gè)特解。解 這是二階常系數(shù)非齊次線形微分方程,且函數(shù)f(x)是型(其中,)與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為 它的特征方程為 由于這里不是特征方程的根,所以應(yīng)設(shè)特解為 把它代入所給方程,得 比較兩端x 同次冪的系數(shù),得 由此求得 , 于是求得一個(gè)特解為 .型如果,則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程(1)的特解可設(shè)為 , (5)其中、 是m次多項(xiàng)式,m=maxl , n,而k按(或)不是特征方程的根、或是特征方程的單根依次取0或1。上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程,但要注意(5)式中的k是特征方程中含根(或)的重復(fù)次數(shù)。例 求微分方程 的一個(gè)特解。解 所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性方程,且f(x) 屬于型(其中)。與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為 ,它的特征方程為。由于這里不是特征方程的根,所以應(yīng)設(shè)特解為 。把它代入所給
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