圓錐曲線的解題技巧完美word版

1、圓錐曲線的解題技巧一、常規(guī)七大題型：1、中點(diǎn)弦問題具有斜率的弦中點(diǎn)問題，常用設(shè)而不求法(點(diǎn)差法)：設(shè)曲線上兩點(diǎn)為(x1,y1)，(x2,y2)，代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式(當(dāng)然在這里也要注意斜率不存在的請(qǐng)款討論)，消去四個(gè)參數(shù)如：(1)+=1(a>b>0)與直線相交于A、B，設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0)，則有+k=0(2)=1(a>0，b>0)與直線l相交于A、B，設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0)，則有k=0(3)y2=2px(p>0)與直線l相交于A、B設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0)，則有2y0k=2p，即y0k=p典型例題：給定雙曲線x

2、2=1過A(2,1)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P1及P2，求線段P1P2的中點(diǎn)P的軌跡方程2、焦點(diǎn)三角形問題橢圓或雙曲線上一點(diǎn)P，與兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2構(gòu)成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋 典型例題：設(shè)P(x,y)為橢圓+=1上任一點(diǎn)，F(xiàn)1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)為焦點(diǎn)，PF1F2=，PF2F1=(1)求證離心率e=；(2)求|PF1|3+|PF2|3的最值3、直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、求根公式等來處理，應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的思想，通過圖形的直觀性幫助分析解決問題，如果直線過橢圓的焦點(diǎn)，結(jié)合三大曲線的

3、定義去解典型例題：拋物線y2=p(x+1)(p>0)，直線x+y=t與x軸的交點(diǎn)在拋物線的右邊(1)求證：直線與拋物線總有兩個(gè)不同交點(diǎn)(2)設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為A、B，且OAOB，求p關(guān)于t的函數(shù)f(t)的表達(dá)式4、圓錐曲線的相關(guān)最值(范圍)問題圓錐曲線中的有關(guān)最值(范圍)問題，常用代數(shù)法和幾何法解決若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來解決若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)(通常利用二次函數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式)求最值典型例題：已知拋物線y2=2px(p>0)，過M(a,0)且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，|AB|2p(

4、1)求a的取值范圍；(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求NAB面積的最大值分析：(1)可以設(shè)法得到關(guān)于a的不等式，通過解不等式求出a的范圍，即：“求范圍，找不等式”或者將a表示為另一個(gè)變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a的范圍；對(duì)于(2)首先要把NAB的面積表示為一個(gè)變量的函數(shù)，然后再求它的最大值，即：“最值問題，函數(shù)思想”最值問題的處理思路：a、建立目標(biāo)函數(shù)用坐標(biāo)表示距離，用方程消參轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是由方程求x、y的范圍；b、數(shù)形結(jié)合，用化曲為直的轉(zhuǎn)化思想；c、利用判別式，對(duì)于二次函數(shù)求最值，往往由條件建立二次方程，用判別式求最值；d、借助均值不等式求最值5、求曲線的

5、方程問題(1)曲線的形狀已知這類問題一般可用待定系數(shù)法解決典型例題：已知直線L過原點(diǎn)，拋物線C 的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上若點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(0,8)關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)都在C上，求直線L和拋物線C的方程(2)曲線的形狀未知求軌跡方程典型例題：已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q(2,0)和圓C：x2+y2=1，動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)(>0)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它是什么曲線MNQO6、存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問題在曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱問題，可以按如下方式分三步解決：求兩點(diǎn)所在的直線，求這兩直線的交點(diǎn)，使這交點(diǎn)在圓錐曲線形內(nèi)(當(dāng)然也可以利用韋達(dá)定理并結(jié)合判別式來解決)典型

6、例題：已知橢圓C的方程+=1，試確定m的取值范圍，使得對(duì)于直線y=4x+m，橢圓C上有不同兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱7、兩線段垂直問題圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用k1·k2=1來處理或用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來處理典型例題：已知直線l的斜率為k，且過點(diǎn)P(2,0)，拋物線C：y2=4(x+1)，直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)(如圖)(1)求k的取值范圍；(2)直線l的傾斜角為何值時(shí)，A、B與拋物線C的焦點(diǎn)連線互相垂直四、解題的技巧方面：在教學(xué)中，學(xué)生普遍覺得解析幾何問題的計(jì)算量較大事實(shí)上，如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達(dá)定理、曲線系方程，以及運(yùn)用“設(shè)而不求”的策略，往往能夠減少計(jì)算量下面舉例

7、說明：1、充分利用幾何圖形解析幾何的研究對(duì)象就是幾何圖形及其性質(zhì)，所以在處理解析幾何問題時(shí)，除了運(yùn)用代數(shù)方程外，充分挖掘幾何條件，并結(jié)合平面幾何知識(shí)，這往往能減少計(jì)算量典型例題：設(shè)直線3x+4y+m=0與圓x2+y2+x2y=0相交于P、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OPOQ，求m的值2、充分利用韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)而不求它，而是結(jié)合韋達(dá)定理求解，這種方法在有關(guān)斜率、中點(diǎn)等問題中常常用到典型例題：已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓與直線y=x+1相交于P、Q兩點(diǎn)，且OPOQ，|PQ|=，求此橢圓方程3、充分利用曲線系方程利用曲線系方程可以避免求曲線的交點(diǎn)，因此也可以

8、減少計(jì)算典型例題：求經(jīng)過兩已知圓C1：x2+y24x+2y=0和C2：x2+y22y4=0的交點(diǎn)，且圓心在直線l：2x+4y1=0上的圓的方程4、充分利用橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解決相關(guān)的求最值的問題這也是我們常說的三角代換法典型例題：P為橢圓+=1上一動(dòng)點(diǎn)，A為長軸的右端點(diǎn)，B為短軸的上端點(diǎn)，求四邊形OAPB面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)5、線段長的幾種簡(jiǎn)便計(jì)算方法(1)充分利用現(xiàn)成結(jié)果，減少運(yùn)算過程一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦AB長的方法是：把直線方程y=kx+b代入圓錐曲線方程中，得到型如ax2+bx+c=0的方程，方程的兩根設(shè)為xA，xB

9、，判別式為，則|AB|=·|xAxB|=·，若直接用結(jié)論，能減少配方、開方等運(yùn)算過程例1、求直線xy+1=0被橢圓x2+4y2=16所截得的線段AB的長(2)結(jié)合圖形的特殊位置關(guān)系，減少運(yùn)算在求過圓錐曲線焦點(diǎn)的弦長時(shí)，由于圓錐曲線的定義都涉及焦點(diǎn)，結(jié)合圖形運(yùn)用圓錐曲線的定義，可回避復(fù)雜運(yùn)算例1、F1、F2是橢圓+=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，AB是經(jīng)過F1的弦，若|AB|=8，求值|F2A|+|F2B|(3)利用圓錐曲線的定義，把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離例2、點(diǎn)A(3,2)為定點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線y2=4x上移動(dòng)，若|PA|+|PF|取得最小值，求點(diǎn)P的坐

10、標(biāo)圓錐曲線解題方法技巧歸納第一、知識(shí)儲(chǔ)備：1、直線方程的形式(1)直線方程的形式有五種：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式、一般式(2)與直線相關(guān)的重要內(nèi)容傾斜角與斜率k=tan，0,) 點(diǎn)到直線的距離d= 夾角公式：tan=|(3)弦長公式直線y=kx+b上兩點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)間的距離：|AB|=|x1x2|=或|AB|=|y1y2|(4)兩條直線的位置關(guān)系l1l2k1k2=1 l1l2k1=k2且b1b22、圓錐曲線方程及性質(zhì)(1)橢圓的方程的形式有三種形式： 標(biāo)準(zhǔn)方程：+=1(m>0，n>0，mn) 距離式方程：|=2a 參數(shù)方程：x=acos，y=bsin(2

11、)雙曲線的方程的形式有兩種： 標(biāo)準(zhǔn)方程：+=1 (m·n<0) 距離式方程：|=2a(3)三種圓錐曲線的通徑你記得嗎？橢圓：；雙曲線：；拋物線：2p(4)圓錐曲線的定義你記清楚了嗎？如：已知F1、F2是橢圓+=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|MF2|=2則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是( )A雙曲線； B雙曲線的一支； C兩條射線； D一條射線(5)焦點(diǎn)三角形面積公式：P在橢圓上，SPF1F2=b2tan；P在雙曲線上，SPF1F2=b2cot(其中F1PF2=，cos=，向量PF1·PF2=|PF1|PF2|cos)(6)記住焦半徑公式：橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)為a±

12、;ex0；焦點(diǎn)在y軸上時(shí)為a±ey0，可簡(jiǎn)記為“左加右減，上加下減”雙曲線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)為e|x0|±a拋物線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)為|x1|+，焦點(diǎn)在y軸上時(shí)為|y1|+(7)橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚嗎？ 橢圓： b2+c2=a2； 雙曲線： a2+b2=c2第二、方法儲(chǔ)備1、點(diǎn)差法(中點(diǎn)弦問題)具有斜率的弦中點(diǎn)問題，常用設(shè)而不求法(點(diǎn)差法)：設(shè)曲線上兩點(diǎn)為(x1,y1)，(x2,y2,)，代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式，消去四個(gè)參數(shù)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，M(a,b)為橢圓+=1的弦AB中點(diǎn)則有+=1，+=1；兩式相減得=，kAB=2、

13、聯(lián)立消元法： 求弦長：設(shè)直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)二次方程，使用判別式0，以及根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦長公式兩交點(diǎn)問題：設(shè)曲線上的兩點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，將這兩點(diǎn)代入曲線方程得到兩個(gè)式子，然后兩式相減，整體消元······，若有兩個(gè)字母未知數(shù)，則要找到它們的聯(lián)系，消去一個(gè)，比如直線過焦點(diǎn)，則可以利用三點(diǎn)A、B、F共線解決之若有向量的關(guān)系，則尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理一旦設(shè)直線為y=kx+b，就意味著k存在例1、已知三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓4x2+5y2=80上，且

14、點(diǎn)A是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)(點(diǎn)A在y軸正半軸上)(1)若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線BC的方程；(2)若角A為90°，AD垂直BC于D，試求點(diǎn)D的軌跡方程分析：第一問抓住“重心”，利用點(diǎn)差法及重心坐標(biāo)公式可求出中點(diǎn)弦BC的斜率，從而寫出直線BC的方程第二問抓住角A為90°可得出ABAC，從而得x1x2+y1y214(y1+y2)+16=0，然后利用聯(lián)立消元法及交軌法求出點(diǎn)D的軌跡方程；解：(1)設(shè)B(x1,y1)，C(x2,y2)，BC中點(diǎn)為(x0,y0)，F(xiàn)(2,0)，則有+=1，+=1兩式作差有+=0，即+=0 (1)F(2,0)為三角形重心，所以由=2，得

15、x0=3，由=0得y0=2，代入(1)得k=，直線BC的方程為6x5y28=0(2)由ABAC得x1x2+y1y214(y1+y2)+16=0(2)設(shè)直線BC方程為y=kx+b，代入4x2+4y2=80，得(4+5k2)x2+10bkx+5b280=0x1+x2=，x1x2=，y1+y2=，y1y2= 代入(2)式得=0，解得b=4(舍)或b=直線過定點(diǎn)(0,)，設(shè)D(x,y)，則×=1，即9y2+9x232y16=0所以所求點(diǎn)D的軌跡方程是x2+(y)2=()2(y4)3、設(shè)而不求法例2、如下左1圖，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，點(diǎn)E分有向線段向量AC所成的比為，雙曲線過

16、C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)當(dāng)時(shí)，求雙曲線離心率e的取值范圍分析：本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力建立直角坐標(biāo)系xOy，如圖，若設(shè)C(,h)，代入=1，求得h，進(jìn)而求得xE、yE，再代入=1，建立目標(biāo)函數(shù)f(a,b,c,)=0，整理f(e,)=0，此運(yùn)算量可見是難上加難我們對(duì)h可采取設(shè)而不求的解題策略，建立目標(biāo)函數(shù)f(a,b,c,)=0，整理f(e,)=0，化繁為簡(jiǎn)解法一：如上圖，以AB為垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系xOy，則CDy軸因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知C、

17、D關(guān)于y軸對(duì)稱 依題意，記A(c,0)，C(,h)，E(x0,y0)，其中c=|AB|為雙曲線的半焦距，h是梯形的高，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得：x0=，y0=設(shè)雙曲線的方程為=1，則離心率e=由點(diǎn)C、E在雙曲線上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和e=代入雙曲線方程得=1、()()=1由式得 =1，將式代入式，整理得(44)=1+2，故 =1由題設(shè)得，1，解得e所以雙曲線的離心率的取值范圍為,分析：考慮|AE|，|AC|為焦半徑，可用焦半徑公式，|AE|，|AC|用E，C的橫坐標(biāo)表示，回避h的計(jì)算, 達(dá)到設(shè)而不求的解題策略解法二：建系同解法一，|AE|=(a+exE)，|AC|=a+exC，xE=，又=，代入整理

18、=1，由題設(shè)得，1，解得e所以雙曲線的離心率的取值范圍為,4、判別式法例3、已知雙曲線C：=1，直線l過點(diǎn)A(,0)，斜率為k，當(dāng)0<k<1時(shí)，雙曲線的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線l的距離為，試求k的值及此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)分析1：解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段 從“有且僅有”這個(gè)微觀入手，對(duì)照草圖，不難想到：過點(diǎn)B作與l平行的直線，必與雙曲線C相切 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式=0 由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路：l：y=k(x)(0<k<1)，由直線l在l的上方且到直線l的距離為l：y=kx+k由直線l

19、的方程代入雙曲線方程，消去y，令=0解得k的值解題過程略分析2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn)B到直線l的距離為”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解 據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路：?jiǎn)栴}線線距離為有唯一解一元二次方程根的問題求解簡(jiǎn)解：設(shè)點(diǎn)M(x,)為雙曲線C上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線l的距離為：=(0<k<1)(*)于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于x的方程由于0<k<1，所以>|x|>kx，從而有|kxk|=kx+k于是關(guān)于x的方程(*)kx+k=()2=(k+kx)2、k+kx>0(k21)x2+2k(k)x+(k)22=0、

20、k+kx>0由0<k<1可知：方程(k21)x2+2k(k)x+(k)22=0的二根同正，故k+kx>0恒成立，于是(*)等價(jià)于(k21)x2+2k(k)x+(k)22=0由如上關(guān)于x的方程有唯一解，得其判別式=0，就可解得k=點(diǎn)評(píng)：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性例4、已知橢圓C：x2+2y2=8和點(diǎn)P(4,1)，過P作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在線段AB上取點(diǎn)Q，使=，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡所在曲線的方程分析：這是一個(gè)軌跡問題，解題困難在于多動(dòng)點(diǎn)的困擾，學(xué)生往往不知從何入手其實(shí)，應(yīng)該想到軌跡問題可以通過參數(shù)法求解 因此，首先是選定參

21、數(shù)，然后想方設(shè)法將點(diǎn)Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過消參可達(dá)到解題的目的由于點(diǎn)Q(x,y)的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直線AB的斜率k作為參數(shù)，如何將x，y與k聯(lián)系起來？一方面利用點(diǎn)Q在直線AB上；另一方面就是運(yùn)用題目條件：=來轉(zhuǎn)化由A、B、P、Q四點(diǎn)共線，不難得到x=，要建立x與k的關(guān)系，只需將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達(dá)定理即可通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對(duì)于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù)=x=將直線方程代入橢圓方程，消去y，利用韋達(dá)定理x=f(k)利用點(diǎn)Q滿足直線AB的方程：y=k(x4)+1，消去參數(shù)k點(diǎn)Q的軌跡方程在得到x=f(k)

22、之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識(shí)到：所謂消參，目的不過是得到關(guān)于x，y的方程(不含k)，則可由y=k(x4)+1解得k=，直接代入x=f(k)即可得到軌跡方程從而簡(jiǎn)化消去參的過程簡(jiǎn)解：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，Q(x,y)，則由=可得：=，解之得：x=(1)設(shè)直線AB的方程為：y=k(x4)+1，代入橢圓C的方程，消去y得出關(guān)于 x的一元二次方程：(2k2+1)x2+4k(14k)x+2(14k)28=0(2)，x1+x2=，x1x2=代入(1)，化簡(jiǎn)得：x=(3)，與y=k(x4)+1聯(lián)立，消去k得：(2x+y4)(x4)=0在(2)中，由=64k2+64k+24>0，解得

23、<k<，結(jié)合(3)可求得<x<故知點(diǎn)Q的軌跡方程為：2x+y4=0(<x<)點(diǎn)評(píng)：由方程組實(shí)施消元，產(chǎn)生一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個(gè)變量的一元二次方程，其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到這當(dāng)中，難點(diǎn)在引出參，活點(diǎn)在應(yīng)用參，重點(diǎn)在消去參，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道5、求根公式法例5、設(shè)直線l過點(diǎn)P(0,3)，和橢圓+=1順次交于A、B兩點(diǎn)，試求的取值范圍分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：=，但從此后卻一籌莫展, 問題的根源在于對(duì)題目的整體把握不夠 事實(shí)上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)(或某幾個(gè))參數(shù)

24、的函數(shù)關(guān)系式(或方程)，這只需利用對(duì)應(yīng)的思想實(shí)施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系分析1：從第一條想法入手，=已經(jīng)是一個(gè)關(guān)系式，但由于有兩個(gè)變量xA，xB，同時(shí)這兩個(gè)變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個(gè)變量直線AB的斜率k 問題就轉(zhuǎn)化為如何將xA，xB轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達(dá)式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關(guān)于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程通過求根公式xA= f(k)，xB = g(k)通過=得到所求量關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式由判別式得出k的取值范圍所求量的取值范圍簡(jiǎn)解1：當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，可求得

25、=；當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，直線l的方程為：y=kx+3，代入橢圓方程，消去y得(9k2+4)x2+54kx+45=0解得x=因?yàn)闄E圓關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)P在y軸上，所以只需考慮k>0的情形當(dāng)k>0時(shí)，x1=，x2=，所以=1=1由=(54k)2180(9k2+4)0，解得k2，11<，綜上1分析2：如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源由判別式值的非負(fù)性可以很快確定k的取值范圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與k聯(lián)系起來一般來說，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問題的橋梁，但本題無法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于=不是關(guān)于x1，x2

26、的對(duì)稱關(guān)系式原因找到后，解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于x1，x2的對(duì)稱關(guān)系式把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，由韋達(dá)定理xA+ xB = f(k)，xA xB = g(k)由=構(gòu)造所求量與k的關(guān)系式由判別式得出k的取值范圍關(guān)于所求量的不等式簡(jiǎn)解2：設(shè)直線l的方程為：y=kx+3，代入橢圓方程，消去y得(9k2+4)x2+54kx+45=0(*)x1+x2=，x1x2=令=，則+2=在(*)中，由判別式0可得k2，從而有4，所以4+2，解得5結(jié)合0<1得1 綜上，1點(diǎn)評(píng)：范圍問題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變

27、量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等 本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時(shí)局部的勝利并不能說明問題，有時(shí)甚至?xí)痪植克m纏而看不清問題的實(shí)質(zhì)所在，只有見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運(yùn)籌帷幄，方能決勝千里第三、推理訓(xùn)練：數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心以已知的真實(shí)數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達(dá)到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列推理過程在推理過程中，必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系(充分性、必要性、充要性等)，做到思考縝密、推理嚴(yán)密通過編寫思維流程圖來錘煉自己的大腦

28、，快速提高解題能力例6、橢圓長軸端點(diǎn)為A、B，O為橢圓中心，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且向量AF·FB=1，|OF|=1(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記橢圓的上頂點(diǎn)為M，直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，問：是否存在直線l，使點(diǎn)F恰為PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由思維流程：(1)由向量AF·FB=1，|OF|=1(a+c)(ac)=1，c=1a=，b=1得到橢圓方程(2)由F為PQM的重心PQMF，MPFQkPQ=13x2+4mx+2m22=0x1+x2、x1x2向量MP·FQ=0得到關(guān)于m的方程解出m解題過程： (1)如圖建系，設(shè)橢圓方程為+=1(

29、a>b>0)，則c=1又向量AF·FB=1，即(a+c)(ac)=1=a2c2，a2=1，故橢圓方程為+y2=1(2)假設(shè)存在直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，且F恰為PQM的垂心，則設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，M(0,1)，F(xiàn)(1,0)，故kPQ=1，于是設(shè)直線l為y=x+m，聯(lián)立直線與橢圓得，3x2+4mx+2m22=0向量MP·FQ=0，x1(x21)+y2(y11)，又yi=xi+m(i=1，2)，x1(x21)+(x2+m)(x1+m1)=0，即2x1x2+(x1+x2)(m1)+m2m=0 由韋達(dá)定理得2·(m1)+m2m=0，解得m=或

30、m=1(舍)經(jīng)檢驗(yàn)m=符合條件點(diǎn)石成金：垂心的特點(diǎn)是垂心與頂點(diǎn)的連線垂直對(duì)邊，然后轉(zhuǎn)化為兩向量乘積為零例7、已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過A(2,0)、B(2,0)、C(1,)三點(diǎn)(1)求橢圓E的方程：(2)若點(diǎn)D為橢圓E上不同于A、B的任意一點(diǎn)，F(xiàn)(1,0)，H(1,0)，當(dāng)DFH內(nèi)切圓的面積最大時(shí)，求DFH內(nèi)心的坐標(biāo)；思維流程：(1)由橢圓經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)設(shè)方程mx2+ny2=1得到m，n的方程組解出m，n (2)由DFH內(nèi)切圓面積最大轉(zhuǎn)化為DFH面積最大轉(zhuǎn)化為點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值最大最大D為橢圓短軸端點(diǎn)DFH面積最大值為SDFH=×周長×r內(nèi)切圓

31、r內(nèi)切圓=得出D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±)解題過程：(1)設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m>0，n>0)，將A(2,0)、B(2,0)、C(1,)代入橢圓E的方程，得，解得m=，n=橢圓E的方程+=1(2)|FH|=2，設(shè)DFH邊上的高為SDFH=×2×h=h當(dāng)點(diǎn)D在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，h最大為，所以SDFH的最大值為設(shè)DFH的內(nèi)切圓的半徑為R，因?yàn)镈FH的周長為定值6所以，SDFH=R×6所以R的最大值為所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為(0,)點(diǎn)石成金：S的內(nèi)切圓=×周長×r的內(nèi)切圓例8、已知定點(diǎn)C(1,0)及橢圓x2+3y2=5，過點(diǎn)C的

32、動(dòng)直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)(1)若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求直線AB的方程；(2)在x軸上是否存在點(diǎn)M，使向量MA·MB為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由思維流程：(1)解：依題意，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)，將y=k(x+1)代入x2+3y2=5， 消去y整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k25=0 設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則=36k44(3k2+1)(3k25)>0、x1+x2=由線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，得=，解得k=±，符合題意所以直線AB的方程為xy+1=0，或x+y+1=0(2)解：假設(shè)在x軸

33、上存在點(diǎn)M(m,0)，使向量MA·MB為常數(shù)當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，由(1)知x1+x2=，x1x2=(3) 所以向量MA·MB=(x1m)(x2m)+y1y2=(x1m)(x2m)+k2(x1+1)(x2+1)=(k2+1)x1x2+(k2m)(x1+x2)+k2+m2將(3)代入，整理得向量MA·MB=+m2=+m2=m2+2m注意到向量MA·MB是與k無關(guān)的常數(shù)， 從而有6m+14=0，m=， 此時(shí)向量MA·MB=當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(1,)、(1,)，當(dāng)m=時(shí)， 亦有MA·MB= 綜上，在x軸上存

34、在定點(diǎn)M(,0)，使向量MA·MB為常數(shù)點(diǎn)石成金：向量MA·MB=+m2=+m2=m2+2m例9、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點(diǎn)M(2,1)，平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m0)，l交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)(1)求橢圓的方程；(2)求m的取值范圍；(3)求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形思維流程：解：(1)設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0)，則，解得，橢圓方程為+=1(2)直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m，又KOM=，l的方程為y=x+m聯(lián)立直線與橢圓并消去y得x2+2mx+2m24=0直線l與橢圓交于A

35、、B兩個(gè)不同點(diǎn)，=(2m)24(2m24)>0，解得2<m<2，且m0(3)設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，且x1+x2=2m，x1x2=2m24，則k1=，k2=而k1+k2=+=0，即k1+k2=0故直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形點(diǎn)石成金：直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形k1+k2=0例10、已知雙曲線=1的離心率e=，過A(a,0)，B(0,b)的直線到原點(diǎn)的距離是(1)求雙曲線的方程；(2)已知直線y=kx+5(k0)交雙曲線于不同的點(diǎn)C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值思維流程：解：(1)=，原點(diǎn)到直線AB：=1的距離d=，b=1，a=故所求雙曲線方程為y2=1(2)把y=kx+5代入x23y2=3中消去y，整理得(13k2)x230kx78=0設(shè)C(x1,y1)，D(x2,y2)，CD的中點(diǎn)是E(x0,y0)，則x0=·y0=kx0+5=，kBE=x0+ky0+k=0即+k=0又k0，k2=7，故所求k=±點(diǎn)石成金：C，D都在以B為圓心的圓上BC=B