圓錐頂點(diǎn)的截面面積的最大值問(wèn)題

1、圓錐頂點(diǎn)的截面面積的最大值問(wèn)題文1得出了如下結(jié)論：若圓錐為“銳角或直角圓錐”（）時(shí)，過(guò)圓錐頂點(diǎn)的所有截面中，軸截面面積最大，最大值是；ABPO圖1CD若圓錐為“鈍角圓錐”時(shí)，過(guò)圓錐頂點(diǎn)的所有截面中，不是軸截面面積最大，而是使截面成等腰直角三角形的截面面積最大，最大值為為得出上述結(jié)論，作者采用的方法是（如圖1）：設(shè)圓錐的高為底面半徑為，截面與底面的交線從而得出再利用基本不等式（時(shí)）和利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性分類討論求出的最大值本文首先采用較上述方法更為簡(jiǎn)單且更容易被學(xué)生理解、掌握（特別是還未學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的高二學(xué)生）的方法得出該結(jié)論，然后再用同樣的方法研究圓臺(tái)的過(guò)兩條母線的截面面積的最大值問(wèn)題如圖

2、1，設(shè)圓錐的高、底面半徑和母線長(zhǎng)分容易別為、，圓錐的軸截面頂角，是圓錐的過(guò)頂點(diǎn)的任意一截面，設(shè)，過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面三角形（都是腰長(zhǎng)為的等腰三角形）中，頂角最大的是軸截面在軸截面中有和當(dāng)（或）時(shí)，；當(dāng)（或）時(shí)，；當(dāng)（或）時(shí)，我們把軸截面頂角分別為銳角、直角、鈍角的圓錐依次稱為銳角圓錐、直角圓錐、鈍角圓錐而，當(dāng)且僅當(dāng)取最大值時(shí)，取最大值當(dāng)圓錐為“銳角或直角圓錐”（或）時(shí)，即過(guò)圓錐頂點(diǎn)的所有截面中，軸截面面積最大，最大值是=；當(dāng)圓錐為“鈍角圓錐”或時(shí)，即過(guò)圓錐頂點(diǎn)的所有截面中，不是軸截面面積最大，而是使截面成等腰直角三角形的截面面積最大，最大值為以上方法抓住了截面三角形是腰長(zhǎng)為定值（即母線長(zhǎng)）的等腰三

3、角形這一特征，而采用公式來(lái)計(jì)算截面的面積，顯然其思路更自然、過(guò)程更明晰簡(jiǎn)潔、且更容易被學(xué)生理解和掌握以下研究圓臺(tái)的過(guò)兩條母線的截面面積的最值問(wèn)題如圖2，設(shè)圓臺(tái)的上、下底半徑分別為，高和母線分別為（顯然，），等腰梯形ABCD和EFGH分別是圓臺(tái)的軸截面和任一過(guò)兩母線的截面將圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐（如圖3）則，（其中）H，BOADCPEFG圖3BACDEFGHO圖2若我們把由銳角圓錐、直角圓錐、鈍角圓錐截得的圓臺(tái)依次稱為銳角圓臺(tái)、直角圓臺(tái)、鈍角圓臺(tái)，則顯然有以下結(jié)論：若圓臺(tái)為“銳角或直角圓臺(tái)”時(shí)，過(guò)圓臺(tái)兩母線的所有截面中，軸截面面積最大，最大值是；若圓臺(tái)為“鈍角圓臺(tái)”時(shí)，過(guò)圓臺(tái)兩母線的所有截面中，不是軸截面面積最大，而是使截面等腰梯形的兩個(gè)下底角等于的截面面積最大，且最大值為顯然，從以上對(duì)圓臺(tái)的三種分類（銳角圓臺(tái)、直角圓臺(tái)和鈍角圓臺(tái)）的定義可知，圓臺(tái)的類型還可從軸截面等腰梯形ABCD的底角大小來(lái)判斷（如圖4）：DCBA圖4當(dāng)時(shí)，圓臺(tái)是銳角圓臺(tái)；當(dāng)時(shí)，圓臺(tái)是直角圓臺(tái)；當(dāng)時(shí)，圓臺(tái)是鈍角圓臺(tái)我們有下面的結(jié)論：當(dāng)（或時(shí)，過(guò)圓臺(tái)兩母線的所有截面中，軸截面面積最大，最大值是；當(dāng)（或時(shí)，過(guò)圓臺(tái)兩母線的所有截面中，不是軸截面面積最大，而是使截面等腰梯形的兩個(gè)下底角等于