直線與圓教學(xué)設(shè)計(jì)

1、直線與圓教學(xué)設(shè)計(jì)第一節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線方程直線及其方程(1)在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素(2)理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式(3)掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率1直線的傾斜角(1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫作直線l的傾斜角(2)規(guī)定：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0.(3)范圍：直線的傾斜角的取值范圍是0，)2直線的斜率(1)定義：當(dāng)直線l的傾斜角時(shí)，其傾斜角的正切值tan 叫作這條斜

2、線的斜率，斜率通常用小寫字母k表示，即ktan_.(2)斜率公式：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直線的斜率公式為k.易誤提醒任意一條直線都有傾斜角，但只有與x軸不垂直的直線才有斜率(當(dāng)直線與x軸垂直，即傾斜角為時(shí)，斜率不存在)自測(cè)練習(xí)1若經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(4,2y1)，B(2，3)的直線的傾斜角為，則y等于()A1B3C0 D2解析：由ktan 1.得42y2.y3.答案：B2如圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則()Ak1<k2<k3Bk3<k1<k2Ck3<k2<k1Dk1<k3<k2解析：由題圖

3、可知k1<0，k2>0，k3>0，且k2>k3，k1<k3<k2.答案：D知識(shí)點(diǎn)二直線方程名稱幾何條件方程適用條件斜截式縱截距、斜率ykxb與x軸不垂直的直線點(diǎn)斜式過(guò)一點(diǎn)、斜率yy0k(xx0)兩點(diǎn)式過(guò)兩點(diǎn)與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線續(xù)表截距式縱、橫截距1不過(guò)原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線一般式AxByC0(A2B20)所有直線易誤提醒(1)利用兩點(diǎn)式計(jì)算斜率時(shí)易忽視x1x2時(shí)斜率k不存在的情況(2)用直線的點(diǎn)斜式求方程時(shí)，在斜率k不明確的情況下，注意分k存在與不存在討論，否則會(huì)造成失誤(3)直線的截距式中易忽視截距均不為0這一條件，當(dāng)截距為0時(shí)可用點(diǎn)斜式(4)

4、由一般式AxByC0確定斜率k時(shí)易忽視判斷B是否為0，當(dāng)B0時(shí)，k不存在；當(dāng)B0時(shí)，k.自測(cè)練習(xí)3過(guò)點(diǎn)(1,2)且傾斜角為30°的直線方程為()A.x3y60B.x3y60C.x3y60D.x3y60解析：直線斜率ktan 30°，直線的點(diǎn)斜式方程為y2(x1)，整理得x3y60，故選B.答案：B4已知直線l：axy2a0在x軸和y軸上的截距相等，則a的值是()A1 B1C2或1 D2或1解析：由題意可知a0.當(dāng)x0時(shí)，ya2.當(dāng)y0時(shí)，x.a2，解得a2或a1.答案：D考點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率|1直線xym0(mR)的傾斜角為()A30°B60°C15

5、0° D120°解析：直線的斜率k，tan .又0<180°，150°.故選C.答案：C2直線l：ax(a1)y20的傾斜角大于45°，則a的取值范圍是_解析：當(dāng)a1時(shí)，直線l的傾斜角為90°，符合要求：當(dāng)a1時(shí)，直線l的斜率為，則有>1或<0，解得1<a<或a<1或a>0.綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0，)答案：(0，)3(2016·太原模擬)已知點(diǎn)A(2，3)，B(3，2)，直線l過(guò)點(diǎn)P(1,1)且與線段AB有交點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍為_解析：如圖，kPA4，kPB.要

6、使直線l與線段AB有交點(diǎn)，則有k或k4.答案：(，4求傾斜角的取值范圍的一般步驟(1)求出tan 的取值范圍；(2)利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象，確定傾斜角的取值范圍注意已知傾斜角的范圍，求斜率k的范圍時(shí)注意下列圖象的應(yīng)用：當(dāng)ktan ，時(shí)的圖象如圖： 考點(diǎn)二直線的方程|根據(jù)所給條件求直線的方程：(1)直線過(guò)點(diǎn)(4,0)，傾斜角的正弦值為；(2)直線過(guò)點(diǎn)(3,4)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12.解(1)由題設(shè)知，該直線的斜率存在，故可采用點(diǎn)斜式設(shè)傾斜角為，則sin (0<<)，從而cos ±，則ktan ±.故所求直線方程為y±(x4)，即x3y4

7、0或x3y40.(2)由題設(shè)知截距不為0，設(shè)直線方程為1，又直線過(guò)點(diǎn)(3,4)，從而1，解得a4或a9.故所求直線方程為4xy160或x3y90.(1)在求直線方程時(shí)，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问剑⒆⒁飧鞣N形式的適用條件(2)對(duì)于點(diǎn)斜式、截距式方程使用時(shí)要注意分類討論思想的運(yùn)用求直線過(guò)點(diǎn)(5,10)且到原點(diǎn)的距離為5的直線方程解：當(dāng)斜率不存在時(shí)，所求直線方程為x50，適合題意，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則所求直線方程為y10k(x5)，即kxy(105k)0.由點(diǎn)到直線的距離公式，得5，解得k.故所求直線方程為3x4y250.綜上知，所求直線方程為x50或3x4y250.考點(diǎn)三直線方程的綜合應(yīng)用|直線方

8、程的綜合應(yīng)用是高考常考內(nèi)容之一，它經(jīng)常與不等式、導(dǎo)數(shù)、平面向量、數(shù)列等有關(guān)知識(shí)進(jìn)行交匯，考查學(xué)生綜合運(yùn)用直線知識(shí)解決問(wèn)題的能力歸納起來(lái)常見的命題探究角度有：1與最值相結(jié)合問(wèn)題2與導(dǎo)數(shù)的幾何意義相結(jié)合問(wèn)題3與平面向量相結(jié)合問(wèn)題4與數(shù)列相結(jié)合問(wèn)題探究一與最值相結(jié)合問(wèn)題1(2015·高考福建卷)若直線1(a>0，b>0)過(guò)點(diǎn)(1,1)，則ab的最小值等于()A2B3C4 D5解析：法一：因?yàn)橹本€1(a>0，b>0)過(guò)點(diǎn)(1,1)，所以1，所以12(當(dāng)且僅當(dāng)ab2時(shí)取等號(hào))，所以2.又ab2(當(dāng)且僅當(dāng)ab2時(shí)取等號(hào))，所以ab4(當(dāng)且僅當(dāng)ab2時(shí)取等號(hào))，故選C.法二

9、：因?yàn)橹本€1(a>0，b>0)過(guò)點(diǎn)(1,1)，所以1，所以ab(ab)2224(當(dāng)且僅當(dāng)ab2時(shí)取等號(hào))，故選C.答案：C探究二與導(dǎo)數(shù)的幾何意義相結(jié)合問(wèn)題2已知函數(shù)f(x)x4ln x，則曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為_解析：由f(x)1，則kf(1)3，又f(1)1，故切線方程為y13(x1)，即3xy40.答案：3xy40探究三與平面向量相結(jié)合問(wèn)題3在平面直角坐標(biāo)平面上，(1,4)，(3,1)，且與在直線的方向向量上的投影的長(zhǎng)度相等，則直線l的斜率為()A B.C.或 D.解析：直線l的一個(gè)方向向量可設(shè)為h(1，k)，由題|14k|3k|，解得k或k，故選C.答

10、案：C探究四與數(shù)列相結(jié)合問(wèn)題4已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(nN*)，其前n項(xiàng)和Sn，則直線1與坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積為()A36 B45C50 D55解析：由an可知an，Sn1，又知Sn，1，n9.直線方程為1，且與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(10,0)和(0,9)，直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為×10×945，故選B.答案：B17.忽視零截距致誤【典例】設(shè)直線l的方程為(a1)xy2a0(aR)(1)若l在兩坐標(biāo)軸上截距相等，求l的方程；(2)若l不經(jīng)過(guò)第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，該直線在x軸和y軸上的截距為零a2，方程即為3xy0.當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)

11、時(shí)，截距存在且均不為0，a2，即a11，a0，方程即為xy20.綜上，l的方程為3xy0或xy20.(2)將l的方程化為y(a1)xa2，或a1.綜上可知a的取值范圍是a1.易誤點(diǎn)評(píng)本題易錯(cuò)點(diǎn)求直線方程時(shí)，漏掉直線過(guò)原點(diǎn)的情況防范措施(1)在求與截距有關(guān)的直線方程時(shí)，注意對(duì)直線的截距是否為零進(jìn)行分類討論，防止忽視截距為零的情形，導(dǎo)致產(chǎn)生漏解(2)常見的與截距問(wèn)題有關(guān)的易誤點(diǎn)有：“截距互為相反數(shù)”；“一截距是另一截距的幾倍”等，解決此類問(wèn)題時(shí)，要先考慮零截距情形，注意分類討論思想的運(yùn)用跟蹤練習(xí)若直線過(guò)點(diǎn)P(2,1)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則這樣的直線的條數(shù)為()A1B2C3 D以上都有可能解析

12、：當(dāng)截距均為零時(shí)，顯然有一條；當(dāng)截距不為零時(shí)，設(shè)直線方程為xya，則a213，有一條綜上知，直線過(guò)點(diǎn)P(2,1)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線有兩條，故選B.答案：BA組考點(diǎn)能力演練1直線l：xsin 30°ycos 150°10的斜率是()A.B.C D解析：設(shè)直線l的斜率為k，則k.答案：A2在等腰三角形AOB中，AOAB，點(diǎn)O(0,0)，A(1,3)，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，則直線AB的方程為()Ay13(x3) By13(x3)Cy33(x1) Dy33(x1)解析：因?yàn)锳OAB，所以直線AB的斜率與直線AO的斜率互為相反數(shù)，所以kABkOA3，所以直線AB的點(diǎn)斜式方

13、程為：y33(x1)答案：D3直線2xmy13m0，當(dāng)m變動(dòng)時(shí)，所有直線都通過(guò)定點(diǎn)()A. B.C. D.解析：(2x1)m(y3)0恒成立，2x10，y30，x，y3.定點(diǎn)為.答案：D4(2016·海淀一模)已知點(diǎn)A(1,0)，B(cos ，sin )，且|AB|，則直線AB的方程為()Ayx或yxByx或yxCyx1或yx1Dyx或yx解析：|AB| ，所以cos ，sin ±，所以kAB±，即直線AB的方程為y±(x1)，所以直線AB的方程為yx或yx，選B.答案：B5(2016·貴陽(yáng)模擬)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2)，在x軸上的截距的取值范

14、圍是(3,3)，則其斜率的取值范圍是()A1<k< Bk>1或k<Ck>或k<1 Dk>或k<1解析：設(shè)直線的斜率為k，則直線方程為y2k(x1)，直線在x軸上的截距為1，令3<1<3，解不等式可得也可以利用數(shù)形結(jié)合選D.答案：D6(2016·溫州模擬)直線3x4yk0在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為2，則實(shí)數(shù)k_.解析：令x0，得y；令y0，得x.則有2，所以k24.答案：247設(shè)點(diǎn)A(1,0)，B(1,0)，直線2xyb0與線段AB相交，則b的取值范圍是_解析：b為直線y2xb在y軸上的截距，如圖，當(dāng)直線y2xb過(guò)點(diǎn)A(1,0)

15、和點(diǎn)B(1，0)時(shí)，b分別取得最小值和最大值b的取值范圍是2,2答案：2,28一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,2)，并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，則此直線的方程為_解析：設(shè)直線的斜率為k(k0)，則直線方程為y2k(x2)，由x0知y2k2.由y0知x.由|2k2|1.得k或k2.故直線方程為x2y20或2xy20.答案：x2y20或2xy209已知直線l過(guò)點(diǎn)P(3,2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，如圖所示，求ABO的面積的最小值及此時(shí)直線l的方程解：法一：設(shè)直線方程為1(a>0，b>0)，點(diǎn)P(3,2)代入得12，得ab24，從而SABOab12，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立

16、，這時(shí)k，從而所求直線方程為2x3y120.法二：依題意知，直線l的斜率k存在且k<0.則直線l的方程為y2k(x3)(k<0)，且有A，B(0,23k)，SABO(23k)×(1212)12.當(dāng)且僅當(dāng)9k，即k時(shí)，等號(hào)成立，即ABO的面積的最小值為12.故所求直線的方程為2x3y120.10已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(3,0)，B(2，1)，C(2,3)，求：(1)BC邊所在直線的方程；(2)BC邊上中線AD所在直線的方程；(3)BC邊的垂直平分線DE的方程解：(1)因?yàn)橹本€BC經(jīng)過(guò)B(2,1)和C(2,3)兩點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得BC的方程為，即x2y40.(2)設(shè)BC邊的

17、中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則x0，y2.BC邊的中線AD過(guò)點(diǎn)A(3,0)，D(0,2)兩點(diǎn)，由截距式得AD所在直線方程為1，即2x3y60.(3)由(1)知，直線BC的斜率k1，則直線BC的垂直平分線DE的斜率k22.由(2)知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2)由點(diǎn)斜式得直線DE的方程為y22(x0)，即2xy20.B組高考題型專練1(2014·高考安徽卷)過(guò)點(diǎn)P(，1)的直線l與圓x2y21有公共點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍是()A. B.C. D.解析：法一：如圖，過(guò)點(diǎn)P作圓的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B.由題意知OP2，OA1，則sin ，所以30°，BPA60°.故直線l的傾斜角的取值范圍是.選D.法二：設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線方程為yk(x)1，則由直線和圓有公共點(diǎn)知1.解得0k.故直線l的傾斜角的取值范圍是.答案：D