“圓錐曲線平行弦中點軌跡問題”說題

1、圓錐曲線平行弦中點軌跡問題”說題“說題”是近年來涌現(xiàn)出的一種新型教學(xué)研究模式.簡單 地講：說題是執(zhí)教者或受教育者在精心做題的基礎(chǔ)上，闡述對習(xí)題 解答時所采用的思維方式，解題策略及依據(jù)，進(jìn)而總結(jié)出經(jīng)驗性解 題規(guī)律.“說題”使教研活動更入微了，可以說是教研活動的一 次創(chuàng)新一般說來，說題應(yīng)從以下幾個方面進(jìn)行分析：數(shù)學(xué)思想與數(shù) 學(xué)方法，命題變化的自然思維，小結(jié)、歸納與應(yīng)用，一題多解、發(fā) 散思維，常規(guī)變式，多種變式、融會貫通，從特殊到一般尋找規(guī) 律要求數(shù)學(xué)教師不但對題目進(jìn)行深層次的挖掘，說出題目的本 質(zhì)、新意、特色，還要說出題目的編制、演變過程以及該題目的 潛在價值.下面是本人的一次說題研究，在此拋磚引

2、玉供各位參考.一、說問題背景問題來源于2005年上海市普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué) 試卷第22題：(1) 求右焦點坐標(biāo)是(2, 0),且經(jīng)過點(-2, -2)的 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 已知橢圓C的方程是x2a2+y2b2=l(a>b>0),設(shè) 斜率為k的直線I,交橢圓C于A、B兩點，AE的中點為M.證 明：當(dāng)直線1平行移動時，動點M在一條過原點的定直線上；(3) 利用(2)所揭示的橢圓幾何性質(zhì)，用作圖方法找出下面給 定橢圓的中心，簡要寫出作圖步驟，并在圖中標(biāo)出橢圓的中心.二、說問題立意1 考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì);屮心對稱等;2.考查數(shù)學(xué)思想有：從特殊到一般思想；數(shù)形結(jié)合思想；分

3、類討論思 想；數(shù)學(xué)方法：判別式法；函數(shù)與方程轉(zhuǎn)化等；引導(dǎo)將雙曲線問題與 相應(yīng)的橢圓問題開展類比研究的思想方法3.通過研究橢圓的平行弦的中點軌跡，對直線與曲線位置關(guān)系研 究方法 有更深刻的理解；這是將知識、方法、思想、能力素質(zhì)融于一體的 命題，也看出高校選拔人才對學(xué)生的直覺思維 能力、邏輯推理能 力、運算能力和自主探索能力等提出了較 高的要求.三、說問題解法 解法1( 1)略 (2)設(shè)直線I的方程為y=kx+m,與橢圓C的交點A(xl,yl )、B (x2, y2),則有 y=kx+m,x2a2+y2b2=l,解得(b2+a2k2) x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0 >0 , m

4、2<b2+a2k2,即-b2+a2k2mb2+a2k2貝 Uxl+x2=-2a2kmb2+a2k2, yl+y2=kxl+m+kx2+m=2b2mb2+a2k2AB 中點 M 的坐標(biāo)為(-a2kmb2+a2k2 , b2mb2+a2k2 ).線段AE的中點M在過原點的直線b2x+a2ky=0上.(3)如圖，作兩條平行直線分別交橢圓于A、B和C、D,并分別取AB、CD的中點M、N,連接直線MN ;又作兩 條平行直線 (與前兩條直線不平行)分別交橢圓于Al、B1和Cl、D1,并分別取A1B1. C1D1的中點Ml、N1,連接直 線 MINI,那么直線MN和MINI的交點0即為橢圓中心.解法2

5、 ( 2)可利用點差法；(3)利用一組平行弦中點作出 橢圓的一條弦其中點就是橢圓中心.用點差法求弦中點的軌跡，過程如下：設(shè)直線1的方程為 y=kx+m,與橢圓 C 的交點 A ( xl, yl ) > B ( x2, y2),由 x21a2+y21b2=l ,x22a2+y22b2=l ,相減得(xl+x2)(xl-x2)a2=- (yl+y2)(yl-y2)b2.當(dāng)xl=x2時，弦AB中點M軌跡方程為y=0 (-a<y當(dāng)yl二y2時，弦AB中點M軌跡方程為x=0 (-b<y<b);當(dāng) xl 工 x2 且 yl 工 y2 時，yl-y2xl-x2=-b2a2(xl+x2) ( yl+y2) , k=-b2a2?2x2y. y=-b2a2kx.再由方法一求出x的取值范圍.四、說問題來源問題源于高級中數(shù)課本(上海教育出版社) 高二年級第二學(xué)期12.4例5：求橢圓x24+y2=l中斜率為1的 平行弦的中點軌跡.例5與2005 ±海春招22 (2)兩題題目條件 一樣，解題方法也一樣，只是數(shù)字與字母的區(qū)別，體現(xiàn)了近年來高 考試題“追根溯源，回歸課本”，“源于課本，高于課本”的理 念，因此我們在高考復(fù)習(xí)中應(yīng)當(dāng)充分重視教材，研究教材，汲取教