野兔生長問題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)學(xué)建模一周論文（論文題目） 姓名1： 學(xué)號： 姓名2： 學(xué)號： 姓名3： 學(xué)號： 專 業(yè)：班 級：指導(dǎo)教師： 年 月 日摘要：根據(jù)某地區(qū)野兔連續(xù)十年統(tǒng)計(jì)量的曲線分布和野兔增長的一般規(guī)律，先找出野兔增長中的異常點(diǎn)，然后排除異常點(diǎn)，建立野兔增長的理論模型，然后應(yīng)用理論于實(shí)際，基于現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行運(yùn)用和對t=10的推測。首先，利用三次樣條插值做出其原始圖像，在假設(shè)條件下，遵循自然規(guī)律分析圖像，找出并去除t=4,t=5,t=6這三個異常點(diǎn)；然后，利用微分方程分析法，先對t到年兔子增量和增長率a的關(guān)系進(jìn)行分析，列出其微分方程，考慮到自然因素對野兔增長的影響，在前模型的基礎(chǔ)上增加競

2、爭項(xiàng)，重新建立模型；對其進(jìn)一步分析并用原始值與理論之進(jìn)行比較，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)其中的問題：曲線不能很好地反映斷層后野兔的增長趨勢；最后，為了更好地反映t=7以后的野兔的增長規(guī)律，提出分段表示其增長趨勢的思路：把異常點(diǎn)所在的年份作為“斷層”，在其兩側(cè)分別采用微分方程對其建模，在異常點(diǎn)采用了多次連續(xù)“斷層”的擬合方法對其求解，即先用三次多項(xiàng)式擬合其斷層，并進(jìn)一步對其函數(shù)，特別是其兩端進(jìn)行修正，以保證整個函數(shù)的連續(xù)性。從而畫出分段函數(shù)的圖像，得出該地區(qū)野兔的生長規(guī)律，并以此預(yù)測第十年野兔的數(shù)量。最后，函數(shù)以分段形式表示如下：并由此計(jì)算出t=10年時野兔的數(shù)量為y= 10.6864萬只。關(guān)鍵字：微分方程分析

3、法 競爭項(xiàng) 多次連續(xù)“斷層”的擬合1問題的重述在某地區(qū)野兔的數(shù)量在連續(xù)十年的統(tǒng)計(jì)數(shù)量(單位十萬)如下T=0T=1T=2T=3T=4T=5T=6T=7T=8T=912.319694.508536.905686.005125.564955.328077.561018.93929.5817分析該數(shù)據(jù)，得出野兔的生長規(guī)律。 并指出在哪些年內(nèi)野兔的增長有異常現(xiàn)象，預(yù)測T=10 時野兔的數(shù)量。2問題的分析 在自然界中野兔的增長受很多因素的影響，水、食物、或是自然災(zāi)害等都會對其產(chǎn)生一定的影響，這其中水和食物會對其產(chǎn)生恒久的制約作用，但不會影響其大體的增長趨勢，它會使野兔增長到一定數(shù)量之后因?yàn)楸舜说母偁幎蛊?/p>

4、數(shù)量趨于一個穩(wěn)定值；自然災(zāi)害則有可能對其產(chǎn)生致命的打擊，導(dǎo)致其增長產(chǎn)生異?，F(xiàn)象，而我們在研究其生長問題時應(yīng)將其排除在外?？疾靻栴}的題設(shè)和要求，我們必須從給出的數(shù)據(jù)中得出某地區(qū)野兔數(shù)量在連續(xù)十年的統(tǒng)計(jì)的圖像分布，這其中存在兔子數(shù)量增長異常的點(diǎn)。首先，我們應(yīng)該由圖像的分布趨勢和自然規(guī)律找出這些異常點(diǎn)；其次，要排除異常點(diǎn)，對其與數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的研究，由于經(jīng)過自然災(zāi)害后野兔的數(shù)量會大量減少，所以，我們還要考慮到兔子數(shù)量的驟減對增長規(guī)律的影響，對其進(jìn)行分段處理，分別求出各分段區(qū)間的野兔增長曲線，最后由曲線預(yù)測T=10時野兔的數(shù)量。問題的難點(diǎn)在于找出并排除異常點(diǎn)，比較為合理的得出異常年份兔子的近似增長曲線。

5、3問題的假設(shè)(i) 兔子的數(shù)量是連續(xù)增長的。(ii) 在正常情況下兔子的增長率為一個常數(shù)（增長率=出生率-死亡率）。(iii) 兔子的數(shù)量的增加和減少取決于兔子個體的生育和死亡、食物和水所引起的競爭，其它突發(fā)因素不在考慮之內(nèi)，但每一個個體都具有同樣的生育能力和死亡率。4變量的設(shè)定-年數(shù) -t年是兔子的數(shù)量-增長率-阻滯系數(shù)-待定系數(shù)5模型的建立和求解5.1 找出并排除異常點(diǎn) 由某地區(qū)野兔連續(xù)十年的增長統(tǒng)計(jì)量：tt=0t=1t=2t=3t=4t=5t=6t=7t=8t=912.319694.508536.905686.005125.564955.328077.561018.93929.5817表

6、 1-1為了更好地找出其異常點(diǎn)，我們應(yīng)該是讓圖像經(jīng)過每一點(diǎn)并且符合其趨勢，并利用三次樣條插值做出其大致圖像分布：y0123456789 t12345678910Spline1 由上面圖像可以看出在開始三年野兔的數(shù)量大致呈指數(shù)增長，第四年開始呈現(xiàn)下降趨勢，而從第七年開始又呈現(xiàn)出增長趨勢，并且最終有趨于穩(wěn)定的趨勢。根據(jù)我們自然規(guī)律，在我們的假設(shè)條件下，在開始幾年競爭力小，野兔應(yīng)該迅速的增長，一旦水和食物等自然資源的利用趨于飽和，野兔的增長率應(yīng)該變小并趨于零，此時野兔的數(shù)量也趨于一個穩(wěn)態(tài)值，所以，在整個過程中曲線應(yīng)該是持續(xù)增長的。但由上圖我們可以明顯的看出從第四年開始，野兔數(shù)量呈現(xiàn)下降趨勢，直到第六

7、年才開始有回升趨勢，這在假設(shè)條件下是不可能發(fā)生的。所以第四、五、六年野兔增長有異?，F(xiàn)象。 在以后的分析中我們將排除t=4、t=5、t=6這三個點(diǎn)。在去除異常點(diǎn)后，其數(shù)據(jù)如下： t=0t=1t=2t=3t=7t=8t=912.319694.508536.905687.561018.93929.5817表1-25 .2利用微分方程，利用 Malthus數(shù)學(xué)模型并求解 5.2.1:分析并找出剩余各點(diǎn)符合的數(shù)學(xué)模型 根據(jù)模型假設(shè)t年到年的野兔增量為 于是得 其解為 由于自然原因或者食物供應(yīng)等因素的存在，須從上面的模型基礎(chǔ)上增加一個競爭項(xiàng)，它的作用是使增長率減少。如果自然原因和其他因素良好，則能夠使更多

8、的兔存活，此時b較小，反之b較大。故建立方程 其解為 由于,，為常量，該模型可化簡為： （A, B, k>0為常數(shù)）5.2.2根據(jù)數(shù)學(xué)模型求解由表1-2數(shù)據(jù)，利用數(shù)學(xué)工具和Matlabe編程方法對模型系數(shù)求解可得：A=1.3659 B=0.1563 k=50.1261即為 其圖像為同時可計(jì)算出出t=10時，y= 8.7365 。該值小于第九年的野兔數(shù)量。根據(jù)實(shí)際問題中，野兔數(shù)量應(yīng)該逐年增長，雖不是無限增長，但是會保持在一定值。而用上述模型與實(shí)際問題存在很大的差值，預(yù)測值和原始值相差太遠(yuǎn)，顯然預(yù)測不正確?？紤]到野兔在生長過程中會因?yàn)槟承┩蝗灰蛩囟鴮?dǎo)致數(shù)據(jù)的“斷層”，比如疾病的發(fā)生，環(huán)境的變

9、化，都會導(dǎo)致“曲線年齡”的倒退，致使連續(xù)函數(shù)不能很好的表達(dá)增長趨勢。為了更好的符合客觀情況，決定從斷層帶開始向下和向上分別進(jìn)行建模。即在03年和79年各自遵循Malthus模型，03年和79年分別應(yīng)用Malthus模型求解，而37年則應(yīng)用擬合和修正方法求解已完成其過渡。具體方法如下：對03年用數(shù)學(xué)工具和Matlabe編程方法對模型系數(shù)求解可得 A= 1.2885 B= 0.0971 k=40.4586 對37年用三次多項(xiàng)式擬合并對其本身和其兩端點(diǎn)進(jìn)行兩次修正后解得其函數(shù)為（方法見附錄）： 對7年以后用數(shù)學(xué)工具和Matlabe編程方法對模型系數(shù)求解可得 A=2.9688 B= 0.1555 k=

10、10.5059 綜上所述，其增長規(guī)律為：其圖像為：將t=10代入到上面方程中，計(jì)算出t=10年時，野兔的數(shù)量萬只。6模型的評價和推廣6.1優(yōu)點(diǎn)：（1） 通過數(shù)學(xué)工具和Matlab編程方法，嚴(yán)格的對模型求解具有科學(xué)性。（2） 通過排除異常點(diǎn)，加入競爭項(xiàng)并結(jié)合建立的模型使預(yù)測值更加準(zhǔn)確。（3） 通過分段函數(shù)，比較準(zhǔn)確地反映了實(shí)際情況，使理論推測更加準(zhǔn)確。6.2缺點(diǎn)：（1） 由于數(shù)據(jù)較少，曲線的繪制和模型的求解都存在一定的誤差。（2） 由于外界的突變原因沒有準(zhǔn)確地考慮，而是以分段函數(shù)的兩段為參考，采用平緩過渡的思想來擬合，不太全面。6.3推廣：從整個模型來看，此模型屬于有限資源的自然利用問題。在有限

11、的空間或食物的情況下，對象往往趨向于這種增長方式，這是自然競爭的必然結(jié)果。因此這種模型具有很大應(yīng)用范圍，比如市場對人力資源的分配問題，對資源的分配問題等等。只是在應(yīng)用的時候應(yīng)加一個反映波動的函數(shù) ，以便模型與實(shí)際情況進(jìn)行融合，在實(shí)際的基礎(chǔ)上應(yīng)用理論對一些情況進(jìn)行合理的預(yù)測，從而達(dá)到真正的建模目的。模型前后兩部分，呈指數(shù)增長趨勢，后部分穗子變量的增加而趨于一穩(wěn)定值，符合兔子的實(shí)際增長規(guī)律，可以作為生物生長規(guī)律的模型進(jìn)行使用。參考文獻(xiàn)1 司守奎 徐珂文 李日華編著 數(shù)學(xué)建模 煙臺 海潮出版社 2004年2月第一版。附錄“對斷層的較優(yōu)化擬合”首先對兩端的圖像進(jìn)行分析，大致掌握變化規(guī)律，以便于進(jìn)行函數(shù)擬合。從圖可看出，為了讓兩點(diǎn)之間的圖形與兩端十分完美地進(jìn)行融合，在建立兩點(diǎn)之間的函數(shù)的時候，必須考慮到整體的變化趨勢，然后再在兩點(diǎn)進(jìn)行連續(xù)性擬合?？紤]到分段點(diǎn)的整體變化趨勢，用三次多項(xiàng)次可以很好的表達(dá)出來，因此決定用三次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合。程序如下： t0=0,1,2,3,7,8,9;y0=1,2.31969,4.50853,6.90568,7.56101,8.9392,9.5817;a=polyfit(t0,y0,3) ；用此函數(shù)擬合后的圖像如下： 從圖可知在兩個分段點(diǎn)出差值較大，為了圖像的實(shí)際意義以及美觀性決定添加一個修正項(xiàng)。此修正