正態(tài)分布示范教案設(shè)計(jì)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔2.4正態(tài)分布（1）教材分析正態(tài)分布在概率統(tǒng)計(jì)學(xué)中是一種很重要的分布.一般說(shuō)來(lái)，若影響某一數(shù)量指標(biāo)的隨機(jī)因素很多，而每個(gè)因素所起的作用都不太大，則這個(gè)指標(biāo)服從正態(tài)分布.我們知道，離散型隨機(jī)變量最多取可列個(gè)不同值，它等于某一特定實(shí)數(shù)的概率可能大于0 ,人們感興趣的是它取某些特定值的概率，即感興趣的是其分布列；連續(xù)型隨機(jī)變量可能取某個(gè)區(qū)間上的任何值，它等于任何一個(gè)實(shí)數(shù)的概率都為0,所以通常感興趣的是它落在某個(gè)區(qū)間的概率.離散型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用分布列描述，而連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分 布規(guī)律用密度函數(shù)（曲線）描述 .要求同學(xué)們學(xué)會(huì)從離散到連續(xù)用函數(shù)的觀點(diǎn)解決問(wèn)題課時(shí)分配本節(jié)內(nèi)

2、容用2課時(shí)的時(shí)間完成，第一課時(shí)主要講解正態(tài)分布的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì).3。原則 放在了第二課時(shí)教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn)：正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及其所表示的意義.難點(diǎn)：了解在實(shí)際中什么樣的隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，并掌握正態(tài)分布曲線所表示的意義.知識(shí)點(diǎn)：通過(guò)正態(tài)分布的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì) 能力點(diǎn)：結(jié)合正態(tài)曲線，加深對(duì)正態(tài)密度函數(shù)的理解教育點(diǎn)：通過(guò)教學(xué)中一系列的探究過(guò)程使學(xué)生體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的快樂(lè)，形成積極的情感，培養(yǎng)學(xué)生的進(jìn)取意識(shí) 和科學(xué)精神.自主探究點(diǎn)：講授法與引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法. 通過(guò)教師先講，師生再共同探究的方式， 讓學(xué)生深刻理解相關(guān)概念, 領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成.考試點(diǎn)：通過(guò)正態(tài)分布

3、的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì) 易錯(cuò)易混點(diǎn)：求系數(shù)最大項(xiàng)時(shí)的約分化簡(jiǎn).拓展點(diǎn)：引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法.教具準(zhǔn)備 電子白板，多媒體，高爾頓試驗(yàn)板課堂模式學(xué)案導(dǎo)學(xué)學(xué)生上臺(tái)演示高爾頓板試驗(yàn).師生活動(dòng)：創(chuàng)設(shè)情境，為導(dǎo)入新知做準(zhǔn)備.一、創(chuàng)設(shè)情境模擬高爾頓板試驗(yàn)截圖學(xué)生感悟體驗(yàn)，對(duì)試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行定向思考.學(xué)生經(jīng)過(guò)觀察小球在槽中的堆積形狀發(fā)現(xiàn)：下落的小球在槽中的分布是有規(guī)律的.【設(shè)計(jì)意圖】 讓學(xué)生演示試驗(yàn)，能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.讓學(xué)生體驗(yàn)“正態(tài)分布曲線“的生成和發(fā)現(xiàn)歷程.二、探究新知1.用頻率分布直方圖從頻率角度研究小球的分布規(guī)律.將球槽編號(hào)，算出各個(gè)球槽內(nèi)的小球個(gè)數(shù)，作出頻率分布表.以球槽的編號(hào)

4、為橫坐標(biāo)，以小球落入各個(gè)球槽內(nèi)的頻率與組距的比值為縱坐標(biāo)，畫(huà)出頻率分布直方 圖.連接各個(gè)長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)得到頻率分布折線圖（如圖1） .圖1圖2師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生思考回顧，教師通過(guò)課件演示作圖過(guò)程.在這里引導(dǎo)學(xué)生回憶得到，此處的縱坐 標(biāo)為頻率除以組距.教師提出問(wèn)題：這里每個(gè)長(zhǎng)方形的面積的含義是什么？學(xué)生經(jīng)過(guò)回憶，易得：長(zhǎng)方形 面積代表相應(yīng)區(qū)間內(nèi)數(shù)據(jù)的頻率.【設(shè)計(jì)意圖】 通過(guò)把與新內(nèi)容有關(guān)的舊知識(shí)抽出來(lái)作為新知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，為引入新知搭橋鋪路，形成正遷移.通過(guò)這里的思考回憶，加深對(duì)頻率分布直方圖的理解.隨著試驗(yàn)次數(shù)增多，折線圖就越來(lái)越接近于一條光滑的曲線（如圖2）.1一與2從描述曲線形狀的角度

5、自然引入了正態(tài)密度函數(shù)的表達(dá)式：-仃（x）= 1 e 2d ,xW（q尸）'、一.2 -師生活動(dòng)：分析表達(dá)式特點(diǎn)：解析式中前有一個(gè)系數(shù)工，后面是一個(gè)以e為底數(shù)的指數(shù)形式，哥.2 二二（X-）2指數(shù)為一至尸，解析式中含兩個(gè)常數(shù) n和e ,還含有兩個(gè)參數(shù) N和仃，分別指總體隨機(jī)變量的平均數(shù) 和標(biāo)準(zhǔn)差，可用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì).【設(shè)計(jì)意圖】 該處在學(xué)生從形的角度直觀認(rèn)識(shí)了正態(tài)曲線之后才給出曲線對(duì)應(yīng)的表達(dá)式，這樣處理能更直 觀，學(xué)生更易理解正態(tài)曲線的來(lái)源.2.繼續(xù)探究：當(dāng)我們?nèi)サ舾郀栴D板試驗(yàn)最下邊的球槽，并沿其底部建立一個(gè)水平坐標(biāo)軸，其刻度單位為球槽的寬度，用 X表示落下的小球第一次與高爾

6、頓板底部接觸時(shí)的坐標(biāo).圖3提出問(wèn)題：圖3中陰影部分面積有什么意義？P（avX Mb ）= £ 邛日£x dx師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生得到：此時(shí)小球與底部接觸時(shí)的坐標(biāo)X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量.啟發(fā)學(xué)生回憶:頻率分布直方圖中面積對(duì)應(yīng)頻率，不難理解，圖中陰影部分的面積，就可以看成多個(gè)矩形面積的和，也就 是X落在區(qū)間（a,b的頻率；再結(jié)合定積分的意義 ，陰影部分面積就是正態(tài)密度函數(shù)在該區(qū)間上的積分值, 這樣，概率與積分間就建立了一個(gè)等量關(guān)系.【設(shè)計(jì)意圖】 這個(gè)步驟實(shí)現(xiàn)了由離散型隨機(jī)變量到連續(xù)型隨機(jī)變量的過(guò)渡.通過(guò)設(shè)疑，引起學(xué)生對(duì)問(wèn)題的深入思考，加深對(duì)定積分幾何意義的理解.直接問(wèn)X落在區(qū)間（

7、a,b上的概率，學(xué)生不容易反應(yīng)過(guò)來(lái)，改為問(wèn)面積的意義后，便于學(xué)生理解該問(wèn)題.在前面分析的基礎(chǔ)上，引出正態(tài)分布概念：一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù) a v b ,隨機(jī)變量X滿足：P（avX <b ）= £中出式x dx ,則稱(chēng)X的分布為 正態(tài)分布，常記作 N（H。2 ）.如果隨機(jī)變量 X服從正態(tài)分布，則記作 XN世產(chǎn)2）.師生活動(dòng)：教師在前面分析的基礎(chǔ)上引出正態(tài)分布的概念，并說(shuō)明記法.引導(dǎo)學(xué)生分析得，X所落區(qū)間的端點(diǎn)能否取值，均不影響 X落在該區(qū)間內(nèi)的概率.【設(shè)計(jì)意圖】 以舊引新，雖概念較抽象，但這樣處理學(xué)生不會(huì)覺(jué)得太突兀，易于接受新知識(shí).同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生把前后知識(shí)聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行思維的習(xí)慣.

8、請(qǐng)學(xué)生結(jié)合高爾頓板試驗(yàn)討論提出的問(wèn)題，嘗試歸納服從或近似服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量所具有的特征：1 .小球落下的位置是隨機(jī)的嗎？2 .若沒(méi)有上部的小木塊，小球會(huì)落在哪里？是什么影響了小球落下的位置？3 .前一個(gè)小球?qū)ο乱粋€(gè)小球落下的位置有影響嗎？哪個(gè)小球?qū)Y(jié)果的影響大？4 .你能事先確定某個(gè)小球下落時(shí)會(huì)與哪些小木塊發(fā)生碰撞嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生通過(guò)討論，教師引導(dǎo)學(xué)生得出問(wèn)題的結(jié)果：1 .它是隨機(jī)的.2 .豎直落下.受眾多次碰撞的影響.3 .互不相干、不分主次.4 .不能，具有偶然性.然后歸納出特征：一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布.教師列舉實(shí)

9、例分析，幫助學(xué)生更加透徹的理解.【設(shè)計(jì)意圖】“什么樣的隨機(jī)變量服從（或近似服從）正態(tài)分布？”是本節(jié)課的難點(diǎn)，采用問(wèn)題串的方式， 將復(fù)雜的問(wèn)題分解成幾個(gè)容易解決的問(wèn)題，能有效突破難點(diǎn).同時(shí)采用小組討論的形式，加強(qiáng)學(xué)生的合作 意識(shí)，同時(shí)培養(yǎng)他們的辯證觀.通過(guò)舉例，讓學(xué)生體會(huì)到生活中處處有正態(tài)分布，感受到數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用.教師通過(guò)計(jì)算機(jī)繪出兩組圖像（動(dòng)畫(huà)），讓學(xué)生觀察：第一組：固定的值，N取三個(gè)不同的數(shù)（如圖 4）;第二組：固定N的值，仃取三個(gè)不同的數(shù)（如圖 5）;師生活動(dòng): 當(dāng)口一定時(shí)，。-0 58二忌用變優(yōu)N flh對(duì)1 枳讖“ 存川行置 參由內(nèi)陽(yáng) a圖4學(xué)生通過(guò)觀察并結(jié)合參數(shù)。影響了曲線的形狀.

10、即:N與仃的意義可得：當(dāng)圖5石川附匕/人 的.曹旭城看m曲城瘦定時(shí)，曲線隨N的變化而沿x平移;仃越小，則曲線越瘦高，表示總體分布越集中;仃越大，則曲線越矮胖，表示總體分布越分散.學(xué)生較難獨(dú)立分析參數(shù)對(duì)曲線的影響，這里通過(guò)固定一個(gè)參數(shù),【設(shè)計(jì)意圖】針對(duì)解析式中含有兩個(gè)參數(shù), 討論另一個(gè)參數(shù)對(duì)圖象的影響，這樣的處理大大降低了難度，并能很好地突出重點(diǎn).實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案三、理解新知B. f(x)1-D. f (x) - e22 二B選項(xiàng)符合正態(tài)密度函數(shù)解析式的特點(diǎn).例2.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的函數(shù)為,1MM 一x22，x (-二，二).引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合三幅圖像(如圖 6)及高爾頓板試驗(yàn)，根據(jù)問(wèn)題歸納正態(tài)曲線的性質(zhì):曲

11、線在x軸的上方，與x軸不相交；曲線是單峰的，圖像關(guān)于直線x = N對(duì)稱(chēng)；1曲線在x = N處達(dá)峰值 1_ ;. 2 二二曲線與x軸之間的面積為1；若仃固定，隨N值的變化而沿 x軸平移,故N稱(chēng)為位置參數(shù)；當(dāng)N 一定時(shí)，曲線的形狀由 。確定.。越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；仃越小,曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中，故。稱(chēng)為形狀參數(shù).師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系三幅圖像(如圖6),結(jié)合高爾頓板試驗(yàn)思考以下問(wèn)題：曲線在坐標(biāo)平面的什么位置？曲線為什么與x軸不相交？曲線有沒(méi)有對(duì)稱(chēng)軸？曲線有沒(méi)有最高點(diǎn)？坐標(biāo)是？曲線與x軸圍成的面積是多少？曲線的位置與參數(shù) k有什么關(guān)系？曲線的形狀與參數(shù) 仃有什么

12、關(guān)系？【設(shè)計(jì)意圖】 該環(huán)節(jié)借助計(jì)算機(jī)模擬及高爾頓板試驗(yàn)試驗(yàn)結(jié)果呈現(xiàn)了教學(xué)中難以呈現(xiàn)的課程內(nèi)容，能很好 地鍛煉學(xué)生觀察歸納的能力，體現(xiàn)了歸納分類(lèi)、化難為易、數(shù)形結(jié)合的思想.四、運(yùn)用新知例1.下列函數(shù)是正態(tài)密度函數(shù)的是( B )jx_42A. f(x)1e-2c2 , 一:(二0)都是實(shí)數(shù)1Jx)2C. f(x) = e 4 ；2、2二師生活動(dòng)：學(xué)生通過(guò)觀察解析式的結(jié)構(gòu)特征可知只有證明f (x)是偶函數(shù)；求f (x)的最大值;利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)說(shuō)明f(x)的增減性.師生活動(dòng)：學(xué)生結(jié)合函數(shù)知識(shí)自行解決問(wèn)題.【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)這一題主要為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)正態(tài)密度函數(shù)的理解.例3.把一條正態(tài)曲線a沿橫軸向右平

13、移2個(gè)單位，得到一條新的曲線 b.下列說(shuō)法中不正確的是(D) A.曲線b仍然是正態(tài)曲線.B .曲線a和曲線b的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同.C.以曲線b為概率密度曲線的總體的均值比以曲線a為概率密度曲線的總體的均值大2 .D.以曲線b為概率密度曲線的總體的方差比以曲線a為概率密度曲線的總體的方差大 2 .師生活動(dòng)：學(xué)生易分析知：正態(tài)曲線a經(jīng)過(guò)平移仍是正態(tài)曲線，峰值不變 .而曲線的左右平移與 N即均值有關(guān).故 D選項(xiàng)的說(shuō)法不正確.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)該例，深化學(xué)生對(duì)正態(tài)曲線的特點(diǎn)及正態(tài)分布密度函數(shù)表達(dá)式中參數(shù)N與仃的理解.例4.某校某次數(shù)學(xué)考試的成績(jī) X服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)曲線如圖7:圖7寫(xiě)出X的正態(tài)密度

14、函數(shù)；若參加考試的共1200人(滿分100分)，你能估計(jì)及格人數(shù)嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生通過(guò)觀察圖像，可知對(duì)稱(chēng)軸6=60,根據(jù)峰值可知 仃=8 ,代入正態(tài)曲線表達(dá)式可得:明僅"1_ eD；第二問(wèn)根據(jù)圖像利用對(duì)稱(chēng)性知及格人數(shù)占總參考人數(shù)一半.8T2 n【設(shè)計(jì)意圖】 通過(guò)一個(gè)貼近生活的實(shí)例，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí) 解決問(wèn)題的能力，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情.體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.練習(xí)：L判斷正誤：正態(tài)密度曲線丫=中心儀)關(guān)于直線x=0對(duì)稱(chēng). (X)正態(tài)總體N (3 4)的標(biāo)準(zhǔn)差為4 .(X)正態(tài)分布隨機(jī)變量等于一個(gè)特定實(shí)數(shù)的概率為0.(，)2、 1若 X N(3p2),則

15、P(X <3) = .(X)3【設(shè)計(jì)意圖】 通過(guò)一組判斷題，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)正態(tài)分布的認(rèn)識(shí).五、課堂小結(jié)1 .知識(shí)歸納：一比武正態(tài)密度曲線一正態(tài)分布的意義"人：必1 *%戊)=豆工010tJJ正態(tài)密度曲線特點(diǎn)正態(tài)分布的實(shí)例EJ1 -trj-§ -r 圖 6參數(shù)對(duì)正態(tài)曲線的影響2 .思想方法：數(shù)形結(jié)合思想師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)內(nèi)容和思想方法兩方面進(jìn)行課堂小結(jié).最后教師說(shuō)明：正態(tài)分布廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實(shí)際之中，我們研究它主要還是希望它能服務(wù)于我們的生活，那么它在實(shí)際中究竟有著怎樣的妙用呢豉們下節(jié)課繼續(xù)學(xué)習(xí)！【設(shè)計(jì)意圖】 通過(guò)小結(jié)使學(xué)生對(duì)本節(jié)課的知識(shí)結(jié)構(gòu)有

16、一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)，同時(shí)使學(xué)生自己內(nèi)化知識(shí)，查漏補(bǔ)精彩文檔缺，使學(xué)生在認(rèn)識(shí)上達(dá)到一個(gè)新的高度.(為了更好地突出本節(jié)課重點(diǎn)，同時(shí)更好地突破難點(diǎn)，考慮到本節(jié)課的課堂容量及學(xué)生的認(rèn)知情況,3。原則放在了第二課時(shí).)六、布置作業(yè)1 .(必做題)設(shè)隨機(jī)變量 X服從正態(tài)分布 N(2 .9),若P(X ac+1) = P(X <c-1)，求c的值并寫(xiě)出其 正態(tài)密度函數(shù)解析式.2 .(必做題)以學(xué)習(xí)小組(4人)為單位，搜集某項(xiàng)數(shù)據(jù)資料(如某年級(jí)學(xué)生的身高、體重等).仿照課本的方法，研究該數(shù)據(jù)是否服從(或近似服從)正態(tài)分布？如果是，請(qǐng)估計(jì)參數(shù)N的值.3 .(選做題)在高爾頓板試驗(yàn)中，為什么落在中間球槽的小球最多？七、教后反思1 .數(shù)學(xué)知識(shí)間存在著內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系，本教案的亮點(diǎn)是充分注意了新舊知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，這樣有助于學(xué) 生理解記憶前后所學(xué)知識(shí)，并將其融會(huì)貫通，從而更好地加以運(yùn)用.2 .本節(jié)課的弱項(xiàng)是應(yīng)用課件進(jìn)展速度太快，學(xué)生思維節(jié)奏有點(diǎn)趕不上思維進(jìn)程八、板書(shū)設(shè)計(jì)正 態(tài) 分 布1、止態(tài)密度函數(shù).(x-B2小1-22§ .4x)一而石 e,xu(*,+/)2、正態(tài)分布若對(duì)任何實(shí)數(shù)a < b ,隨機(jī)變量X滿