空間向量與立體幾何復(fù)習(xí)精品教案

1、空間向量與立體幾何(復(fù)習(xí)一)【課題】：空間向量與立體幾何復(fù)習(xí)一【教學(xué)目標(biāo)】：(1)知識目標(biāo)：運用空間向量證明立體幾何中的平行、垂直問題，及計算空間角的計算。(2)過程與方法目標(biāo)：總結(jié)歸納，講練結(jié)合，以練為主。(3)情感與能力目標(biāo)：通過總結(jié)歸納，綜合運用，讓學(xué)生享受成功的喜悅，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，提高計 算能力和空間想象能力。【教學(xué)重點】：。運用空間向量證明立體幾何中的平行、垂直問題?！窘虒W(xué)難點】：計算空間角【課前準(zhǔn)備】：投影【教學(xué)過程設(shè)計】：教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動設(shè)計意圖一、復(fù)習(xí) 引入設(shè)空間兩條直線IL的方向向量分別為小32 ,兩個平面31,0(2的法向量分別為,1,則由如下結(jié)論左衣給出 了用向量研究

2、 空間線線、線 面、向向位置 關(guān)系的方法， 判斷的依據(jù)是 相關(guān)的判定與 性質(zhì)，要理解 掌握平行垂直11 與 12e1 es _Le2l1與5Jie1 -Ln1i.e1 / n1風(fēng)與%n1 / n2n1 .L n2二、應(yīng)用實例平行例1 .如圖，已知矩形 ABCD和矩形ADEF交十AD，點M,N分別在對一，一11角線 BD,AE 上，且 BM =1BD, AN =AE . 33求證：MN平面CDE證明：MN=MB+bA + ANFe= 2CD”DE_3_3又CD與DE不共線BC根據(jù)共面向量定理，可知 MN,CD,DE共面。由于MN不在平囿 CDE中，所以 MN平囿CDE.例2、棱長為a的正方體AB

3、CDAiBiCiDi中，在棱 DD上是否存在垂直平行點P使BiD，面PAC?解：以D為原點建立如圖所示的坐標(biāo)系,設(shè)存在點P (0, 0, z),AP =(-a,0,z),AC =(-a,a,0), DB1 =(a,a,a),先建立圖空間 坐標(biāo)系再用向 量解題B 1PDBC*y B1D，面 PAC,DB1 AP=0, DB1 AC=0 -a2+az=0 z=a,即點 P 與 D1 重合點P與D1重合時，DB面PAC例3 （2004年湖南高考理科試題）如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD 中，/ABC =60、PA = AC =a,PB =PD nv'Qa,點 E 在 PD 上,且 PE

4、:ED= 2: 1.（出）在PC上是否存在一點 F,使BF/平面AEC?證明你白結(jié)論.根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合圖形容易得到:3a aB(C(2、3a2,-2 ,0),a c、，2,0），CP« 3a 2假設(shè)存在點F2a aCF = CP =(-3 a 2BF 二BC CF 二，(T'a2a a3a a又 AE=(0,一), AC=(,-,0)3 32 2則必存在實數(shù) 九 1,12使得BF =九1 AC + % AE ,把以上向量得坐標(biāo)形式代入得角的計算2 2a =3所以，在棱PC存在點_ 1-2=有喬=而+3而22232=2F,即PC中點，能夠使 BF/平面AEC。本題證明過程中，

5、借助空間坐標(biāo)系，運用共面向量定理，應(yīng)用待定系數(shù)法，使問題的解決變得更方便，這種方法也更容易被學(xué)生掌握。20.如圖，在正三棱柱 A1B1C1 ABC中,D、E分別是棱BC、CC1的中點，AB =AA =2。(I )證明：BE _L AB1 ；(n )求二面角 B -AB1 -D的大小。解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則(I )證明：因為 B(1,0,0) , E(1,0,1),A(0，成 所以 BE=(2,0,1),0) , B(1,0,2),八5, 73,2)，故 BE AB1 =2(-1)+0(->/3) +1X2=0,因此，有BE_LAB1;(n )二必=(x , y, z)是平面ABB

6、1的法向量，因為 AB1 =(1,由，2) , BBi =(0,0,2),所以由n1,AB1n1 _ BB1K-I里=-x - 3y 2z =0 n1 BB1 =2z =0可取 n1 =(石，1,0);同理，n2 =(2,0,1)是平面ABiD的法向量。設(shè)二面角BABiD的平面角為 日，則cos? jcos : n1 , n2 |= U1 吧= |R I 也 |迤=6=accos叵。本例中沒有現(xiàn)成的三條互相垂直的直線，需動腦筋構(gòu)造。二面角的大小 與其兩個面的法向量的夾角相等或互補，要根據(jù)實際情況來取舍。三、堂上練習(xí)已知平行六面體 ABCD-ABGDi的底面是菱形，且/ CiCB= / CiCD

7、= /BCD=60 o(1)證明 CCBD(2)當(dāng)CD的值為多少時，能使CCiAC平面GBD?并證明分析：取cd,cb,cc1 為運算的基向量，H BD =CD -CB。注意向量間的方向?qū)A角的影響略證(2)設(shè)券用“)，菱形邊長為a,則CDKCGACCDjCD CB 巧后一碼=a2 =0,解得久=1當(dāng)九=1 時，AC BD =-(CD +CB 忙Ci) (CD CB) =0四、小結(jié)學(xué)生歸納，教師適當(dāng)?shù)难a充、概括五、布置作業(yè)1 .在棱長AB=AD=2 , AA =3的長方體ACi中，點E是平面BCCiBi上動點, 點F是CD的中點。試確定E的位置，使 DiEL平面ABiFo (2)求二面角Bi-

8、AF-B的大小。解：(1)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖 A(0 , 0, 0), F(1, 2, 0),Bi(2, 0, 3), Di(0, 2, 3),設(shè) E(2 , V, z)=DiE=(2,y-2,z-3),AF =(1,2,0), AB； =(2,0,3)由DiE,平面ABiF二.土。，即D1E AB1 =0，E(2, 1, 5)為所求。3；2+2(y-2)=0 y=1 54+3(z3)=0z = 53 4(2)當(dāng) DiE，平面 ABiF 時,DiE =(2,1,-)，BiB =(0,0,-3) 3又B1B與D1E分別是平面BEF與平面BiEF的法向量，則 面角Bi-AF-B的平面角等于

9、B1B , D1E。44、6161-3(-), cos< BB , D1E >= _3 3 221 (一4)2、3_ 一一 4.61Bi-AF-B的平面角的余弦值為 61或用傳統(tǒng)法做（略）（arctan 乎）2.如圖，在直三棱柱/ACB =90° ,的中點。(1)在棱使 CPXBD ;上求一點P,（2）在（ 求DP與面1)的條件下，所成的角的大小。解法一：（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系由 B(4,0,0) D2,3,4 ,2/日 T得：BD 二由 CPXBD,得:所以點P為T TCPBD =0/ 1c的中點時，有CP± BD（2）過D作DEBQj垂足為巳易知E為D

10、在平面 上的射影， / DPE為DP與平面由(1), P (4, 0, z),所成的角D）,3,4,2PD 二，2,3,22 E(2 , 0, 4) ,PE =(-2,0,2)。PD PE gPD | |PEcos/DPE ,4、82cos DPE =414 82=arccos。41即DP與面所成的角的大小為4 82arccos 。41解法二：取的中點E,連接BE、DE。顯然DEL平面.BE為BD在面內(nèi)的射影，若P是 上一點且 CPLBD,則必有 CP± BE.四邊形為止方形，E是的中點，點P是的中點，的中點即為所求的點 P(2)連接DE,貝U DEL,垂足為E,連接PE、DP為DP

11、與斗回所成的角由(1)和題意知： DE 3/2 3/2 tan ZDPE = =, , /DPE = arctanPE 8' '8 3 2即DP與回所成的角白大小為 arctan8練習(xí)與測試：(基礎(chǔ)題)1.下列各組向量中不平行的是()A. a = (1,2,-2),b =(-2,<4)B, C = (1Q0),d =(-3,0,0)c. e = (2,3,0), f =(0,0,0) D. g = (-2,3,5),h = (16,24,40)答：Do2.若 A (1,2,1), B(4,2,3), C (6-1,4),則 ABC 的形狀是()A.不等邊銳角三角形B.直角

12、三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形答：A。3,已知正方體ABCD - ABC1D1的棱長是1,則直線DA與AC間的距離為 。答：1r。提小A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),AC=(1,1,0),DA1=(0,-1,1)設(shè) MN=(x, y, z),MN-L AC,MN _LDA1,x+y = 0,y+z=0,令 y=tII則 MN =(T,t,t),而另可設(shè) M (m,m,0), N(0,a,b),MN =(-m,a-m,b) 、/1«a m=t,N(0,2t,t), 2t +t =1,t= 3 b =t«3技嬴后蘭4 .已知四棱錐P

13、ABCD的底面為直角梯形， AB/DC, 1/DAB =90 ,PA_L底面 ABCD ,且 PA =AD =DC , 2AB=1, M是PB的中點。(I)(II)證明:證明：面 PAD，面PCD；求AC與PB所成的角；以A為坐標(biāo)原點AD長為單位長度,-1A(0,0,0), B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,2).(I)證明：因 AP =(0,0,1),DC =(0,1,0)，故AP DC =0,所以AP_LDC.由題設(shè)知 AD _L DC ,且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，由此得 DC _L面PAD .又DC在面PCD上，故面PAD

14、，面PCD .(n)解：因 AC =(1,1,0),PB = (0,2,-1),故 | AC|= ,2,| PB|=、5,AC PB =AC PB cos ： AC,PB| AC | |PB|(中等題)5.如圖，在四棱錐 V - ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形， 平面VAD _L底面ABCD .(I)證明：AB _L平面VAD ；(n)求面VAD與面DB所成的二面角的大小.證明：以D為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的坐標(biāo)圖系(I)證明：不防設(shè)作 A( 1, 0,0)則 B(1,1,0), V(1,0，田, 221.3醺迅必小，,0,7由ab VA =0,得AB _LVA，又AB

15、 _L AD ,因而AB與平面VAD內(nèi)兩條相交直線 VA , AD都垂直.AB，平面 VAD.1.3(n)解：設(shè)E為DV中點，則E( ,0,), 443EA =(一,0,-43. 31.3),eb,(_,i,_),dv ,丁).由 EB DV =0,得EB _L DV,又EA_L DV.因此，/ AEB是所求二面角的平面角,EA EB , 21cos(EA, EB)=：=|EA|EB| 7解得所求二面角的大小為 a9cosW2176.如圖，在四棱錐 P -ABCD中，底面 ABCD為矩形,側(cè)棱 PA _L底面 ABCD , AB =73, BC=1, PA =2,E為PD的中點.(I)求直線AC與PB所成角的余弦值；(n)在側(cè)面 PAB內(nèi)找一點N ,使NE，面PAC , 并求出點N到AB和AP的距離.解：(I)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 A, B,C,D,P,E 的坐標(biāo)為 A(0,0,0)、B(石0,0)、C(石1,0)、D(0,1,0)、L/C 1,、P(0,0, 2)、E(0,2,1),從而 AC = (. 3,1,0), PB =( .3,0,-2).設(shè)AC與PB的夾角為e ,則AC PBcos =