高三數(shù)學二輪函數(shù)與方程教案

1、第五講函數(shù)與方程及函數(shù)的應用命題要點：(1)函數(shù)零點的概念及判斷方法；(2) 一次函數(shù)模型；(3)二次函數(shù)模型；(4)指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型；(5)對勾函數(shù)模型。命題趨勢：1 .函數(shù)零點是新增內(nèi)容，也是高考考查的重要內(nèi)容之一，特別是函數(shù)零點與方程的根的關(guān) 系問題，此類問題難度不大，但要注意零點存在性定理的靈活運用。2 .函數(shù)模型考查的重點是函數(shù)模型的建立及函數(shù)模型中的最值問題，命題的熱點是二次函數(shù)的最值或利用基本不等式求最值，該部分試題的背景新穎，常與實際生活、社會熱點 等問題密切相關(guān)，設(shè)置問題新穎。最值問題是函數(shù)實際應用題求解的重點，掌握各種初 等函數(shù)的模型是解決數(shù)學實際問題的關(guān)鍵。命題規(guī)律：1

2、 .函數(shù)與方程思想是中學數(shù)學重要思想方法之一，大多與其他知識進行綜合考查，題型為 選擇，填空，簡答題均有。2 .函數(shù)是數(shù)學的主干，與數(shù)列、導數(shù)、解析幾何、立體幾何等都有聯(lián)系，試題難度較大， 主要體現(xiàn)在函數(shù)應用題和含參數(shù)的不等式恒成立問題，分離參數(shù)后化為函數(shù)最值問題。題型分析：類型一函數(shù)零點的確定確定函數(shù)零點存在區(qū)間及個數(shù)的常用方法(1)利用零點存在的判定定理；(2)利用數(shù)形結(jié)合法，尤其是那些方程兩端對應的函數(shù)類型不同的絕對值、分式、指數(shù)、對數(shù)以及三角等方程多以數(shù)形結(jié)合法求解。例1(2012年高考湖北卷)函數(shù)f(x)=xcos x2在區(qū)間0 , 4上的零點個數(shù)為()A. 4B. 5C. 6D.

3、7解析 根據(jù)x2的范圍判斷y=cos x2在區(qū)間0, 4上的零點個數(shù).當x=0時，f(x) = 0.又因為xC 0 , 4,所以0Wx" 16.因為5% <16<15所以函數(shù)y=cosx2在x2取左，3252?時為。，此時f (x)=0,所以f(x)=xcos x2在區(qū)間0 , 4上的零點個數(shù)為 6.答案C嫄頷®的?。?.利用零點存在的判定定理時，要找準區(qū)間的端：1點，計算準確端點處函數(shù)值的正負.：:2.利用數(shù)形結(jié)合法時，函數(shù)圖象的關(guān)犍點及特準1：要判斷準確.：跟蹤訓練(2012年保定摸底)函數(shù)f(x)=3cos弓x log ix的零點的個數(shù)是()22A. 2B

4、. 3C. 4D.5 兀解析：把求函數(shù)f (x)的零點的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y= 3cos _2x的圖象與函數(shù)y =log 1 x的圖象的交點的個數(shù)的問題，在同一個坐標系中畫出這兩個函數(shù)的圖象，如圖.2一.兀一 .一 .一 ， . ，-函數(shù)y=3cos x的取小正周期是 4,當x=8時，y=log 1 8= 3,結(jié)合圖象可知兩個函數(shù)的圖象只能有 5個交點，即函數(shù)f(x) = 3cos 差一log 1x有5個零點.2飛答案：D方法總結(jié)：函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法：(1L直接求雯點二金乳x)三_01如果能求出費L則有幾個解就直幾個雯點;(2)一莖點荏在性定理工利用定理丕儀要求函數(shù)在區(qū)間 L包,bL上是

5、連續(xù)丕斷的曲線工一旦一 f(a) f(b)v0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì) (如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個 零點；(3)利用圖象交點的個數(shù)：畫出兩個函數(shù)的圖象，看其交點的個數(shù)，其中交點的橫坐標有幾 個不同的值，就有幾個不同的零點.類型二 函數(shù)零點的應用問題應用函數(shù)零點求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解.例2 (2012年高考天津卷)已知函數(shù)y= |x 一1|的圖象與函數(shù)y=kx 2的圖象恰有兩個 x -1交點，則實數(shù)k的取值范圍是 .解析先去掉絕對值符號，在同一直角坐標系中作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解

6、.根據(jù)絕對值的意義，|x2-1|V x- 1X+1 (x>1 或x<1), -x- 1 ( 1 w x<1).如圖中實線所示.在直角坐標系中作出該函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象可知，當0<k<1或1<k<4時有兩個交點.答案(0, 1) U (1 , 4);! L本例易錯點是容易忽視了 口 W1,作出圖象時；為賣點，從而出現(xiàn)上>0這樣的錯誤.:2,利用零點情況求參藪值或范圍的關(guān)鍵是進行:等價轉(zhuǎn)化與構(gòu)造函數(shù).跟蹤訓練 已知函數(shù)f(x) = ex2x+a有零點，則a的取值范圍是解析：因為原函數(shù)有零點，可將問題轉(zhuǎn)化為方程ex 2x+a=0有解的問題，即方程 a=

7、2x -ex有解.令函數(shù) g(x)=2x ex,貝U g' (x)=2 ex,令g' ( x) = 0,得x= In 2 ,所以g(x)在(00, in 2)上是增函數(shù)，在(ln 2 , + 00 )上是減 函數(shù)，所以g(x)的最大值為g(ln 2) =2ln 2 -2.因此，a的取值范圍就是函數(shù)g(x)的值域，即 ae ( -oo, 2ln 2 -2.答案：(一8, 21n2 2方法總結(jié)：若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間a, b上的圖象是連續(xù)不間斷的，并且在區(qū)間端點的函 數(shù)值符號相反，即f(a) f(b)0,滿足這些條件一定有零點，不滿足這些條件也不能說就沒有零點.如圖，f(a)

8、- f(b) >0, f (x)在區(qū)間(a, b)上照樣存在零點，而且有兩個.所以說零點存在性定理的條件是充分條件，但并不必要.類型三函數(shù)的實際應用1 .常見模型：一次或二次函數(shù)模型、分式函數(shù)模型、指數(shù)式函數(shù)模型.2 .對函數(shù)模型求最值的常用方法：單調(diào)性法、基本不等式法及導數(shù)法.例3 (2012年高考江蘇卷)如圖，建立平面直角坐標系xOy, x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為 1千米，某炮位于坐標原點.已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y=kx-1京1 +k2)x2(k>0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點的橫坐MT.米(1)求炮的最大射程；(2)設(shè)在第

9、一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由., ，一,一 1解析(1)令y=0,得kx20(1 +k2)x2=0,由實際意義和題設(shè)條件知x>0, k>0,故20k 2020當且僅當k=1時取等號.所以炮的最大射程為10千米.一.一 .一.122,、(2)因為a>0,所以炮彈可擊中目標 u 存在k>0,使3.2 = ka 20(1 + k ) a成立u 關(guān) 于 k 的方程 a2k2 20ak + a2 + 64 = 0 有正根 u 判別式 A = ( 20a)2 4a2( a2 + 64) >0

10、u aw6.所以當a不超過6千米時，可擊中目標.L斛決此類問題時易忽視自變量的實際意義.，本 例中&>0易忽視.2,正確地將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型是解決實：，際應用問題的關(guān)鍵.其步驟為建模f 轉(zhuǎn)化解答f 得i：出結(jié)論.I"h A K *>aN*a，£H !*，*0 ， >，> >«»» 通士* » *，*跟蹤訓練2012年2月2日，德國總理默克爾訪華，促進了中德技術(shù)交流與合作，我國從德國引進一套新型生產(chǎn)技術(shù)設(shè)備，已知該設(shè)備的最佳使用年限是年均消耗費用最低的年限(年均消耗費用=年均成本費用十年均保養(yǎng)

11、費)，該設(shè)備購買的總費用為50 000元；使用中每年的固定保養(yǎng)費為6 000元；前x年的總保養(yǎng)費y滿足y= ax2+bx,已知第一年的總保養(yǎng)費為1 000年.元，前兩年的總保養(yǎng)費為 3 000元，則這種設(shè)備的最佳使用年限為1 1 000 =a+b a= 500解析：由題息，得,解得,13 000 = 4a+ 2bb= 5002所以 y=500x +500x.設(shè)該設(shè)備的年平均消耗費用為f (x),由題意，可知年平均消耗費用為50 000 f(x)= .50 000-卜 6 000+500x+500=500x +6x500>16 500,50 000 , , 一當且僅當500x=時，等號成立

12、，此時 x=10,所以最佳使用年限為 10年.x答案：10方法總結(jié)：(1)審題：深刻理解題意，分清條件和結(jié)論，理順其中的數(shù)量關(guān)系，把握其中的數(shù)學本質(zhì)；(2)建模：由題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系，建立相應的數(shù)學模型，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題；(3)解模：用數(shù)學知識和方法解決轉(zhuǎn)化出的數(shù)學問題；(4)還原：回到題目本身，檢驗結(jié)果的實際意義，給出結(jié)論.析典題(預測高考)高考真題【真題】(2012年高考福建卷)對于實數(shù)a和b,定義運算“ *” ： a*b= la - ab' a "b b2 -ab, a b設(shè)f (x) = (2x1)*( x1),且關(guān)于x的方程f(x)=n(mC R)恰有三個互不

13、相等的實數(shù)根xx2, X3,則XP2X3的取值范圍是 .【解析】根據(jù)新定義寫出f(x)的解析式，數(shù)形結(jié)合求出 m的取值，再根據(jù)函數(shù)的圖象和方程的根等條件求解. 由定義可知，(2x 1) x, x< 0,f(x)=，(x1) x, x>0.作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示.1 .由圖可知，當 0<n<4時，f(x) = mmE R)恰有二個互不相等的頭數(shù)根xi, X2, X3.不妨設(shè)X1<X2<X3,易知 X2>0,且 X2+X3=2X 2= 1 ,X2X3<人 I (2x-1)令x<0,x=：'解得*=上2*=印(舍去).1- .3

14、 八-0-<X1<0,4，二3 <X1X2X3<0.16【答案】(L, 0)【名師點睛】本題以新定義函數(shù)為載體，綜合考查了二次函數(shù)的圖象、對稱性、單調(diào)性、方程的根與函數(shù)零點，不等式的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查考生在新問題情境中識別問題、 分析問題、解決問題的能力.解答本題的關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合確定m的取值范圍.考情展望高考對函數(shù)與方程及應用的考查多以選擇、 填空形式出現(xiàn)，主要有兩個方面：一是判斷零點 個數(shù)或零點所在區(qū)間，二是利用零點問題確定參數(shù)問題， 著重考查等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合思想 的運用，難度中檔以上.名師押題X41【押題】 設(shè)函數(shù)f(x)的零點為X1,函數(shù)g(x) =4+

15、2x 2的零點為X2,右|x-X2|>4,則f(x)可以是()A. f(x)=2x 1B. f(x) = x2+x4C. f(x) = 1- 10xD. f(x) = ln(8x 2)11【斛析】依題,國得gq) = (+/一 2<0,1L 11/xg(2) = i>o,xzc(02).右 f(x) = 110 ,1 一則有x1=0,此時|x1 x2|>4，因此選C.【答案】C經(jīng)典作業(yè)：1. (2011 福建)若關(guān)于x的方程x2+ m桿1 = 0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范A. (1,1)B. (-2,2)C. ( 8, - 2) U (2 , +oo)D.(

16、巴1) U (1 , +oo)解析由一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，可得：判別式 A >0,即ni-4>0,解得mv 2或m> 2,故選C.答案 C2. (2011 新課標全國)在下列區(qū)間中，函數(shù)1111.斛析因為化廠e4+4><4-3=e4-2<0f (x) = ex+ 4x 3的零點所在的區(qū)間為()B.。，4D.g 3)fG)= e1+4x2一3=e2一1 >0,所以 f(x)xe +4x 3的零點所在的區(qū)間為2.答案 C3. ?(2010 福建)函數(shù) f(x) =的零點個數(shù)為().x2+ 2x-3, x<012+In x, x>0審

17、題視點函數(shù)零點的個數(shù)？ f(x)=0解的個數(shù)？函數(shù)圖象與x軸交點的個數(shù).解析法一由f (x) = 0得Xw。，八x>0,八 2*2或*斛得x= 3,或x=e.x +2x-3=0-2+ln x=0,IL因此函數(shù)f(x)共有兩個零點.4. (2010 天津文)函數(shù)f(x) =ex+x2的零點所在的一個區(qū)間是 ()A. ( -2, 1)B. ( 1,0)C. (0,1)D. (1,2)答案C解析解法一：本題考查了函數(shù)的零點定理和導數(shù).f' (x) = ex+1>0,，函數(shù) f(x) = ex+x 2 在 R上單調(diào)遞增，又 f(0) =- 1<0, f (1) =e- 1&g

18、t;0,即 f(0) f (1)<0 ,，由零點定理知，該函數(shù)零點在區(qū)間(0,1)內(nèi).5. (2011 山東臨沂)已知函數(shù)f(x) = (x23x + 2)g(x)+3x 4,其中g(shù)(x)是定義域為 R的 函數(shù)，則方程f(x) = 0在下面哪個范圍內(nèi)必有實數(shù)根()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (2,4)答案B解析.f (1) =0Xg(x)1<0, f(2) =0Xg(x)+2>0,故在(1,2)上必有實根.6. (2010 浙江理)設(shè)函數(shù)f(x)=4sin(2 x+1) -x,則在下列區(qū)間中函數(shù) f(x)不存在零點的 是()A. -4, - 2B.

19、-2,0C. 0,2D 2,4答案A解析本題判斷f (x) =0在區(qū)間內(nèi)是否成立，即 4sin(2 x+1)=x是否有解.如圖：515顯然在2,4內(nèi)曲線y=4sin(2 x+1),當x =兀一時，y = 4,而曲線y = x,當x=4兀1-2<4,有父點，故選 A.7. （2011 山東濟南）若方程5=x1的解為xc,則x。屬于以下區(qū)間（）2 3131 -21 -2D.答案B解析構(gòu)造函數(shù)f（x）=匚Xx1,易知該函數(shù)是 R上的減函數(shù).8. （人教A版教材習題改編）從1999年11月1日起，全國儲蓄存款征收利息稅，利息稅的稅率為20%由各銀行儲蓄點代扣代收，某人 2011年6月1日存入若干

20、萬元人民幣，年利 率為2%到2012年6月1日取款時被銀行扣除利息稅 138.64元，則該存款人的本金介于A. 34萬元C. 56萬元D. 23萬元解析設(shè)存入的本金為 X,貝U x 2% 20%= 138.64 ,x= 1 386 400 = 34 660.40答案 A9. （2012 新鄉(xiāng)月考）某產(chǎn)品的總成本 y（萬元）與產(chǎn)量x（臺）之間的函數(shù)關(guān)系是 y=3 000 + 20X-0.1 x2（0<x<240, xCN*）,若每臺產(chǎn)品的售價為 25萬元，則生產(chǎn)者不虧本時 （銷售收 入不小于總成本）的最低產(chǎn)量是（）.A. 100 臺 B . 120 臺 C . 150 臺 D . 1

21、80 臺解析設(shè)禾1J潤為 f（x）（萬元）,則 f（x）=25x（3 000+ 20x0.1 x2） = 0.1 x2+ 5x 3 000A0,x>150.答案 C10. （2011 聊城模擬（一）若函數(shù)f（x） = ex a 2恰有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是x解析： 令 f(x) =exa x=0,得 ex=a+x，設(shè) yi=ex,2y2= a+x，分別作出yi、y2的圖象，觀察圖象可知a<0時，兩圖象只有一個交點.答案：a<011. (2011 揚州市四星級高中4月聯(lián)考)已知函數(shù)f(x) = 2x+x, g(x) = log 2x+x, h(x)=x3 + x的零點依

22、次為a, b, c,則a, b, c由小到大的順序是 .答案:a<c<b解析： 令 y = 2x, y2= log 2x, y3=x3, y4= x, 圖象如圖，則 a<c<b.12. (2011 南京模擬)某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2000萬元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品,1 o _成本增加10萬兀，又知總收入k是單位產(chǎn)品數(shù) Q的函數(shù)，k(Q = 40Q- 20Q,則總利潤L(Q 的最大值是 萬元.答案2500解析總利潤 L(Q=40Q- 2OC2-10Q- 2 00020(Q- 300) 2+2500.故當Q= 300時，總利潤最大，為 2500萬元.13. ?(201

23、1 武漢調(diào)研)在經(jīng)濟學中，函數(shù) f(x)的邊際函數(shù) Mf(x)定義為：Mf(x)=f(x+1)f(x).某公司每月生產(chǎn) x臺某種產(chǎn)品的收入為 Rx)元，成本為 qx)元，且R(x) = 3 000x2-20x , Qx) = 500x + 4 000( xC N).現(xiàn)已知該公司每月生廣該廠品不超過100臺.(1)求利潤函數(shù)P(x)以及它的邊際利潤函數(shù) Mpx);(2)求利潤函數(shù)的最大值與邊際利潤函數(shù)的最大值之差.審題視點列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求最值.解(1)由題意，得 xC 1,100,且 xC N*.Rx)=Rx)C(x)=(3 000 x- 20x2) (500x+4 000)2=2

24、0x + 2 500 x 4 000 ,MPx) = P(x+ 1) - F(x) = -20(x+ 1)2 + 2 500( x+1) -4 000 -(-20x2+ 2 500x-4 000) =2 480 40x.(2) P(x) =- 20 I 125 2+74 125當x=62或x=63時，Rx)取得最大值74 120元;因為MPx) = 2 480 40x是減函數(shù),所以當x=1時，MPx)取得最大值2 440元.故利潤函數(shù)的最大值與邊際利潤函數(shù)的最大值之差為71 680元.14. ?某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量 y(微克

25、)與時間t (小時)之間近似滿足如圖所示的曲線.(1)寫出第一次服藥后 y與t之間的函數(shù)關(guān)系式 y=f(t);(2)據(jù)進一步測定：每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時，治療有效.求服藥一次后治療有效的時間是多長？審題視點根據(jù)圖象用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再分段求出時間長.當t = 1時，由y=4得k=4,0< t <1, (2)由 y>0.25 得，或4t >0.25,，t >1,、0.25.解得16忘t w 5, 179 , 因此服藥一次后治療有效的時間是 5-= 16小時.15. (2011 湖北)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況.在一般

26、情況 下，大橋上的車流速度 v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù).當橋上 的車流密度達到 200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0;當車流密度不超過 20輛/千米時，車流速度為 60千米/小時.研究表明：當 20WXW200時，車流速度v是車流密度 x的一次函數(shù).(1)當0WXW200時，求函數(shù)v(x)的表達式；(2)當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛 /小 時)f(x)=x v(x)可以達到最大，并求出最大值.(精確到1輛/小時)思維突破首先求函數(shù)v(x)為分段函數(shù)，然后利用一元二次函數(shù)配方法或基本不等式求解.解答示范(1)由

27、題意：當 0WxW20 時，v(x)=60;當 20WxW200 時，設(shè) v(x)=ax+ b,200a+b=0, 再由已知，得,20a+ b=60,1a= -3, 解得200 |b=F.360, 0<x<20,故函數(shù)v(x)的表達式為v(x) = :1-ZU(J-x , 20vxW200.360x, 0WxW20,(2)依題意并由 可得f(x) = $13x 2U0-x , 20<x<200.當0WxW20時，f(x)為增函數(shù),+ 2Q0-x210 000一-,當且僅當x=200-x, 3故當x=20時，其最大值為 60X20= 1 200 ;一11當 20vxW200 時，f(x) = .x(200 x) 33即x= 100時，等號成立.10 000所以，當x= 100時，f(x)在區(qū)間(20,200上取得最大值 3綜上，當x=100時，f(x)在區(qū)間0,200上取得最大值10 000 3 333,即當車流密度為100 3輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3 333輛/小時.16. (2011 廣州模擬)已知函數(shù)f(