論文極限概念的是與非

1、畢業(yè)設(shè)計（論文）設(shè)計 ( 論文 ) 題目極限概念的是與非姓名：曹洋學(xué)號：201000820001學(xué)院：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年級2010 級指導(dǎo)教師：董瑩畢業(yè)設(shè)計（論文）開題報告論文題目：極限概念的是與非姓名：曹洋學(xué)號：201000820001學(xué)院：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年級：2010 級指導(dǎo)教師：董瑩山東大學(xué)（威海）畢業(yè)論文（設(shè)計）開題報告書一、課題來源極限是一個非?；A(chǔ)的數(shù)學(xué)概念， 在對學(xué)習(xí)、 研究高等數(shù)學(xué)有奠基作用的數(shù)學(xué)分析這門課程里， 幾乎所有的基本概念， 包括函數(shù)連續(xù)的概念，微分積分的定義，級數(shù)的斂散性、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) , 廣義積分的斂散性、 重積分和曲線積

2、分與曲面積分的概念，都是先介紹函數(shù)理論和極限的思想方法 , 然后利用極限的思想方法給出。可以概括的來說， 數(shù)學(xué)分析的本質(zhì)就是用極限的思想來研究函數(shù)的一門學(xué)科。 極限的思想揭示了變量和常量， 無限與有限之間對立統(tǒng)一的關(guān)系， 極限的思想方法是數(shù)學(xué)分析乃至整個高等數(shù)學(xué)不可缺少的一種重要思想方法。 因此，弄清楚極限學(xué)中的基本概念和思想， 學(xué)會判定極限學(xué)中的種種問題， 是至關(guān)重要的。二、 本課題的基本內(nèi)容1. 序列極限和函數(shù)極限的嚴格定義，并用數(shù)學(xué)語言闡述A 不是f(x) 的極限的嚴格定義。 應(yīng)用定義舉例證明Lim f(x)等于 A,Limf(x) 不等于 B.2. 序列收斂和函數(shù)收斂的嚴格定義，并用數(shù)

3、學(xué)語言闡述序列和函數(shù)不收斂的嚴格定義。應(yīng)用定義舉例證明序列與函數(shù)是否收斂。3. 一致收斂的嚴格定義，并用數(shù)學(xué)語言闡述非一致連續(xù)的嚴格定義。應(yīng)用定義舉例判斷是否是一致連續(xù)。三、本課題的重點與難點重點山東大學(xué)（威海）畢業(yè)論文（設(shè)計）開題報告書此論題的重點是弄清楚極限學(xué)中的極限、收斂、一致連續(xù)以及極限不存在、不收斂、非一致連續(xù)等基本概念的嚴格定義，并學(xué)會判斷。難點1. 極限是一個抽象概念，因此對于理解極限學(xué)中的種種定義有一定難度，2. 闡述極限不存在，序列、函數(shù)不收斂，非一致收斂等定義的時候，容易疏忽導(dǎo)致闡述錯誤，進而引起對概念的混淆。3. 對于極限學(xué)中的問題進行判定時 （如極限是否存在等） ，容易

4、出現(xiàn)疏忽導(dǎo)致錯誤，三、 論文提綱i.序列極限1. 序列極限的定義與反向定義（即用數(shù)學(xué)語言闡述A不是序列的極限）。2. 序列上下極限的定義3. 序列收斂的定義與序列不收斂的定義。4. 利用定義判斷給定序列極限是否存在。二函數(shù)極限1. 函數(shù)極限（自變量趨于有限值以及趨于無窮時） 的定義與反向定義（即用數(shù)學(xué)語言闡述 A 不是函數(shù)的極限） 。2. 函數(shù)左右極限的定義山東大學(xué)（威海）畢業(yè)論文（設(shè)計）開題報告書3. 利用定義判斷給定函數(shù)極限是否存在。4. 函數(shù)一致收斂的定義與函數(shù)非一致收斂的定義。5. 利用定義判斷給定函數(shù)是否一致收斂。三總結(jié)一些常出現(xiàn)的錯誤。四、 進度安排1寒假期間，復(fù)習(xí)相關(guān)課程，對極限

5、概念有最基本的認識。2開學(xué) 4 周內(nèi)，進一步收集相關(guān)知識，理清思路，提交開題報告，并提交指導(dǎo)老師評閱，3 4 周后，根據(jù)開題報告撰寫論文初稿，上交指導(dǎo)老師批閱，根據(jù)指導(dǎo)老師修改意見，完善論文論文， 并請指導(dǎo)老師進一步批閱，4進一步修改論文，完成定稿，5準備論文答辯畢業(yè)論文開題報告指導(dǎo)教師意見：（請手寫意見和簽名 ）（對本課題的深度、廣度及工作量的意見）指導(dǎo)教師：（簽字）年月日教研室審查意見：（請手寫意見和簽名 ）教研室負責(zé)人：（簽字）年月日6.畢業(yè)設(shè)計（論文）任務(wù)書學(xué)生姓名曹洋學(xué)號 201000820001設(shè)計（論文）題極限概念的是與非目指導(dǎo)教董瑩師主要從正反兩面來理解分析極限、一致連續(xù)、一致

6、收斂等基本概念，給出新的命題，分析相關(guān)命題的應(yīng)用以及判別方法。研究內(nèi)容研通過研究數(shù)列的極限、函數(shù)的極限、函數(shù)在區(qū)間上的一致連續(xù)性、究函數(shù)項級數(shù)與函數(shù)序列的一致收斂性等概念， 給出其正反敘述， 分方析其應(yīng)用及判別方法，能夠從正反兩面來更加深刻理解這些概念內(nèi)涵。并且舉例說明。法主 要 技術(shù) 指 標撰寫一篇一萬字左右的論文(或研究目標 )主要參考1，微積分學(xué)教程； 2，數(shù)學(xué)分析文獻注： 1、本表由指導(dǎo)教師根據(jù)學(xué)生的開題報告填寫，下發(fā)給學(xué)生，并定期檢查學(xué)生進度。本表可用微機打??； 2、由理工科指導(dǎo)教師填寫。7目錄摘要 .2一、數(shù)列極限 .5（一）數(shù)列極限的定義 .5（二）利用定義判斷給定數(shù)列是否收斂.

7、5二、函數(shù)極限 .6（一）函數(shù)極限的定義 .6（二）利用定義判斷給定函數(shù)極限是否存在 .8三、連續(xù)函數(shù) .9（一）函數(shù)連續(xù)的定義與不連續(xù)點類型.9（二）函數(shù)一致連續(xù)的定義與函數(shù)非一致的定義.11（三）利用定義判斷給定函數(shù)的連續(xù)性。 .11參考文獻 .13注釋 .14謝辭 .8摘要極限是一個非?；A(chǔ)的數(shù)學(xué)概念，在對學(xué)習(xí)、研究高等數(shù)學(xué)有奠基作用的數(shù)學(xué)分析這門課程里，幾乎所有的基本概念，包括函數(shù)連續(xù)的概念，微分積分的定義， 級數(shù)的斂散性、 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) , 廣義積分的斂散性、重積分和曲線積分與曲面積分的概念，都是先介紹函數(shù)理論和極限的思想方法 , 然后利用極限的思想方法給出。可以概括的來說，數(shù)學(xué)

8、分析的本質(zhì)就是用極限的思想來研究函數(shù)的一門學(xué)科。 因此，弄清楚極限學(xué)中的基本概念和思想，學(xué)會判定極限學(xué)中的種種問題，是至關(guān)重要的。本論文先闡述了數(shù)列極限的嚴格數(shù)學(xué)定義。之后又按照自變量的趨近情況分別對函數(shù)極限進行嚴格定義，最后也給出了函數(shù)連續(xù)性以及一致連續(xù)性的嚴格數(shù)學(xué)定義。為了能夠加深理解，本文還做了反向定義的描述，即用嚴謹?shù)恼Z言定義非極限、 非一致連續(xù)概念等等。 同時，本文也會通過舉例來進行更深一步的說明。關(guān) 鍵 詞：極限，函數(shù)極限，一致連續(xù)，定義AbstractThe limit is the mathematical concept of a very basic, in the fou

9、ndation for learning, research on higher mathematics analysis this course, almost all basic concepts, including the concept of continuous function, the definition of differential and integral, partial derivative9of the convergence of series, multi - function, the convergence of generalized integral

10、concept, double integral and curve integral and surface integral method, is first introduced the function theory and the limit, then the thought method of limit is given. Can generally speaking, a discipline essence of mathematical analysis is used to study the idea of function limit. Therefore, cle

11、ar limit basic concept and idea of study, learn to judge the limit problems of science, is of crucial importance.This paper first describes the rigorous mathematical definition of limit of a sequence. After reaching the situation according to variables are defined respectively on the limit of functi

12、on, the function of continuity and uniform continuity of the strict mathematical definition is given. In order to deepen understanding, this paper also did the reverse description of the definition, namely language well-defined non limit, non uniformly continuous. At the same time, the paper also ci

13、tes examples to further illustrateKey words ：Limit, limit of function, uniformly continuous, definition10一、數(shù)列極限( 一) 數(shù)列極限定義1.lim X n =a ：n設(shè) X n 是一給定數(shù)列，如果對0，正整數(shù) N,nN 時，成立X na，則稱數(shù)列 Xn 收斂于 a ( 或稱 a 是數(shù)列的極限 ) ，記為lim X n = a ,n有時也記為X na (n) 。2. lim X n a ：n設(shè) X n 是一給定數(shù)列，如果0 0，對正整數(shù) N, n0N ，成立X n a0 ,0則數(shù)列 X n

14、 不收斂于 a ，即 a 不是數(shù)列的極限。3. 柯西原理 ：（1） lim xn 存在：x設(shè) X n是一給定數(shù)列，對， 正整數(shù)。n,mN時成立0Nxnxm（2） lim xn 不存在x設(shè)X n 是一給定數(shù)列，若，正整數(shù)，m0 , n0 N使得0 0Nxn0xm00（二）利用定義判斷給定數(shù)列是否收斂11例 用定義證明數(shù)列 n1 是無窮小量。n21證明：對0，由n10 = n1 2n21n21 n知，欲使 n10 ，只須 2N時，有 n10 0 。從而知不是數(shù)列3n12n2n n 的極限。證畢例證明數(shù)列 xn | xn( 1)n 極限不存在證明：每一個正整數(shù) N，取定后總存在正整數(shù) P0N 。設(shè)

15、m0 2P0 1,n0 2P0 ，則m0 , n0N ，xm0xn01 1 21，取0 =1，則正整數(shù) N， m0 ,n0N 使得 xn0xm00因此 lim xn 不存在。x證畢二、函數(shù)極限12（一）函數(shù)極限定義1. lim f (x)Ax設(shè) f 為定義在 a,) 上的函數(shù)，如果對0 ，正數(shù) (a) ，xM ，成立| f ( x)A |,則稱 A 是函數(shù) f 當(dāng) x時的極限。記作limf (x)Ax或f ( x)A(x) .2.limf ( x)Ax設(shè) f 為定義在 a,) 上的函數(shù)，如果00 ，正數(shù) (a) ，x0M ，成立| f (x0 )A |0 ，則 A 不是函數(shù) f 當(dāng) x時的極限

16、3. x時以及 x時的定義與 x時類似，在此不做累牘。（注釋1）4. lim f ( x)A ：x x0設(shè)函數(shù) yf (x) 在點 x0 的某個空心鄰域 U 0x 0 ; 內(nèi)有定義，如果對0，0，當(dāng) 0| x x0 | 時，成立| f ( x) A |，則稱 A 是函數(shù)在點 x0 的極限，記作lim f (x)Axx0或（ f ( x)A(xx0 ) .135. limf ( x)Ax x0設(shè)函數(shù) yf (x) 在點 x0 的某個空心鄰域 U 0x 0 ; 內(nèi)有定義，如果某 00 ，0， x1滿足 0 | x1 x0 |，成立| f (x1) A |0 ，則 A 不是函數(shù)在點 x0 的極限。6

17、.limf (x)Axx0設(shè)函數(shù) f 在 U 0 (x0 ;) 內(nèi)有定義，如果對0, () 0 ，當(dāng) x0 x x0時，成立| f ( x) A |,則稱數(shù)為函數(shù)f 當(dāng) x 趨于 x0 時的右極限，記作limf (x)Axx0或f (x)A( x x0)7. lim f (x) Ax x0設(shè)函數(shù) f 在 U 0 (x0 ;) 內(nèi)有定義，如果某 00 ， () 0 ， x1 滿足x0 x1 x0，成立| f (x1)A |0 ，則 A 不是函數(shù) f 當(dāng) x 趨于 x0 時的右極限。8. 類似可給出左極限 lim f ( x)A 和 limf ( x)A 的定義。x x0x x0（二）利用定義判斷

18、給定函數(shù)極限是否存在例 4. 用定義證明 limx 29 。x 2證明：由 x2 ，當(dāng) x 21 時214x29 x 3 x 3 x 2 1 x 2 5 1 x 2 5 x 2 11 51 9 ，224故取 01, 對1 ，當(dāng) x 2時，有29x290 。4由定義知： limx 29x2證畢例 6. 證明 Heine 定理。 limf (xA) 的充分必要條件是：對于任意滿足條件x x0limxnx0 ，且 xnx0(n1,2,3.) 的數(shù)列 xn ，相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列f (x n ) 成立nlimf (x n )An證明：必要性：由 limf (x)A 可知，0,0, x(0xx0) ：x x

19、0f (x)A。因為 limxnx0 ，且 xnx (n1,2,3.) ，對于上述0 ，N ， nN :n00 xnx0。于是當(dāng) nN 成立f (x n )A，即lim f (x n )A 。n充分性：用反證法。取一列 n ， n1 (n1,2,3.) 。n對11，存在 x1(0x1x01 ) ，使 f (x1A)0 ；對21 ，存在 x2 (0x2x02 ) ，使 f (x 2 A)0 ；.2一般的，對k 1 ，存在 xk (0xk x0k) ，使 f (x k A)0 。k15于是得到數(shù)列 x n ，滿足 xnx0， lim xnx0 ，但相對應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列 f (x n )n不可能以 A

20、 為極限。證畢三、連續(xù)函數(shù)（一）函數(shù)連續(xù)的定義與不連續(xù)點類型1. 設(shè)函數(shù) f x 在點 x0 的某個鄰域中有定義，并且成立lim f xf x0 ，x x0則稱函數(shù) f x 在點 x0 連續(xù)，而稱 x0 是函數(shù) f x 的連續(xù)點。2. 函數(shù) f x 在區(qū)間 a,b 的每一個點都連續(xù)，則稱函數(shù) f x 在開區(qū)間 a, b 上連續(xù) .3. 若lim f xf x0 ，x x0則稱函數(shù) f x 在 x0 左連續(xù)；若lim f xf x0 ，x x0則稱函數(shù) f x 在 x0 右連續(xù) .lim f xf x0 可表述為：0,0, xx x0 0 ：x x0f xf x0；lim f xf x0 可表述

21、為：0,0, x 0 x x0：x x016f xf x0.4 若 f x 在 a,b 連續(xù)，且在左端點 a 右連續(xù)，在右端點b 左連續(xù)，則稱函數(shù)f x 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù) .5. 不連續(xù)點類型（1）第一類不連續(xù)點：函數(shù)f x 在點 x0 的左右極限都存在但不相等，即 f x0f x0 .（2）第二類不連續(xù)點：函數(shù)f x 在點 x0 的左右極限中至少有一個不存在.（3）第三類不連續(xù)點：函數(shù) f x 在點 x0 的左右極限都存在而且相等，但不等于 f x0 或者 f x 在點 x0 無定義。（二）函數(shù)一致連續(xù)的定義與函數(shù)非一致的定義1. 設(shè)函數(shù) f (x) 在區(qū)間 X 上定義，如果對0，0

22、 ，x ， xX 滿足xx，成立f ( x )f ( x )，則稱函數(shù) f (x) 在區(qū)間 X 上一致連續(xù)。2.設(shè)函數(shù) f (x) 在區(qū)間 X 上定義，若00 ，對0 ，x0 ， x1X 滿足x0x1，成立f (x0 ) f ( x1 )0 ，17則稱 f (x) 在區(qū)間 X 上非一致連續(xù)。（三）利用定義判斷給定函數(shù)的連續(xù)性。例 7 證明 Riemann.函數(shù) R（ x）（注釋 2）在任意點的極限存在且極限值為 0. 換言之，一切無理點都是 R（x）的連續(xù)點，一切有理點是 R（x）的第三類不連續(xù)點。證明：R（x）是以 1 為周期的周期函數(shù)，故只需討論區(qū)間0,1 上的函數(shù)性質(zhì)。設(shè)任意一點x00,1，對任意給定的，設(shè)1，因為在 0,1 上分明0k不超過 k 有理點個數(shù)有限，設(shè)它們?yōu)閞1, r2 , rn 。令min rix0 ，1 inrix0顯然 0。當(dāng) x0