關(guān)于多項(xiàng)式系數(shù)微分方程復(fù)振蕩理論的兩個(gè)結(jié)果

1、第17卷第1期Feb.1997關(guān)于多項(xiàng)式系數(shù)微分方程復(fù)振蕩理論的兩個(gè)結(jié)果陳宗煊(江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,南昌330027)摘要本文證明了:如果ak-j(j=1,k)為多項(xiàng)式,degak-j=nk-j,存在某個(gè)ak-s(1sk)滿足:當(dāng)1j<s時(shí),nk-j jnk-s s;當(dāng)s<jk時(shí),nk-j<nk-s-(j-s).如果F 0是整函數(shù)且滿足(F)=<(nk-s+s) s,那么微分方程f(k)+ak-1f(k-1)+a0f=F的解滿足.(f)=(f)=(f)=(nk-s+s) s,或滿足(f)=關(guān)鍵詞線性微分方程,整函數(shù),零點(diǎn),級(jí).分類號(hào)AMS(1991)34A20,30D3

2、5 CCLO175§1引言與結(jié)果本文使用值分布論的標(biāo)準(zhǔn)記號(hào)(見(jiàn)1,5,10).文2,4,7研究了微分方程fp(k)+ak-1f(k-1)+a0f=p1(z)ep0(z)(1.1)的復(fù)振蕩理論,其中ak-1,a0,p1(z),p0(z)為多項(xiàng)式,其中系數(shù)a0的次數(shù)對(duì)于其結(jié)果起著主要影響,其自由項(xiàng)p1e0是僅有有限多個(gè)零點(diǎn)的整函數(shù).在本文中,將其推廣到更一般的情況,以某個(gè)ak-s替換a0,即存在某個(gè)ak-s(1sk-1),ak-s的次數(shù)對(duì)方程解的振蕩性質(zhì)起主要影響,并將自由項(xiàng)推廣到一般的整函數(shù).證明了下面定理.定理1假設(shè)ak-j(j=1,k)為多項(xiàng)式,degak-j=nk-j,存在某個(gè)a

3、k-s(1sk)滿足:當(dāng)1j<s時(shí),nk-j jnk-s s;當(dāng)s<jk時(shí),nk-j<nk-s-(j-s).假設(shè)F(z) 0為整函數(shù),且(F)=<(nk-s+s) s,那么微分方程f(k)+ak-1f(k-1)+ak-sf(k-s)+a0f=F(1.2)的解f為整函數(shù),滿足(1.3)(f)=(f)=(f)=(nk-s+s) s;或者滿足(f)=.而且當(dāng)nk-s1時(shí),滿足(1.3)式的解一定存在.而滿足(f)=的任意二個(gè)解f0與f3最多相差一個(gè)多項(xiàng)式且deg(f0-f3)<k-s.55© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optica

4、l Disc Co., Ltd. All rights reserved.,其它所有解滿足(1.3).定理2假設(shè)ak-j(j=1,k)為多項(xiàng)式,且degak-j=nk-j,存在某ak-s(1sk)滿足:當(dāng)js時(shí)有nk-j j<nk-s s.假設(shè)F(z) 0為整函數(shù),且(F)=(nk-s+s) s,則方程(1.2)的所有解f為整函數(shù),且(f)=(nk-s+s) s.如果(F)=(F),那么所有解滿足(f)=(f).mp(z)如果(F)<(F),F=zQ(z)e(m為非負(fù)整數(shù),Q(z)為F的非零零點(diǎn)構(gòu)成的典型乘積(z)s)=nk-s時(shí),或多項(xiàng)式,(Q)<(F),p(z)為次數(shù)等于

5、的多項(xiàng)式),那么當(dāng)deg(ak-s+(p方程(1.2)最多有一個(gè)例外解f0滿足(f0)=(F)(當(dāng)F僅有有限多個(gè)零點(diǎn)時(shí),f0也僅有有限多個(gè)零點(diǎn)),其它所有解滿足(1.3).§2引理引理1假設(shè)f(z)為超越整函數(shù),(f)=<,則存在對(duì)數(shù)測(cè)度為無(wú)窮的集合E1<(1,+),滿足(2.1)lim=lim=,rrlogrlogrrE1rE1其中.f(r)為f(z)的中心指標(biāo)證明由(f)=<,所以存在rn(rn+),滿足(2.2)lim=.rnlogrn令:E1<(1,+),E1滿足:E1包含了所有使(2.2)式成立的rn中的點(diǎn),并且對(duì)任意rn<E1,.那么容易證明

6、E1的對(duì)數(shù)測(cè)度lmE1=.rn時(shí),都有(2.2)式成立由f為有限級(jí)及6的定理1.12,可知lim=1,rlog(r)(r)6其中(r)為整函數(shù)f的最大項(xiàng),(r)= af(r) rf.由(2.3)可知當(dāng)r充分大時(shí)+logM(r,f)2log(r)2log af(r) +2.f(r) logr(2.3)由E1的定義可得limr=.logrrE1引理2假設(shè)ak-j(j=1,k)和F如定理1所設(shè),f(z)為微分方程(1.2)的解,且(F)=<(f)<,那么(f)=(nk-s+s) s.證明假設(shè)給定任意小的(0<2<(f)-),那么當(dāng)r充分大時(shí)有+(2.4) F(z) <e

7、xpr.另一方面,由引理1可知存在對(duì)數(shù)測(cè)度為無(wú)窮的集合E1<(1,+),滿足(2.1)式.從而當(dāng)rE1,且r時(shí)M(r,f)>expr(f)-,及(2.5)+(f)-<expr-r0.M(r,f)56© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.6,8,9由Wiman2,取 z =r滿足 f(z) =M(r,f),最多除去一個(gè)對(duì)數(shù)測(cè)度Valiron理論為有窮的r集合E2<(1,+),有(j)j)(1+o(1)(j=1,k).(2.6)=(f(z)zn假設(shè)ak-j=

8、Ak-jzk-j(1+o(1)(Ak-j為非零常數(shù),j=1,k),將它們代入(1.2),由(2.5),(2.6),當(dāng)取 z =rE1-E2,滿足 f(z) =M(r,f),r時(shí),可以得到n-1kk-1)(1+o(1)+Ak-1 zk()(1+o(1)+(zz+Ak-s znk-s(z)k-s(1+o(1)+A0 z0(1+o(1)=o(1).n(2.7)由于代數(shù)方程解是系數(shù)的連續(xù)函數(shù),所以當(dāng)rE1-E2,r時(shí),可知存在常數(shù)c10及有理數(shù)滿足(2.8)f(r)c1r.由(2.1)與(2.8)可知(f)=,且(nk-s+s) <(nk-s+s) s.如果s,則(2.7)式中僅有一項(xiàng)nk-s)

9、(1+o(1)的次數(shù)為最高,矛盾.所以(f)=(nk-s+s) Ak-s zk-s(s.z引理3假設(shè)a0,ak-1如定理1所設(shè),則方程f(k)+ak-1f(k-1)+ak-sf(k-s)+a0f=0(2.9)的非零解f或者為次數(shù)小于k-s的多項(xiàng)式,或者為超越整函數(shù)且滿足(f)=(nk-s+s) s,并且這種超越整函數(shù)解,當(dāng)nk-s1時(shí)一定存在.進(jìn)一步,如果還滿足k-s=0;或者k-s=1,a0 0;或者k-s2,a0 0,a0,ak-s-1的次數(shù)滿足:nk-t-(k-t)(t=(s+1),k)互不相等,那么方程(2.9)的所有非零解f滿足(f)=(nk-s+s) s.利用3,使用類似引理2的證

10、法可證明.引理4假設(shè)bk-j(j=1,k)為多項(xiàng)式,degbk-j=nk-jj(-1)(j=1,k-1),degb0=n0=k(-1),Q為整函數(shù),(Q)=(Q)<,那么微分方程最多一個(gè)例外解g0滿足(g0)=(g0)=(Q)=(Q),其它所有解g都滿足(g)=(g)=(g)=.使用類似于2中引理3的證法可證.g(k)+bk-1g(k-1)+b0g=Q(2.10)§3定理的證明定理1的證明由2,4可知(1.2)的所有解f(z)為整函數(shù),且滿足(f)(nk-s+s) s.而由引理2,可知f滿足(f)=,或滿足(f)=(nk-s+s) s.再由2,4可知:滿足(f)=(nk-s+s

11、) s的解一定滿足(1.3)式.當(dāng)nk-s1時(shí),假設(shè)f1,fk為(1.2)所對(duì)應(yīng)的齊次方程(2.9)的基礎(chǔ)解,由引理3,可知至少存在一個(gè)解,設(shè)為fk滿足(fk)=(nk-s+s) s.而(1.2)的任意解f可以表示為f=c1f1+ckfk+f00(c1,ck為任意常數(shù)),57© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.其中f00為(1.2)的某一特解,那么或者(f00)=(nk-s+s) s,或者(f00+fk)=(nk-s+s) .s,所以(1.2)一定存在滿足(1.3)式的解如果

12、f0與f3為(1.2)的解,且(f0)=(f3)=,那么(f0-f3)<(nk-s+s) s,且33f0-f為(1.2)所對(duì)應(yīng)的齊次方程(2.9)的解,由引理3可知f0-f為多項(xiàng)式且deg(f0-f3)<k-s.進(jìn)一步,如果滿足中任一條件時(shí),且f0與f3為(1.2)的解,滿足f0 f3,(f0)=(f3)=,那么(f0-f3),而f0-f3為(1.2)所對(duì)應(yīng)齊次方程(2.9)的非零解,由引理3,(f0-f3)=(nk-s+s) s,矛盾.所以(1.2)最多一個(gè)例外解f0滿足(f0)=,其它所有解滿足(1.3).定理2的證明由2,4可知(1.2)的所有解f為整函數(shù),且(f)=(nk-

13、s+s) s,當(dāng)(F)=(F)=時(shí),有(f)=(f).mP(z)下面假設(shè)(F)<(F),F=z Q(z)e(m為非負(fù)整數(shù),Q(z)為F的非零零點(diǎn)構(gòu)成的s=).典型乘積或多項(xiàng)式,(Q)=(Q)<,p(z)為多項(xiàng)式且degp=(nk-s+s)pz令f(z)=g(z) e,并將它代入方程(1.2)得到()g(k)+bk-1g(k-1)m+b0g=z Q(z),(3.1)其中bk-j(j=1,k)為多項(xiàng)式,可以算出多項(xiàng)式bk-j的次數(shù):)k-s+(p)k=k(-1),degb0=degak-s(pdeg(bk-j)j(-1)(j=1,k-1).所以由引理4,可知(3.1)的所有解g滿足(g

14、)=(g)=(g)=(nk-s+s) s,且最多一個(gè)例外解g0滿足(g0)=(g0)=(Q)=(F).從而方程(1.2)的所有解f滿足(1.3)式和最多一個(gè)例外解f0滿足(f0)=(F).如果F僅有有限多個(gè)零點(diǎn),那么由4可知(1.2)的例外解f0也僅有有限多個(gè)零點(diǎn).§4關(guān)于(f)<(nk-s+s) s的例例1方程f(4)+z2f +z5f+z3f-z2f=(z5+z3+1)ez滿足定理1的條件,degak-s=dega2=5.它具有解fc=ez+c z(c為任意常數(shù)),(fc)=(F),當(dāng)c=0時(shí),f0僅有有限個(gè)零點(diǎn),當(dāng)c0時(shí),有(fc)=1,而F僅有有限個(gè)零點(diǎn).這里,滿足條件

15、(f)<(nk-s+s) s的解,不具有定理2中例外解的性質(zhì).例2方程f-2zf-f=2z cosz ez滿足定理2的條件,這里degak-s=dega1=z1,=(F)=(nk-s+s) s=2,(F)<2.它具有例外解f0=sinz e,滿足(F)=(f0),(f0)=.22例3方程f-2zf-f=ez滿足定理2的條件,它具有例外解f0=ez,f0與F都沒(méi)有零點(diǎn).2258© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.參考文獻(xiàn)Math.Soc.,273(1982),351

16、-363.2陳宗煊、高宗升,非齊次線性微分方程解的復(fù)振蕩,數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),35:2(1992),196-203.LondonMath.Soc.(3),53(1986),407-428.quationswithpolynomialcoefficients,Proc4GaoShian,Twotheoremsonthecomplexoscillationtheoryofnon2homogeneouslineardifferentiale25W.Hayman,MeromorphicFunctions,ClarendonPress,Oxford,1964.6何育贊、肖修治,代數(shù)體函數(shù)與常微分方程,科學(xué)出版社,

17、1988.7I.Laine,Anoteonthecomplexoscillationtheoryofnon2homogeneouslineardifferentialequations,ResultsinMath.,18(1990),282-285.8G.Valiron,LecturesontheGeneralTheoryofIntegralFunctions,Cleisea,NewYork,1949.9G.Valiron,FunctionsAnalytiques,PressesUniversitairesdeFrance,Pairs,1954.10楊樂(lè),值分布論及其新研究,科學(xué)出版社,198

18、2.TwoResultsontheComplexOscillationTheoryofDifferentialEquationswithPolynomialCoefficientsChenZongxuan(Dept.ofMath.,JiangxiNormalUniversity,Nanchang,330027)AbstractInthispaper,weprove:ifak-j(j=1,k)arepolynomials,degak-j=nk-j,thereex2jnk-s sif1j<s;andnk-j<nk-s-(j-s)ifistssomeak-s(1sk)suchthatnk-js<jk,ifF 0isanentirefunctionsatisfying(F)