42直線射線線段提高知識講解

1、直線、射線、線段（提高）知識講解撰稿：孫景艷 審稿：趙煒 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解直線、射線、線段的概念，掌握它們的區(qū)別和聯(lián)系；2. 利用直線、線段的性質(zhì)解決相關(guān)實(shí)際問題；3利用線段的和差倍分解決相關(guān)計(jì)算問題【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、直線1概念：直線是最簡單、最基本的幾何圖形之一，是一個(gè)不作定義的原始概念，直線常用“一根拉得緊的細(xì)線”、“一張紙的折痕”等實(shí)際事物進(jìn)行形象描述2. 表示方法：（1）可以用直線上的表示兩個(gè)點(diǎn)的大寫英文字母表示，如圖1所示，可表示為直線AB(或直線BA) （2）也可以用一個(gè)小寫英文字母表示，如圖2所示，可以表示為直線 3.基本性質(zhì)：經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線簡單說成：兩

2、點(diǎn)確定一條直線要點(diǎn)詮釋：直線的特征：（1）直線沒有長短，向兩方無限延伸（2）直線沒有粗細(xì)（3）兩點(diǎn)確定一條直線（4）兩條直線相交有唯一一個(gè)交點(diǎn)4.點(diǎn)與直線的位置關(guān)系：（1）點(diǎn)在直線上，如圖3所示，點(diǎn)A在直線m上，也可以說：直線m經(jīng)過點(diǎn)A（2）點(diǎn)在直線外，如圖4，點(diǎn)B在直線n外，也可以說：直線n不經(jīng)過點(diǎn)B要點(diǎn)二、線段1.概念：直線上兩點(diǎn)和它們之間的部分叫做線段2.表示方法：（1）線段可用表示它兩個(gè)端點(diǎn)的兩個(gè)大寫英文字母來表示，如圖所示，記作：線段AB或線段BA（2）線段也可用一個(gè)小寫英文字母來表示，如圖5所示，記作：線段a3. “作一條線段等于已知線段”的兩種方法：法一：用圓規(guī)作一條線段等于已知

3、線段例如：下圖所示，用圓規(guī)在射線AC上截取ABa法二：用刻度尺作一條線段等于已知線段例如：可以先量出線段a的長度，再畫一條等于這個(gè)長度的線段4.基本性質(zhì)：兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短簡記為：兩點(diǎn)之間，線段最短如圖6所示，在A，B兩點(diǎn)所連的線中，線段AB的長度是最短的圖6要點(diǎn)詮釋：（1）線段是直的，它有兩個(gè)端點(diǎn)，它的長度是有限的，可以度量，可以比較長短（2）連接兩點(diǎn)間的線段的長度，叫做這兩點(diǎn)的距離（3）線段的比較：度量法：用刻度尺量出兩條線段的長度，再比較長短疊合法：利用直尺和圓規(guī)把線段放在同一條直線上，使其中一個(gè)端點(diǎn)重合，另一個(gè)端點(diǎn)位于重合端點(diǎn)同側(cè)，根據(jù)另一端點(diǎn)與重合端點(diǎn)的遠(yuǎn)近來比較長短5.線段

4、的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做線段的中點(diǎn)如圖7所示，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則，或AB2AC2BC圖7要點(diǎn)詮釋：若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C一定在線段AB上要點(diǎn)三、射線1.概念：直線上一點(diǎn)和它一側(cè)的部分叫射線，這個(gè)點(diǎn)叫射線的端點(diǎn)如圖8所示，直線l上點(diǎn)O和它一旁的部分是一條射線，點(diǎn)O是端點(diǎn)圖82.特征：是直的，有一個(gè)端點(diǎn)，不可以度量，不可以比較長短，無限長3.表示方法：（1）可以用兩個(gè)大寫英文字母表示，其中一個(gè)是射線的端點(diǎn)，另一個(gè)是射線上除端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，端點(diǎn)寫在前面，如圖8所示，可記為射線OA （2）也可以用一個(gè)小寫英文字母表示，如圖8所示，射線OA可記為射線l要點(diǎn)詮釋： (1

5、)端點(diǎn)相同，而延伸方向不同，表示不同的射線如圖9中射線OA，射線OB是不同的射線圖9(2)端點(diǎn)相同且延伸方向也相同的射線，表示同一條射線如圖10中射線OA、射線OB、射線OC都表示同一條射線圖10要點(diǎn)四、直線、射線、線段的區(qū)別與聯(lián)系1.直線、射線、線段之間的聯(lián)系（1）射線和線段都是直線上的一部分，即整體與部分的關(guān)系在直線上任取一點(diǎn)，則可將直線分成兩條射線；在直線上取兩點(diǎn)，則可將直線分為一條線段和四條射線（2）將射線反向延伸就可得到直線；將線段一方延伸就得到射線；將線段向兩方延伸就得到直線2三者的區(qū)別如下表要點(diǎn)詮釋：（1） 聯(lián)系與區(qū)別可表示如下：（2）在表示直線、射線與線段時(shí)，勿忘在字母的前面寫

6、上“直線”“射線”“線段”字樣【典型例題】類型一、有關(guān)概念1.如圖所示，指出圖中的直線、射線和線段【思路點(diǎn)撥】從圖上看，A、D、F分別是線段CB、BC、BE的延長線上的點(diǎn)，也就是說，A、D、F三點(diǎn)的位置并不是完全確定的此時(shí)，我們也就能分清楚圖中的直線、射線和線段了【答案與解析】解：直線有一條：直線AD； 射線有六條：射線BA、射線BD、射線CA、射線CD、射線BF、射線EF；線段有三條：線段BC、線段BE、線段CE【總結(jié)升華】在表示線段和直線時(shí)，兩個(gè)大寫字母的順序可以顛倒然而，在敘述線段的延長線的時(shí)候，表示線段的兩個(gè)大寫字母的順序就不能顛倒了，因?yàn)榫€段向一方延伸后就形成了射線(延長部分已不再是

7、線段本身了)，而表示射線的兩個(gè)大寫字母的順序是不能顛倒的，只能用第一個(gè)字母表示射線的端點(diǎn)，第二個(gè)字母表示射線方向上的任一點(diǎn)舉一反三：【高清課堂：直線、射線、線段397363 拓展4】【變式】兩條不同的直線，要么有一個(gè)公共點(diǎn)，要么沒有公共點(diǎn)，不能有兩個(gè)公共點(diǎn). 這是為什么?畫圖說明. 【答案】解： 過兩點(diǎn)有且只有一條直線.（或兩點(diǎn)確定一條直線.）兩條不同的直線，要么有一個(gè)公共點(diǎn)，如圖（1）；要么沒有公共點(diǎn)，如圖（2）；不能有兩個(gè)公共點(diǎn).類型二、有關(guān)作圖2如圖(1)所示，已知線段a，b(ab)，畫一條線段，使它等于2a-2b【答案與解析】解：如圖(2)所示：(1)作射線AF；(2)在射線AF上順次

8、截取ABBCa；(3)在線段AC上順次截取ADDEb，則線段EC就是所要求作的線段【總結(jié)升華】用尺規(guī)作圖時(shí)，要熟悉常用的畫圖語言，注意保留作圖痕跡舉一反三：【變式1】下列說法正確的有 ( )射線與其反向延長線成一條直線；直線a、b相交于點(diǎn)m；兩直線相交于兩個(gè)交點(diǎn)；直線A與直線B相交于點(diǎn)MA3個(gè) B2個(gè) C1個(gè) D4個(gè)【答案】 C【變式2】下列說法中，正確的個(gè)數(shù)有( )已知線段a，b且a-bc，則c的值不是正的就是負(fù)的；已知平面內(nèi)的任意三點(diǎn)A，B，C則AB+BCAC；延長AB到C，使BCAB，則AC2AB；直線上的順次三點(diǎn)D、E、F，則DE+EFDF A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)【答案】C類型

9、三、個(gè)（條）數(shù)或長度的計(jì)算3. 根據(jù)題意，完成下列填空如圖所示，與是同一平面內(nèi)的兩條相交直線，它們有1個(gè)交點(diǎn)，如果在這個(gè)平面內(nèi)，再畫第3條直線，那么這3條直線最多有_個(gè)交點(diǎn)；如果在這個(gè)平面內(nèi)再畫第4條直線，那么這4條直線最多可有_個(gè)交點(diǎn)由此我們可以猜想：在同一平面內(nèi)，6條直線最多可有_個(gè)交點(diǎn)，n(n為大于1的整數(shù))條直線最多可有_個(gè)交點(diǎn)(用含有n的代數(shù)式表示)【答案】3， 6， 15， .【解析】本題探索過程要分兩步：首先要填好3條直線最多可有2+13個(gè)交點(diǎn)，再類推4條直線，5條直線，6條直線的情形所得到的和式，其次再研究這些和式的規(guī)律，得出一般性的結(jié)論【總結(jié)升華】n(n為大于1的整數(shù))條直線

10、的交點(diǎn)最多可有：個(gè)舉一反三：【變式1】平面上有個(gè)點(diǎn)，最多可以確定 條直線 【答案】【變式2】一條直線有個(gè)點(diǎn)，最多可以確定 條線段， 條射線【答案】，【高清課堂：直線、射線、線段397363 拓展 1（4）】【變式3】一個(gè)平面內(nèi)有三條直線，會(huì)出現(xiàn)幾個(gè)交點(diǎn)? 【答案】0個(gè)，1個(gè)，2個(gè)，或3個(gè).4. 已知線段AB14cm，在直線AB上有一點(diǎn)C，且BC4cm，M是線段AC的中點(diǎn)，求線段AM的長【思路點(diǎn)撥】題目中只說明了A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，無法判定點(diǎn)C在線段AB上，還是在線段AB外(也就是在線段AB的延長線上)所以要分兩種情況求線段AM的長【答案與解析】解：當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，如圖所示 因?yàn)镸

11、是線段AC的中點(diǎn)， 所以 又因?yàn)锳CAB-BC，AB14cm，BC4cm， 所以當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長線上時(shí)，如圖所示 因?yàn)镸是線段AC的中點(diǎn)， 所以 又因?yàn)锳CAB+BC，AB14cm，BC4cm， 所以9(cm) 所以線段AM的長為5cm或9cm【總結(jié)升華】在解答沒有給出圖形的問題時(shí)，一定要審題，要全面考慮所有可能的情況，即當(dāng)我們面臨的教學(xué)問題無法確定是哪種情形時(shí)，就要分類討論舉一反三：【變式】 (武漢武昌區(qū)期末聯(lián)考)如圖所示，數(shù)軸上線段AB2(單位長度)，CD4(單位長度)，點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是-10，點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)是16若線段AB以6個(gè)單位長度/秒的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段C

12、D以2個(gè)單位長度/秒的速度向左勻速運(yùn)動(dòng) (1)問運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，BC8(單位長度) (2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)到BC8(單位長度)時(shí)，點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)是_ (3)P是線段AB上一點(diǎn)，當(dāng)B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段CD上時(shí)，是否存在關(guān)系式若存在，求線段PD的長；若不存在，請說明理由【答案】解：(1) 點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)是-8，設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，BC8（單位長度），則： 當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)C的左邊時(shí)， 6t+8+2t24 t2(秒) 當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)C的右邊時(shí)， 6t-8+2t24 t4(秒) 答：當(dāng)t等于2秒或4秒時(shí)，BC8(單位長度)(2) 由（1）知：當(dāng)t2(秒)時(shí)，B點(diǎn)坐標(biāo)為：-8+6t=8+6×2=4（單位長度）當(dāng)t4

13、(秒)時(shí)，B點(diǎn)坐標(biāo)為：-8+6t=8+6×4=16（單位長度） 所以答案為：4或16 (3) 存在，若存在，則有：BDAP+3PC，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒)，則： 1°當(dāng)t3時(shí)，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，點(diǎn)P在線段AB上，OPC2且BDCD4， AP+3PCAB+2PC2+2PC 所以：2+2PC=4，解得：PC1 此時(shí)， PD5 2°當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間，OPC2 點(diǎn)P在線段AC上時(shí) BDCD-BC4-BC AP+3PCAC+2PCAB-BC+2PC2-BC+2PC 由4-BC=2-BC+2PC， 可得： PC1， 此時(shí)PD5 點(diǎn)P在線段BC上時(shí) BDCD-BC4-BC

14、， AP+3PCAC+4PCAB-BC+4PC2-BC+4PC由4-BC=2-BC+4PC，可得：，此時(shí)3°當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A與在點(diǎn)C重合，0PC2BDCD-AB2，AP+3PC4PC由24PC，可得：，此時(shí)4°當(dāng)時(shí)，0PC4BDCDBC4BC，AP+3PCAB-BC+4PC2-BC+4PC由4BC=2-BC+4PC，可得：，此時(shí) 綜上可得：存在此關(guān)系式，且PD的長為5或.類型四、路程最短問題5. 如圖所示，某公司員工分別住A、B、C三個(gè)住宅區(qū)，A區(qū)有30人，B區(qū)有15人，C區(qū)有10人三個(gè)區(qū)在同一條直線上，該公司的接送車打算在此間設(shè)一個(gè)?？奎c(diǎn)，為使所有員工步行到?？奎c(diǎn)的路程之和最小，那么?？奎c(diǎn)的位置應(yīng)設(shè)在哪個(gè)區(qū)?【答案與解析】解：所有員工步行到?？奎c(diǎn)A區(qū)的路程之和為: 0×30+100×15+(100+200)×100+1500+30004500(m)； 所有員工步行到?？奎c(diǎn)B區(qū)的路程之和為: 100×30+0×15+200×103000+0+20005000(m)； 所有員工步行到?？奎c(diǎn)C區(qū)的路程之和為： (10