1502黃金分割專項(xiàng)練習(xí)30題有答案

1、黃金分割專項(xiàng)練習(xí)30題（有答案）1定義：如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，若滿足AC2=BCAB，則稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)如圖2，ABC中，AB=AC=1，A=36°，BD平分ABC交AC于點(diǎn)D（1）求證：點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)；（2）求出線段AD的長2如圖，用長為40cm的細(xì)鐵絲圍成一個(gè)矩形ABCD（ABAD）（1）若這個(gè)矩形的面積等于99cm2，求AB的長度；（2）這個(gè)矩形的面積可能等于101cm2嗎？若能，求出AB的長度，若不能，說明理由；（3）若這個(gè)矩形為黃金矩形（AD與AB之比等于黃金比），求該矩形的面積（結(jié)果保留根號）3定義：如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，若滿足AC2=BC

2、AB，則稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)如圖2，ABC中，AB=AC=2，A=36°，BD平分ABC交AC于點(diǎn)D（1）求證：點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)；（2）求出線段AD的長4作一個(gè)等腰三角形，使得腰與底之比為黃金比（1）尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡；（2）寫出你的作法；（3）證明：腰與底之比為黃金比5（1）已知線段AB的長為2，P是AB的黃金分割點(diǎn)，求AP的長；（2）求作線段AB的黃金分割點(diǎn)P，要求尺規(guī)作圖，且使APPB6如圖，線段AB的長度為1（1）線段AB上的點(diǎn)C滿足系式AC2=BCAB，求線段AC的長度；（選做）（2）線段AC上的點(diǎn)D滿足關(guān)系式AD2=CDAC，求線段AD的長度；（選做

3、）（3）線段AD上的點(diǎn)E滿足關(guān)系式AE2=DEAD，求線段AE的長度；上面各題的結(jié)果反映了什么規(guī)律？（提示：在每一小題中設(shè)x和l）7如圖，在ABC中，AB=AC，A=36°，1=2，請問點(diǎn)D是不是線段AC的黃金分割點(diǎn)請說明理由8在ABC中，AB=AC=2，BC=1，A=36°，BD平分ABC，交于AC于D試說明點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)9在數(shù)學(xué)上稱長與寬之比為黃金分割比的矩形為黃金矩形，如在矩形ABCD中，當(dāng)時(shí)，稱矩形ABCD為黃金矩形ABCD請你證明黃金矩形是由一個(gè)正方形和一個(gè)更小的黃金矩形構(gòu)成10如圖，設(shè)AB是已知線段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中點(diǎn)E，連接EB

4、；延長DA至F，使EF=EB；以線段AF為邊作正方形AFGH則點(diǎn)H是AB的黃金分割點(diǎn)為什么說上述的方法作出的點(diǎn)H是這條線段的黃金分割點(diǎn)，你能說出其中的道理嗎？請?jiān)囈辉?，說一說11如圖，已知ABC中，D是AC邊上一點(diǎn)，A=36°，C=72°，ADB=108°求證：（1）AD=BD=BC；（2）點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)12已知AB=2，點(diǎn)C是AB的黃金分割線，點(diǎn)D在AB上，且AD2=BDAB，求的值13如果一個(gè)矩形ABCD（ABBC）中，0.618，那么這個(gè)矩形稱為黃金矩形，黃金矩形給人以美感在黃金矩形ABCD內(nèi)作正方形CDEF，得到一個(gè)小矩形ABFE（如圖），請問

5、矩形ABFE是否是黃金矩形？請說明你的結(jié)論的正確性14五角星是我們常見的圖形，如圖所示，其中，點(diǎn)C，D分別是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AB=20cm，求EC+CD的長15人的肚臍是人的身高的黃金分割點(diǎn)，一般來講，當(dāng)肚臍到腳底的長度與身高的比為0.618時(shí)，是比較好看的黃金身段一個(gè)身高1.70m的人，他的肚臍到腳底的長度為多少時(shí)才是黃金身段（保留兩位小數(shù)）？16如圖所示，以長為2的定線段AB為邊作正方形ABCD，取AB的中點(diǎn)P，連接PD，在BA的延長線上取點(diǎn)F，使PF=PD，以AF為邊作正方形AMEF，點(diǎn)M在AD上（1）求AM，DM的長；（2）點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)嗎？為什么？17如圖，點(diǎn)P是線段A

6、B的黃金分割點(diǎn)，且APBP，設(shè)以AP為邊長的正方形面積為S1，以PB為寬和以AB為長的矩形面積為S2，試比較S1與S2的大小18如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊AD延長線上的一點(diǎn)，且D為AE的黃金分割點(diǎn)，即，BE交DC于點(diǎn)F，已知，求CF的長19圖1是一張寬與長之比為的矩形紙片，我們稱這樣的矩形為黃金矩形同學(xué)們都知道按圖2所示的折疊方法進(jìn)行折疊，折疊后再展開，可以得到一個(gè)正方形ABEF和一個(gè)矩形EFDC，那么EFDC這個(gè)矩形還是黃金矩形嗎？若是，請根據(jù)圖2證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由20（如圖1），點(diǎn)P將線段AB分成一條較小線段AP和一條較大線段BP，如果，那么稱點(diǎn)P為線段AB的黃金分

7、割點(diǎn)，設(shè)=k，則k就是黃金比，并且k0.618（1）以圖1中的AP為底，BP為腰得到等腰APB（如圖2），等腰APB即為黃金三角形，黃金三角形的定義為：滿足0.618的等腰三角形是黃金三角形；類似地，請你給出黃金矩形的定義：；（2）如圖1，設(shè)AB=1，請你說明為什么k約為0.618；（3）由線段的黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到圖形的“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個(gè)面積為S的圖形分成面積為S1和面積為S2的兩部分（設(shè)S1S2），如果，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線（如圖3），點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，那么直線CP是ABC的黃金分割線嗎？請說明理由；（4）圖3中的ABC的黃金分割

8、線有幾條？21在人體軀干（腳底到肚臍的長度）與身高的比例上，肚臍是理想的黃金分割點(diǎn)，即比例越接近0.618，越給人以美感張女士原來腳底到肚臍的長度與身高的比為0.60，她的身高為1.60m，她應(yīng)該選擇多高的高跟鞋穿上看起來更美？（精確到十分位）22已知線段AB，按照如下的方法作圖：以AB為邊作正方形ABCD，取AD的中點(diǎn)E，連接EB，延長DA到F，使EF=EB，以線段AF為邊，作正方形AFGH，那么點(diǎn)H是線段AB的黃金分割點(diǎn)嗎？請說明理由23如圖，用紙折出黃金分割點(diǎn)：裁一張正方的紙片ABCD，先折出BC的中點(diǎn)E，再折出線段AE，然后通過折疊使EB落到線段EA上，折出點(diǎn)B的新位置B，因而EB=E

9、B類似地，在AB上折出點(diǎn)B使AB=AB這時(shí)B就是AB的黃金分割點(diǎn)請你證明這個(gè)結(jié)論24如圖，用紙折出黃金分割點(diǎn)：裁一張邊長為2的正方形紙片ABCD，先折出BC的中點(diǎn)E，再折出線段AE，然后通過折疊使EB落在線段EA上，折出點(diǎn)B的新位置F，因而EF=EB類似的，在AB上折出點(diǎn)M使AM=AF則M是AB的黃金分割點(diǎn)嗎？若是請你證明，若不是請說明理由25如圖，在ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，且DB=DC=AC，已知ACE=108°，BC=2（1）求B的度數(shù)；（2）我們把有一個(gè)內(nèi)角等于36°的等腰三角形稱為黃金三角形它的腰長與底邊長的比（或者底邊長與腰長的比）等于黃金比寫出圖中所有的黃金三

10、角形，選一個(gè)說明理由；求AD的長；在直線AB或BC上是否存在點(diǎn)P（點(diǎn)A、B除外），使PDC是黃金三角形？若存在，在備用圖中畫出點(diǎn)P，簡要說明畫出點(diǎn)P的方法（不要求證明）；若不存在，說明理由26寬與長的比是的矩形叫黃金矩形心理測試表明：黃金矩形令人賞心悅目，它給我們以協(xié)調(diào)，勻稱的美感現(xiàn)將小波同學(xué)在數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，折疊黃金矩形的方法歸納如下（如圖所示）：第一步：作一個(gè)正方形ABCD；第二步：分別取AD，BC的中點(diǎn)M，N，連接MN；第三步：以N為圓心，ND長為半徑畫弧，交BC的延長線于E；第四步：過E作EFAD，交AD的延長線于F請你根據(jù)以上作法，證明矩形DCEF為黃金矩形27在ABC中，AB=AC，

11、A=36°，把像這樣的三角形叫做黃金三角形（1）請你設(shè)計(jì)三種不同的分法，將黃金三角形ABC分割成三個(gè)等腰三角形，使得分割成的三角形中含有兩個(gè)黃金三角形（畫圖工具不限，要求畫出分割線段；標(biāo)出能夠說明不同分法所得三角形的內(nèi)角度數(shù)，不要求寫畫法，不要求證明分別畫在圖1，圖2，圖3中）注：兩種分法只要有一條分割線段位置不同，就認(rèn)為是兩種不同的分法（2）如圖4中，BF平分ABC交AC于F，取AB的中點(diǎn)E，連接 EF并延長交 BC的延長線于M試判斷CM與AB之間的數(shù)量關(guān)系？只需說明結(jié)果，不用證明答：CM與AB之間的數(shù)量關(guān)系是28折紙與證明用紙折出黃金分割點(diǎn)：第一步：如圖（1），先將一張正方形紙片

12、ABCD對折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的對角線BF第二步：如圖（2），將AB邊折到BF上，得到折痕BG，試說明點(diǎn)G為線段AD的黃金分割點(diǎn)（AGGD）29三角形中，頂角等于36°的等腰三角形稱為黃金三角形，如圖1，在ABC中，已知：AB=AC，且A=36°（1）在圖1中，用尺規(guī)作AB的垂直平分線交AC于D，并連接BD（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）BCD是不是黃金三角形？如果是，請給出證明；如果不是，請說明理由；（3）設(shè)，試求k的值；（4）如圖2，在A1B1C1中，已知A1B1=A1C1，A1=108°，且A1B1=AB，請直接寫出的值30如圖1，點(diǎn)C將線

13、段AB分成兩部分，如果，那么稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時(shí)，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個(gè)面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1，S2，如果，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線（1）研究小組猜想：在ABC中，若點(diǎn)D為AB邊上的黃金分割點(diǎn)（如圖2），則直線CD是ABC的黃金分割線你認(rèn)為對嗎？為什么？（2）請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？（3）研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點(diǎn)C任作一條直線交AB于點(diǎn)E，再過點(diǎn)D作直線DFCE，交AC于點(diǎn)F，連接EF（如圖3），則直線EF也是ABC的黃金分割線請你說

14、明理由（4）如圖4，點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊AB的黃金分割點(diǎn)，過點(diǎn)E作EFAD，交DC于點(diǎn)F，顯然直線EF是平行四邊形ABCD的黃金分割線請你畫一條平行四邊形ABCD的黃金分割線，使它不經(jīng)過平行四邊形ABCD各邊黃金分割點(diǎn)黃金分割專項(xiàng)練習(xí)30題參考答案:1（1）證明：AB=AC=1，ABC=C=（180°A）=（180°36°）=72°，BD平分ABC交AC于點(diǎn)D，ABD=CBD=ABC=36°，BDC=180°36°72°=72°，DA=DB，BD=BC，AD=BD=BC，易得BDCABC，BC：A

15、C=CD：BC，即BC2=CDAC，AD2=CDAC，點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)；（2）設(shè)AD=x，則CD=ACAD=1x，AD2=CDAC，x2=1x，解得x1=，x2=，即AD的長為2解：（1）設(shè)AB=xcm，則AD=（20x）cm，根據(jù)題意得x（20x）=99，整理得x220x+99=0，解得x1=9，x2=11，當(dāng)x=9時(shí)，20x=11；當(dāng)x=11時(shí)，2011=9，而ABAD，所以x=11，即AB的長為11cm；（2）不能理由如下：設(shè)AB=xcm，則AD=（20x）cm，根據(jù)題意得x（20x）=101，整理得x220x+101=0，因?yàn)?2024×101=40，所以方程沒有實(shí)

16、數(shù)解，所以這個(gè)矩形的面積可能等于101cm2；（3）設(shè)AB=xcm，則AD=（20x）cm，根據(jù)題意得20x=x，解得x=10（1），則20x=10（3），所以矩形的面積=10（1）10（3）=（400800）cm23解：（1）A=36°，AB=AC，ABC=ACB=72°，BD平分ABC，CBD=ABD=36°，BDC=72°，AD=BD，BC=BD，ABCBDC，=，即=，AD2=ACCD點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)（2）點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)，AD=AC，AC=2，AD=14解：（1）腰與底之比為黃金比為黃金比如圖，（2）作法：畫線段AB作為三角

17、形底邊； 取AB的一半作AB的垂線AC，連接BC，在BC上取CD=CA分別以A點(diǎn)和B點(diǎn)為圓心、以BD為半徑劃弧，交點(diǎn)為E；分別連接EA、EB，則ABE即是所求的三角形（3）證明：設(shè)AB=2，則AC=1，BC=，AE=BE=BD=BCCD=1，=5解：（1）由于P為線段AB=2的黃金分割點(diǎn)，則AP=2×=1，或AP=2（1）=3；（2）如圖，點(diǎn)P是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)6解：（1）設(shè)AC=x，則BC=ABAC=1x，AC2=BCAB，x2=1×（1x），整理得x2+x1=0，解得x1=，x2=（舍去），所以線段AC的長度為；（2）設(shè)線段AD的長度為x，AC=l，AD2=CD

18、AC，x2=l×（lx），x1=，x2=（舍去），線段AD的長度AC；（3）同理得到線段AE的長度AD；上面各題的結(jié)果反映：若線段AB分成兩條線段AC和BC（ACBC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC=AC：BC），則C點(diǎn)為AB的黃金分割點(diǎn)7解：D是AC的黃金分割點(diǎn)理由如下：在ABC中，AB=AC，A=36°，ABC=ACB=72°1=2，1=2=ABC=36°在BDC中，BDC=180°2C=72°，C=BDC，BC=BDA=1，AD=BCABC和BDC中，2=A，C=C，ABCBDC，又AB=AC，AD=BC=BD，

19、AD2=ACCD，即D是AC的黃金分割點(diǎn)8證明：AB=AC，A=36°，ABC=（180°36°）=72°，BD平分ABC，交于AC于D，DBC=×ABC=×72°=36°，A=DBC，又C=C，BCDABC，AB=AC，=，AB=AC=2，BC=1，（1）2=2×（2AD），解得AD=，AD：AC=（）：2點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)9證明：在AB上截取AE=BC，DF=BC，連接EFAE=BC，DF=BC，AE=DF=BC=AD，又ADF=90°，四邊形AEFD是正方形BE=，矩形BCFE的寬

20、與長的比是黃金分割比，矩形BCFE是黃金矩形黃金矩形是由一個(gè)正方形和一個(gè)更小的黃金矩形構(gòu)成10解：設(shè)正方形ABCD的邊長為2，在RtAEB中，依題意，得AE=1，AB=2，由勾股定理知EB=，AH=AF=EFAE=EBAE=1，HB=ABAH=3；AH2=（）2=62，ABHB=2×（3）=62，AH2=ABHB，所以點(diǎn)H是線段AB的黃金分割點(diǎn)11證明：（1）A=36°，C=72°，ABC=180°36°72°=72°，ADB=108°，ABD=180°36°108°=36°

21、，ADB是等腰三角形，BDC=180°ADC=180°108°=72°，BDC是等腰三角形，AD=BD=BC（2）DBC=A=36°，C=C，ABCBDC，BC：AC=CD：BC，BC2=ACDC，BC=AD，AD2=ACDC，點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)12解：D在AB上，且AD2=BDAB，點(diǎn)D是AB的黃金分割點(diǎn)而點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)，AC=AB=1，AD=ABAB=AB=3或AD=1，AC=3，CD=1（3）=24，=或=13解：矩形ABFE是黃金矩形AD=BC，DE=AB，=1=矩形ABFE是黃金矩形14解：D為AB的黃金分割點(diǎn)（ADB

22、D），AD=AB=1010，EC+CD=AC+CD=AD，EC+CD=（1010）cm15解：設(shè)他的肚臍到腳底的長度為xm時(shí)才是黃金身段，根據(jù)題意得x：1.70=0.618，即x=1.70×0.6181.1（m）答：他的肚臍到腳底的長度為1.1m時(shí)才是黃金身段16解：（1）在RtAPD中，AP=1，AD=2，由勾股定理知PD=，AM=AF=PFAP=PDAP=1，DM=ADAM=3故AM的長為1，DM的長為3；（2）點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)由于=，點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)17解：點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且APBP，AP2=BP×AB，又S1=AP2，S2=PB×A

23、B，S1=S218解：四邊形ABCD為平行四邊形，CBF=AEB，BCF=BAE，BCFEAB，即 ，把AD=，AB=+1代入得，=，解得：CF=2故答案為：219解：矩形EFDC是黃金矩形，證明：四邊形ABEF是正方形，AB=DC=AF，又，即點(diǎn)F是線段AD的黃金分割點(diǎn)，矩形CDFE是黃金矩形20解：（1）滿足0.618的矩形是黃金矩形；（2）由=k得，BP=1×k=k，從而AP=1k，由得，BP2=AP×AB，即k2=（1k）×1，解得k=，k0，k=0.618；（3）因?yàn)辄c(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，所以，設(shè)ABC的AB上的高為h，則，直線CP是ABC的黃金分

24、割線（4）由（2）知，在BC邊上也存在這樣的黃金分割點(diǎn)Q，則AQ也是黃金分割線，設(shè)AQ與CP交于點(diǎn)W，則過點(diǎn)W的直線均是ABC的黃金分割線，故黃金分割線有無數(shù)條21解：根據(jù)已知條件得下半身長是160×0.6=96cm，設(shè)選擇的高跟鞋的高度是xcm，則根據(jù)黃金分割的定義得：=0.618，解得：x7.5cm故她應(yīng)該選擇7.5cm左右的高跟鞋穿上看起來更美22解：設(shè)正方形ABCD的邊長為2a，在RtAEB中，依題意，得AE=a，AB=2a，由勾股定理知EB=a，AH=AF=EFAE=EBAE=（1）a，HB=ABAH=（3）a；AH2=（62）a2，ABHB=2a×（3）a=（6

25、2）a2，AH2=ABHB，所以點(diǎn)H是線段AB的黃金分割點(diǎn)23證明：設(shè)正方形ABCD的邊長為2，E為BC的中點(diǎn)，BE=1AE=，又BE=BE=1，AB=AEBE=1，AB點(diǎn)B是線段AB的黃金分割點(diǎn)24證明：正方形ABCD的邊長為2，E為BC的中點(diǎn)，BE=1AE=，EF=BE=1，AF=AEEF=1，AM=AF=1，AM：AB=（1）：2，點(diǎn)M是線段AB的黃金分割點(diǎn)25解：（1）BD=DC=AC則B=DCB，CDA=A設(shè)B=x，則DCB=x，CDA=A=2x又BOC=108°，B+A=108°x+2x=108，x=36°B=36°；（2）有三個(gè)：BDC，A

26、DC，BACDB=DC，B=36°，DBC是黃金三角形，（或CD=CA，ACD=180°CDAA=36°CDA是黃金三角形或ACE=108°，ACB=72°又A=2x=72°，A=ACBBA=BCBAC是黃金三角形BAC是黃金三角形，BC=2，AC=1BA=BC=2，BD=AC=1，AD=BABD=2（1）=3，存在，有三個(gè)符合條件的點(diǎn)P1、P2、P3）以CD為底邊的黃金三角形：作CD的垂直平分線分別交直線AB、BC得到點(diǎn)P1、P2）以CD為腰的黃金三角形：以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑作弧與BC的交點(diǎn)為點(diǎn) P326證明：在正方形ABCD中，取AB=2a，N為BC的中點(diǎn)，NC=BC=a在RtDNC中，又NE=ND，CE=NENC=（1）a故矩形DCEF為黃金矩形27解：（1）（2）CM=AB