42偏導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

1、第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的：(1) 理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念；(2) 掌握偏導(dǎo)數(shù)和高階偏導(dǎo)數(shù)的求法的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則;(3) 了解混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無(wú)關(guān)的充分條件。教學(xué)重點(diǎn)：偏導(dǎo)數(shù)和高階偏導(dǎo)數(shù)的求法教學(xué)難點(diǎn)：偏導(dǎo)數(shù)存在性的討論教學(xué)方法：講練結(jié)合教學(xué)時(shí)數(shù)：2課時(shí)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算在研究一元函數(shù)時(shí)，從研究函數(shù)的變化率引入了導(dǎo)數(shù)的概念，對(duì)于多元函數(shù)同樣需要討論它的變化率。由于多元函數(shù)不止一個(gè)自變量，研究起來(lái)要復(fù)雜得多。但是，我們可考慮多元函數(shù)關(guān)于其中一個(gè)自變量的變化率，例如:理想氣體的體積：因此，我們引入下面的偏導(dǎo)數(shù)概念。1、偏導(dǎo)數(shù)的定義定義2.1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，

2、當(dāng)固定在，而在處有增量時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量：，如果存在，則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，記為，或.即。同理可定義函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，為記為，或.即。如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是、的函數(shù)，它就稱為函數(shù)對(duì)自變量的偏導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù)記作，或.同理可以定義函數(shù)對(duì)自變量的偏導(dǎo)數(shù)，記作，或.偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如在處 2、計(jì)算：從偏導(dǎo)數(shù)的定義可以看出，計(jì)算多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)并不需要新的方法，若對(duì)某一個(gè)自變量求導(dǎo)，只需將其他自變量常數(shù)，用一元函數(shù)微分法即可。于是，一元函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則都可以移植到多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算上來(lái)。例1：求 在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)解法

3、一： 解法二：， 這里我們要知道，有時(shí)，“先求偏導(dǎo)函數(shù)再代值求某點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)”不一定簡(jiǎn)便。如下例例2：求解:例3 已知理想氣體的狀態(tài)方程（為常數(shù)），求證：.證明： =有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：1、 偏導(dǎo)數(shù)是一個(gè)整體記號(hào)，不能拆分;2、求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；解：=0例4：設(shè)求的偏導(dǎo)數(shù)。解： 按定義可知故 、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)，函數(shù)在該點(diǎn)一定連續(xù)，但多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)未必連續(xù).例如,函數(shù),依定義知在處，.但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù).4、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)是曲面上一點(diǎn)，則偏導(dǎo)數(shù)就是曲面被平面所截得的曲線在點(diǎn)處的切線對(duì)軸的斜率；偏導(dǎo)數(shù)就是曲面被平面所截得的

4、曲線在點(diǎn)處的切線對(duì)軸的斜率.二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)、的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們是函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。記作 定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).例5設(shè)，求、及.解： 例6設(shè)，求二階偏導(dǎo)數(shù).解： 問(wèn)題：混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？例7設(shè)，求解： 當(dāng)時(shí)，按定義可知： =0=1顯然 問(wèn)題：具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？定理2.1 如果函數(shù)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)及在區(qū)域 D內(nèi)連續(xù)，那末在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等例8 驗(yàn)證函數(shù)滿足拉普拉斯方程證明：=0 證畢.內(nèi)容小結(jié):1.偏導(dǎo)數(shù)的定義（偏增量比的極限）2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義3.高階偏導(dǎo)數(shù)：純偏導(dǎo)，混合偏導(dǎo)及其相等的條