2014年高考江蘇數(shù)學(xué)試題及答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（江蘇卷）注 意 事 項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1 本試卷共4頁(yè)，包含填空題（第1題第14題）、解答題（第15題 - 第20題）本卷滿分160分，考試時(shí)間為120分鐘考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回2 答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置3 請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上按照順序在對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無(wú)效作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆請(qǐng)注意字體工整，筆跡清楚4 如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗5 請(qǐng)保持答題卡卡面清潔，不要折

2、疊、破損一律不準(zhǔn)使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆數(shù)學(xué)參考公式：圓柱的體積公式：，其中為圓柱的表面積，為高圓柱的側(cè)面積公式：，其中是圓柱底面的周長(zhǎng)，為母線長(zhǎng)一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分 請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上（1）【2014年江蘇，1，5分】已知集合，則_【答案】【解析】由題意得（2）【2014年江蘇，2，5分】已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)，則的實(shí)部為_(kāi)【答案】21【解析】由題意，其實(shí)部為21（3）【2014年江蘇，3，5分】右圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出的的值是_【答案】5【解析】本題實(shí)質(zhì)上就是求不等式的最小整數(shù)解整數(shù)解為，因此輸出的（4）【2014年江蘇，4，5分】

3、從這4個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取2個(gè)數(shù)，則所取2個(gè)數(shù)的乘積為6的概率是_【答案】【解析】從這4個(gè)數(shù)中任取2個(gè)數(shù)共有種取法，其中乘積為6的有和兩種取法，因此所求概率為（5）【2014年江蘇，5，5分】已知函數(shù)與，它們的圖象有一個(gè)橫坐標(biāo)為的交點(diǎn)，則的值是_【答案】【解析】由題意，即，因?yàn)?，所以?）【2014年江蘇，6，5分】為了了解一片經(jīng)濟(jì)林的生長(zhǎng)情況，隨機(jī)抽測(cè)了其中60株樹(shù)木的底部周長(zhǎng)（單位：cm），所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間上，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測(cè)的60株樹(shù)木中，有 株樹(shù)木的底部周長(zhǎng)小于100 cm【答案】24【解析】由題意在抽測(cè)的60株樹(shù)木中，底部周長(zhǎng)小于的株數(shù)為（7）【2014年江蘇，7，5

4、分】在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則的值是_【答案】4【解析】設(shè)公比為，因?yàn)?，則由得，解得，所以（8）【2014年江蘇，8，5分】設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為，體積分別為，若它們的側(cè)面積相等，且，則的值是_【答案】【解析】設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面和高分別為，則，又，所以，則（9）【2014年江蘇，9，5分】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)【答案】【解析】圓的圓心為，半徑為，點(diǎn)到直線的距離為，所求弦長(zhǎng)為（10）【2014年江蘇，10，5分】已知函數(shù)，若對(duì)任意，都有成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_【答案】【解析】據(jù)題意，解得（11）【2014年江蘇，11，5分】在平面直角坐標(biāo)系xOy

5、中，若曲線(為常數(shù))過(guò)點(diǎn)，且該曲線在點(diǎn)P處的切線與直線平行，則的值是_【答案】【解析】曲線過(guò)點(diǎn)，則，又，所以，由解得，所以（12）【2014年江蘇，12，5分】如圖，在平行四邊形ABCD中，已知， ，則的值是_【答案】22【解析】由題意，所以，即，解得（13）【2014年江蘇，13，5分】已知是定義在R上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在區(qū)間上有10個(gè)零點(diǎn)(互不相同)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【答案】【解析】作出函數(shù)的圖象，可見(jiàn)，當(dāng)時(shí)， ，方程在上有10個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)和圖象與直線 在上有10個(gè)交點(diǎn)，由于函數(shù)的周期為3，因此直線與函數(shù)的應(yīng)該是4個(gè)交點(diǎn)，則有（14）【2014年江蘇，14，5分】若的內(nèi)

6、角滿足，則的最小值是_【答案】【解析】由已知及正弦定理可得， ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟（15）【2014年江蘇，15，14分】已知， （1）求的值； （2）求的值解：（1）， （2）， （16）【2014年江蘇，16，14分】如圖，在三棱錐中，分別為棱 的中點(diǎn)已知 （1）求證：直線PA平面DEF； （2）平面BDE平面ABC解：（1）為中點(diǎn)DEPA平面DEF，DE平面DEFPA平面DEF（2）為中點(diǎn)，為中點(diǎn)， ，DEEF，DE平面ABC，DE平面BDE，平面BDE平面A

7、BC（17）【2014年江蘇，17，14分】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為，連結(jié)并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)C，連結(jié) （1）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為，且，求橢圓的方程； （2）若，求橢圓離心率e的值解：（1），橢圓方程為（2）設(shè)焦點(diǎn)，關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，三點(diǎn)共線，即，即聯(lián)立方程組，解得 C在橢圓上，化簡(jiǎn)得，, 故離心率為（18）【2014年江蘇，18，16分】如圖，為保護(hù)河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū)規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離

8、均不少于80m經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60m處，點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170m處(OC為河岸)， （1）求新橋BC的長(zhǎng)； （2）當(dāng)OM多長(zhǎng)時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？解：解法一：（1）如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy由條件知A(0, 60)，C(170, 0)，直線BC的斜率又因?yàn)锳BBC，所以直線AB的斜率設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,b)，則kBC=， k AB=，解得a=80，b=120 所以BC=因此新橋BC的長(zhǎng)是150 m（2）設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M的半徑為r m,OM=d m,(0d60)由條件知，直線BC的方程為，即，由于圓M與直線BC相切，故點(diǎn)M(0，d)到

9、直線BC的距離是r，即因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m，所以，即，解得故當(dāng)d=10時(shí),最大，即圓面積最大 所以當(dāng)OM = 10 m時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大解法二：（1）如圖，延長(zhǎng)OA, CB交于點(diǎn)F因?yàn)閠anBCO=所以sinFCO=，cosFCO=因?yàn)镺A=60,OC=170，所以O(shè)F=OC tanFCO=CF=，從而因?yàn)镺AOC，所以cosAFB=sinFCO=，又因?yàn)锳BBC，所以BF=AF cosAFB=，從而B(niǎo)C=CFBF=150因此新橋BC的長(zhǎng)是150 m（2）設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M與BC的切點(diǎn)為D，連接MD，則MDBC，且MD是圓M的半徑，并設(shè)MD=r m，OM=d

10、m(0d60)因?yàn)镺AOC，所以sinCFO =cosFCO，故由（1）知，sinCFO =所以因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m，所以，即，解得，故當(dāng)d=10時(shí)，最大，即圓面積最大所以當(dāng)OM = 10 m時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大（19）【2014年江蘇，19，16分】已知函數(shù)其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù) （1）證明：是上的偶函數(shù)； （2）若關(guān)于x的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）已知正數(shù)a滿足：存在，使得成立試比較與的大小，并證明你的結(jié)論解：（1），是上的偶函數(shù)（2）由題意，即，即對(duì)恒成立令，則對(duì)任意恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，（3），當(dāng)時(shí)在上單調(diào)增，令，即在上單調(diào)減，存

11、在，使得，即，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)減，因此至多有兩個(gè)零點(diǎn)，而，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（20）【2014年江蘇，20，16分】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為若對(duì)任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得，則稱(chēng)是“H數(shù)列” （1）若數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：是“H數(shù)列”； （2）設(shè)是等差數(shù)列，其首項(xiàng)，公差若是“H數(shù)列”，求d的值；（3）證明：對(duì)任意的等差數(shù)列，總存在兩個(gè)“H數(shù)列”和，使得成立解：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，是“H數(shù)列”（2），對(duì)，使，即，取得，又，（3）設(shè)的公差為d，令，對(duì)，對(duì)，則，且為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，令，則當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，由于n與奇偶性不同，即非負(fù)偶數(shù)，因此對(duì)，都可找到，使成立，即為

12、“H數(shù)列”的前項(xiàng)和，令，則對(duì)，是非負(fù)偶數(shù)，即對(duì)，都可找到，使得成立，即為“H數(shù)列”，因此命題得證注 意 事 項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1 本試卷只有解答題，供理工方向考生使用本試，21題有A、B、C、D 4個(gè)小題供選做，每位考生在4個(gè)選做題中選答2題若考生選做了3題或4題，則按選做題中的前2題計(jì)分第22、23題為必答題每小題10分，共40分考試時(shí)間30分鐘考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回2 答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置3 請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上按照順序在對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無(wú)效作答必須用0.5毫米黑色墨

13、水的簽字筆請(qǐng)注意字體工整，筆跡清楚4 如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗?jǐn)?shù)學(xué)【選做】本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩題評(píng)分解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟（21-A）【2014年江蘇，21-A，10分】（選修4-1：幾何證明選講）如圖，AB是圓O的直徑，C、 D是圓O 上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)證明：OCB=D解：因?yàn)锽，C是圓O上的兩點(diǎn)，所以O(shè)B=OC故OCB=B又因?yàn)镃, D是圓O上位于AB異側(cè) 的兩點(diǎn)，故B，D為同弧所對(duì)的兩個(gè)圓周角，所以B=D因此OCB=D（21-B）【2014年江蘇，21-B，10

14、分】（選修4-2：矩陣與變換）已知矩陣，向量，為實(shí)數(shù)，若，求的值解：，由得解得（21-C）【2014年江蘇，21-C，10分】（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與拋物線交于兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)解：直線l：代入拋物線方程并整理得，交點(diǎn)，故（21-D）【2014年江蘇，21-D，10分】（選修4-5：不等式選講）已知，證明：解：因?yàn)閤>0, y>0, 所以1+x+y2，1+x2+y，所以(1+x+y2)( 1+x2+y)=9xy【必做】第22、23題，每小題10分，計(jì)20分請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題卡的指定區(qū)域內(nèi)（22）【2014年江蘇，22，10分】盒中共有9個(gè)球，其中有4個(gè)紅球，3個(gè)黃球和2個(gè)綠球，這些球除顏色外完全相同（1）從盒中一次隨機(jī)取出2個(gè)球，求取出的2個(gè)球顏色相同的概率P；（2）從盒中一次隨機(jī)取出4個(gè)球，其中紅球、黃球、綠球的個(gè)數(shù)分別記為，隨機(jī)變量X表示 中的最大數(shù)，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望解：（1）一次取2個(gè)球共有種可能情況，2個(gè)球顏色相同共有種可能情況，取出的2個(gè)球顏色相同的概率（2）X的所有可能取值為，則；X的