四階非線性奇異半正方程組邊值問題的正解

1、朱風玲，劉立山曲阜師范大學數(shù)學科學學院，山東曲阜（273165）E-mail：,摘 要：本文利用不動點指數(shù)定理研究了一個四階非線性奇異半正兩點邊值問題方程組的正解的存在性，借助研究與其近似的二階非線性半正奇異方程組解的存在性，得到了四階非線性奇異半正方程組的一些新的正解存在性的結(jié)果最后，本文給出了一個例子具體說明解的存在性定理的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：非線性奇異半正方程組；四階邊值問題；正解；錐；不動點指數(shù)中圖分類號： O177.911引言在許多領(lǐng)域如物理,生物和化學等, 都有奇異半正方程組邊值問題出現(xiàn), 而且無論是理論方面還是應(yīng)用方面都有很重要的作用. 對于這樣的非線性奇異方程(組)問題的研究應(yīng)經(jīng)有很

2、多了, 然而大部分文章傾向于二階的非線性奇異方程組,或者是非線性項是非負的, 如文獻1-16, 很少文章研究四階奇異半正邊值問題. 最近, 劉立山在文15中研究了下列二階非線性兩點半正邊值問題正解的存在性:x"(t)=f(t,y(t),x(t)+p(t),t(0,1),y"(t)=g(t,x(t),y(t)+q(t),t(0,1), (1.1) x(0)=x(1)=0,y(0)=y(1)=0,其中f,g:(0,1)×R×RR是連續(xù)的，并且t=0和（或）t=1處是奇異的+p,q:(0,1)(,+)是Lebesgue可積的，并且在0,1上有限個奇異點.通過對

3、方程組(1.1)進行代換, 然后用熟悉的不動點定理就可以得到其正解的存在性.受上述文章的啟發(fā), 本章考慮如下實Banach空間(E,)中四階非線性奇異半正方程組: x(4)(t)=f(t,x(t),y(t),x"(t),y"(t),t(0,1),(4)y(t)=g(t,x(t),y(t),x"(t),y"(t),t(0,1), (1.2) x(0)=x(1)=x"(0)=x"(1)=0,y(0)=y(1)=y"(0)=y"(1)=0,其中f,g:C(0,1)×R×R×R×R,

4、R),f,g在t=0和（或）t=1處可能是奇異的, 并且取值可能是負的, 其中R=0,+),R=(,0,通過用不動點定理來討論一下與(1.2)逼近的二階非線性半正方程組解的存在性, 進而得出四階非線性半正方程組兩點邊值問題解的存在性. +2預備知識首先，記下面邊值問題 1本課題得到國家自然科學基金(10771117)和高等學校博士點科研基金(20060446001)的資助。-1-u"(t)=0,t(0,1),u(0)=u(1)=0,的格林函數(shù)為G(t,s),易知G(t,s)為s(1t),0st1,G(t,s)=t(1s),0ts1.易證G:0,1×0,10,1是連續(xù)的，并且

5、有G(t,s)=G(s,t)G(s,s)=s(1s)1,在本文給出以下條件0s,t1.(H1)f,gC(0,1)×R+×R+×R×R,R),并存在函數(shù)hiC(R4,R+)和p1(t)f(t,x1,x2,x3,x4)q1(t)h1(x1,x2,x3,x4),p2(t)g(t,x1,x2,x3,x4)q2(t)h2(x1,x2,x3,x4), (t,x1,x2,x3,x4)(0,1)×R+×R+×R+×R+.pi,qiL1(0,1),R+)IC(0,1),R+)(i=1,2),使得(H2)存在(,)0,1，使得xi+t

6、,i=1,2,3,4limminf(t,x1,x2,x3,x4)+p1(t)=+,x4或g(t,x1,x2,x3,x4)+p2(t)=+.xi+t,x4i=1,2,3,4limmin(H3)10Mi=maxxj0.r(j=1,2,3,4)h1(x1,x2,x3,x4),h2(x1,x2,x3,x4),10r1=p1(s)ds,r2=p2(s)ds,r=maxr1,r2，并且滿足0<G(,)q1()+p1()d<1rM1+1r,0<G(,)q2()+p2()d<1M2+1.注1 由條件(H1)容易得出f,g在t=0或/和t=1處有奇異事實上，條件(H1)允許f和g在0,1

7、上有有限個奇異點為了解決f,g有導數(shù)的難點,先考慮以下二階非線性微積分方程組:u"(t)=f(t,1G(t,s)u(s)ds,1G(t,s)v(s)ds,u(t),v(t),00v"(t)=g(t,1G(t,s)u(s)ds,1G(t,s)v(s)ds,u(t),v(t),0<t<1,(2.1) 00u(0)=u(1)=0,v(0)=v(1)=0.引理2.1 四階非線性奇異半正微分方程組(1.2)有一個正解當且僅當二階非線性微積分方程組(2.1)有一個正解.-2-證 (x,y)四階非線性半正微分方程組(1.2)的一個正解,令u(t)=x"(t),v(t

8、)=y"(t), 則由方程組(1.2)的邊值條件和交換一下積分順序可得11x(t)=G(t,s)u(s)ds,0y(t)=G(t,s)v(s)ds.故u(t)=x"(t),v(t)=y"(t), 是二階微積分方程組(2.1)的一個正解. 另外, 若(u,v)是二階微積分方程組(2.1)的一個正解. 令x(t)=G(t,s)u(s)ds,1y(t)=G(t,s)v(s)ds.1則有x'(t)=(1s)u(s)dssu(s)ds,t1ty'(t)=(1s)v(s)dssv(s)ds,t1tx"(t)=u(t),y"(t)=v(t).

9、也就是x(0)=x(1)=x"(0)=x"(1)=0,y(0)=y(1)=y"(0)=y"(1)=0. 相應(yīng)地, (x,y)是方程組(1.2)的一個正解, 其中x(t)=G(t,s)u(s)ds,1y(t)=G(t,s)v(s)ds.1在本文中取X=C(0,1,R)×C(0,1,R), 則空間X在范數(shù)(u,v):=u+v下是Banach空間, 其中對任意的(u,v)X， u=maxt0,1u(t)， v=maxt0,1v(t). 同時定義X中的錐P為P=(x,y)X:x(t)t(1t)x,y(t)t(1t)y,t0,1.注2 若(x,y)C0,

10、1t(0,1),有u(t)>0,v(t)>0,則稱(u,v)是方程組(2.1)在空間C0,1IC2(0,1)×C0,1IC2(0,1)上的一個正解令I(lǐng)C2(0,1)×C0,1IC2(0,1)滿足方程組(2.1)且對任意的1(t)=G(t,s)p1(s)ds,12(t)=G(t,s)p2(s)ds,10t1.由條件(H1)和格林函數(shù)的性質(zhì)可有1101(t)=G(t,s)p1(s)dsG(s,s)p1(s)dsp1(s)ds+,0040111102(t)=G(t,s)p2(s)dsG(s,s)p2(s)dsp2(s)ds+,004011并且1"(t)=p1

11、(t),2"(t)=p2(t),1(0)=1(1)=0,2(0)=2(1)=0,也就是說1(t)和2(t)分別是下面BVP的正解：u"(t)=p1(t),t(0,1),v"(t)=p2(t),t(0,1), =u(0)u(1)0,v(0)v(1)0,對任意的uC0,1，定義一個函數(shù):0,1R為-3-+為了解決半正問題所帶來的難題, 考慮以下非線性奇異微分方程組:u"(t)=f(t,1G(t,s)u(s)(s)ds,1G(t,s)v(s)(s)ds,1200u(t)1(t),v(t)2(t)+p1(t),v"(t)=g(t,1G(t,s)u(s)

12、(s)ds,1G(t,s)v(s)(s)ds,12 （2.2） 00u(t)1(t),v(t)2(t)+p2(t),u(0)=u(1)=0,v(0)=v(1)=0.易知(u,v)C0,1IC2(0,1)×C0,1IC2(0,1)是方程組(2.2)的一個解當且僅當(u,v)C0,1IC2(0,1)×C0,1IC2(0,1)是下列非線性積分方程的解：u(t)=1f(s,1G(s,)u()()d,1G(s,)v()()d,12000u(s)1(s),v(s)2(s)+p1(s)G(t,s)ds, （2.3） 111v(t)=g(s,G(s,)u()1()d,G(s,)v()2()

13、d,000u(s)1(s),v(s)2(s)+p2(s)G(t,s)ds,t(0,1)定義算子A,B:PX如下：A(u,v)(t)=f(s,G(s,)u()1()d,G(s,)v()2()d,000111u(s)1(s),v(s)2(s)+p1(s)G(t,s)ds,b(u,v)(t)=g(s,G(s,)u()1()d,G(s,)v()2()d,000111u(s)1(s),v(s)2(s)+p2(s)G(t,s)ds,t(0,1)定義一個積分算子F:PX為F(u,v)=(A(u,v),B(u,v)，則方程組(2.3)等價于在Banach空間X=C(0,1,R)×C(0,1,R)中的

14、不動點方程F(u,v)=(u,v)方程組 (2.1)正解存在性可由文13中的不動點定理得證.引理2.2令X為一個實Banach空間,P為X中的錐, 是X中的一個開子集并且有,A:PP是一個全連續(xù)算子, 則有下列結(jié)論成立:(i)若對所有的uIP,1，Auu,則i(A,IP,P)=1，(ii)若對所有的uIP,Au/u,則i(A,IP,P)=0.引理2.3若滿足對任意的t0,1, 都有u(t)w1(t)和v(t)w2(t)成立的向量(u,v)為方程組(2.3)的一個正解, 則(uw1,vw2)是奇異半正方程組(2.1)的一個正解.證 事實上，若(u,v)是方程組(2.3)的一個正解使得對任意的t0

15、,1，都有u(t)1(t)和v(t)2(t), 則由(2.2)式和函數(shù)的定義可知-4-u"(t)=f(t,1G(t,s)(u(s)(s)ds,1G(t,s)(v(s)(s)ds,1200(u(t)1(t),(v(t)2(t)+p1(t),v"(t)=g(t,1G(t,s)(u(s)(s)ds,1G(t,s)(v(s)(s)ds,12 (2.4) 00(u(t)1(t),(v(t)2(t)+p2(t),u(0)=u(1)=0,v(0)=v(1)=0.令u1=u1,v1=v2,則u1"(t)=u"(t)1"(t),v1"(t)=v&quo

16、t;(t)2"(t), 故有u"(t)=u1"(t)+1"(t)=u1"(t)p1(t),v"(t)=v1"(t)+2"(t)=v1"(t)p2(t),t0,1因此(2.4)變?yōu)?u"(t)=f(t,1G(t,s)u(s)ds,1G(t,s)v(s)ds,u(t),v(t),111100111v"(t)=g(t,G(t,s)u(s)ds,G(t,s)v(s)ds,u(t),v(t),1111 (2.5) 001u(0)=u(1)=0,11v1(0)=v1(1)=0.也就是(u1,v1)

17、=(u1,v2)是方程組(2.1)的正解, 從而引理證畢. 由引理2.3的結(jié)果, 下面主要討論方程組(2.3).證 對任意的定點(u,v)P , 令L=maxmax0t1u(t),max0t1v(t). 則由函數(shù)的定義和格林函數(shù)的性質(zhì)可得u(s)1(s)u(s)L, v(s)2(s)v(s)L,s0,1G(s,)u()()dL,G(s,)v()()dL,1211因而由條件(H1)可有A(u,v)=f(s,G(s,)u()1()d,G(s,)v()2()d,111u(s)1(s),v(s)2(s)+p1(s)G(t,s)ds,q1(s)h1(G(s,)u()1()d,G(s,)v()2()d,1

18、11u(s)1(s),v(s)2(s)+p1(s)G(s,s)ds,(N1+1)G(s,s)q1(s)+p1(s)ds<+,01其中Ni=maxxj0,L(j=1,2,3,4)hi(x1,x2,x3,x4)(i=1,2). 按照與上述相同的證明方法進行, 同樣可有B(u,v)<+. 因此,F:PX是良定義的.接下來, 對任意的(u,v)P, 令(x,y)(t)=F(u,v)(t). 由算子F的定義可有(x,y)(0)=F(u,v)(0),(x,y)(1)=F(u,v)(1), 所以存在t0(0,1)，使得(x,y)(t0)=(x,y).-5-tt,t0s,t,0t(1s)tst0,

19、s(1t),G(t,s)= G(t0,s)1t,st,t0,1t0s(1t),t0st,t0(1s)故可得G(t,s)t(1t),G(t0,s)所以11(t,s)(0,1)×(0,1). x(t)=f(s,G(s,)u()1()d,G(s,)v()2()d,0001u(s)1(s),v(s)2(s)+p1(s)G(t,s)ds,=f(s,G(s,)u()1()d,G(s,)v()2()d, 000111u(s)1(s),v(s)2(s)+p1(s)t(1t)x(t0)=t(1t)x,t0,1.G(t,s)G(t0,s)ds,G(t0,s)同樣可有y(t)t(1t)y, t0,1. 因

20、此, F(P)P.令DP為任意一個有界集,則存在一個常數(shù)L'>0使得對任意的(u,v)D,都有(u,v)L'. 進而對任意的(u,v)D, 0,1有u()1()u()uL',v()2()v()vL',G(s,)u()()dL',011G(s,)v()()dL'.021因此由條件(H1)可得f(s,G(s,)u()1()d,G(s,)v()2()d,0011u(s)1(s),v(s)2(s)q1(s)h1(G(s,)u()1()d,G(s,)v()2()d, (2.6) 0011u(s)1(s),v(s)2(s)q1(s)N1',其中

21、Ni'=maxxj0,L'(j=1,2,3,4)hi(x1,x2,x3,x4)(i=1,2). 故由(2.6)可有-6-u(s)1(s),v(s)2(s)+p1(s)G(t,s)ds,G(s,s)q1(s)N1'+p1(s)ds,01(N1'+1)G(s,s)q1(s)+p1(s)ds<+,(u,v)D.01類似地, 對任意的(u,v)D,有B(u,v)(t)(N2'+1)G(s,s)q2(s)+p2(s)ds<+. 01因此, F(D)是一致有界的.現(xiàn)在證F(D)在0,1上是等度連續(xù)的. 對任意的(u,v)D, t0,1, 由算子A的定義可

22、有t1dA(u,v)(t)(N1'+1)(sq1(s)+p1(s)ds+(1s)q1(s)+p1(s)ds). 0tdt對其積分并交換積分順序可得(sq(s)+p(s)ds+(1s)q(s)+p(s)ds)dt0011t111t1=dssq1(s)+p1(s)dt+ds(1s)q1(s)+p1(s)dt 0s00111s=2G(s,s)q1(s)+p1(s)ds<+.01所以對任意的(u,v)D,有0101dA(u,v)(t)dt2(N1'+1)G(s,s)q1(s)+p1(s)ds<+. 0dt同樣的方法可以得到0101dB(u,v)(t)dt2(N2'+

23、1)G(s,s)q2(s)+p2(s)ds<+. 0dt由積分的絕對連續(xù)性可知F(D)在0,1上是等度連續(xù)的. 再由Ascoli-Arzela定理可得, F(D)是一個相對緊集.由f和g的連續(xù)性, 易知F:PP是連續(xù)的. 因此,F:PP是一個全連續(xù)算子. 從而引理證畢.證 假設(shè)存在01,(u0,v0)Pr，使得0(u0,v0)=F(u0,v0), 則有(u0,v0)=10F(u0,v0)和0<101. 因為v0(t)v0t(1t)=rt(1t),t0,1 u0(t)u0t(1t)=rt(1t),和-7-1(t)=G(t,s)p1(s)dst(1t)p1(s)ds=rt1(1t),1

24、12(t)=G(t,s)p2(s)dst(1t)p2(s)ds=r2t(1t),11并且對任意的t0,1,有u0(t)1(t)rt(1t)rt1(1t)(rr1)t(1t)0,v0(t)2(t)rt(1t)r2t(1t)(rr2)t(1t)0,則由(u0,v0)=10F(u0,v0), 可以得到關(guān)于0,u0和v0的方程:111+"()(,(,)()(),utftGtsussds0100G(t,s)(v0(s)2(s)ds,00(u0(t)1(t),(v0(t)2(t)+p1(t)=0,0<t<1, (2.7) u(0)=u(1)=0,0v0(0)=v0(1)=0.因為對任

25、意的t(0,1), 有u0"(t)0, 所以u0(t)在0,1上是一個凹函數(shù).由邊值條件可知, 存在t(0,1),使得u0=u0(t0),u0'(t0)=0,u0'(t)0,t(0,t0),u0'(t)0,t(t0,1).對t(0,t0),將(2.7)由t到t0積分可得t0u0'(t)=(u0"(s)dstf(s,G(s,)(u0()1()d,G(s,)(v0()2()d,tt011(u0(s)1(s),(v0(s)2(s)+p1(s)ds.因為0u0(s)1(s)u0(s)u0=r,0v0(s)2(s)v0(s)v0=r,0G(s,)(u0

26、()1()du0()u0=r,010G(s,)(v0()2()dv0()v0=r,1故f(s,G(s,)(u0()1()d,G(s,)(v0()2()d,11(u0(s)1(s),(v0(s)2(s)q1(s)h1(G(s,)(u0()1()d,G(s,)(v0()2()d,11(u0(s)1(s),(v0(s)2(s)q1(s)M1,其中常數(shù)M1是在條件(H3)中定義的, 進而有'u0(t)(M1+1)q1(s)+p1(s)ds. (2.8)tt0-8-r=u0(t0)=u0'(s)ds0t0(M1+1)dsq1()+p1()d0st0t0=(M1+1)dq1()+p1()d

27、s00t0(M1+1)q1()+p1()d0t0相應(yīng)地有 (M1+1)t0G(,)q1()+p1()d.01t0t0r(1t0)G(,)q1()+p1()d. (2.9) (M1+1)0用同樣的辦法,對t(t0,1)有1rt0G(,)q1()+p1()d. (2.10) (M1+1)t0將(2.9)和(2.10)相加可得r(M1+1)G(,)q1()+p1()d. 01L>由(H2)知存在R1>r使得 (1)max0t1G(t,s)ds2 (2.11)f(t,x1,x2,x3,x4)+p1(t)Lx4,取Rt,xiR1,i=1,2,3,4. (2.12) 2R1r1, 顯然,R&g

28、t;2R1>2r, 因此<. R2(1)接下來, 證(u,v)/F(u,v),(u,v)PR. 事實上, 若存在(u1,v1)PR使得(u1,v1)F(u1,v1), 則由引理2.5證明過程可知, 對任意的t,有-9-u1(t)1(t)u1(t)rt1(1t)u1(t)rt(1t)u1(t)u1(t)rR111u1(t)t(1t)RR(1)>R1>0,222v(t)v1(t)2(t)v1(t)r2t(1t)v1(t)rt(1t)v1(t)1rR111v1(t)t(1t)RR(1)>R1>0,222故由(2.12)-(2.14)可得11(2.13)(2.14)

29、Ru1(t)A(u1,v1)(t)=G(t,s)p1(s)+f(s,G(s,)u1()1()d,1G(s,)v1()2()d,u1(s)1(s),v1(s)2(s)ds,LG(t,s)v1(s)2(s)ds,L(1)RG(t,s)ds,2而由(2.11)可知t0,1.(2.15)L(1)RRmax0t1G(t,s)ds>R.2這就與(2.15)式矛盾. 故由引理2.2, 可得i(F,PR,P)=0.()3主要結(jié)果定理3.1假設(shè)條件(H1)(H3)成立,則方程組(1.2)在空間C0,1IC2(0,1)×C0,1IC2(0,1)上至少有一個正解.證 由引理2.5, 2.6和不動點指

30、數(shù)的性質(zhì), 有i(F,PRPr,P)=1, 因而F在PRPr中有一個不動點(u0,v0), 并且滿足u0>r和v0>r. 同時u0(t)1(t)u0t(1t)G(t,s)p1(s)ds1u0t(1t)t(1t)p1(s)ds1(rr1)t(1t)0,t0,1,v0(t)2(t)v0t(1t)G(t,s)p2(s)ds01v0t(1t)t(1t)p2(s)ds1(rr2)t(1t)0,t0,1.由引理2.3可知,(u01,v02)是方程組(2.1)在空間上C0,1IC2(0,1)×C0,1IC2(0,1)的一個正解. 由引理2.1可知,(x,y)是方程組(1.2)的一個正解

31、, 其中x(t)=G(t,s)(u0(s)1(s)ds,1y(t)=G(t,s)(v0(s)2(s)ds.1-10-定理證畢.4. 例子例4.1 考察下列二階微分方程組的邊值問題1(4)1112224x(t)=t(x(t)+y(t)+x"(t)+y"(t)t,44(4)411133333y(t)=t(x(t)+y(t)+x"(t)+y"(t)t5,t(0,1)75x(0)=x(1)=x"(0)=x"(1)=0,y(0)=y(1)=y"(0)=y"(1)=0.(4.1)結(jié)論 方程組(4.1)在空間C0,1證 令I(lǐng)C2

32、(0,1)×C0,1IC2(0,1)上至少有一個正解.1111222f(t,x1,x2,x3,x4)=t(x1+x2+x3+x4)t4,44413333g(t,x1,x2,x3,x4)=t3(x1+x2+x3+x4)t5,75則11p1(t)=t4,411q1(t)=t2,4311p2(t)=t5,541q2(t)=t3,722333h1(x1,x2,x3,x4)=x1+x2+x3+x4,h2(x1,x2,x3,x4)=x1+x2+x3+x4,顯然，f和g滿足條件(H1),(H2). 因為1因此r=maxr1,r2=1p1(s)ds=,311p2(s)ds=,41, 則有 3max1

33、xj0,3j=1,2,3,4r3=,h1(x1,x2,x3,x4)+117r9=,h2(x1,x2,x3,x4)+131max和1xj0,3j=1,2,3,4111113742Gssqspsdsssssds+=+=(,)()()(1)(),110044115511154353G(s,s)q(s)p(s)dss(1s)(ss)ds.+=+=22005731511-11-max1xj0,3j=1,2,3,41r>G(s,s)q1(s)+p1(s)ds,h1(x1,x2,x3,x4)+10max1xj0,3j=1,2,3,4r>G(s,s)q2(s)+p2(s)ds.h2(x1,x2,x

34、3,x4)+101易知也滿足條件(H3). 由定理3.1可知方程組(4.1)至少有一個正解.參考文獻4 R.Aris. Introduction to the Analysis of Chemical Reactors. Prentice-Hall. Englewood Cliffs. NJ. 1965.7 L.S. Liu, P. Kang, Y.H. Wu and B. Wiwatanapataphee. Positive solutions of singular boundary value problems for systems of nonlinear fourth order

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36、dary value problems. Nonlinear Anal. 42: 1003-1010. 2000.10 D. O'Regan. Theory of Singular Boundary Value Problems. World Science. Singaporo. 1994.11 D. O'Regan, B.Q. Yan and Ravi. P. Agarwal. Solutions in weighted spaces of singular boundary value problems on the half-line. J. Comput. Appl. Math. 205: 751-763. 2007.12 X.G. Zhang, L.S. Liu. Positive solutions of superlinear semipositone singular Dirichlet boundary value problems. J. Math. Anal. Appl. 316:525-537. 2006.13 X.G. Zhang, L.S. Liu and H.C. Zou. Eigenv