三角函數(shù)的應(yīng)用論文

1、三角函數(shù)的廣泛應(yīng)用摘要：三角函數(shù)在歷史長河的沉淀中，不僅是科學(xué)研究的重要組成部分，還是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中得重點難點，更是我們實際生活中不可缺少的元素。我從三角函數(shù)的發(fā)展以及生活實際應(yīng)用舉例兩方面來研究三角函數(shù)與實際生活的緊密聯(lián)系，突出三角函數(shù)應(yīng)用的廣泛性。關(guān)鍵詞：三角函數(shù) 三角函數(shù)的應(yīng)用經(jīng)過數(shù)學(xué)歷史的長河的沉淀，科學(xué)研究的進步，實際生活的操作。三角函數(shù)的實際應(yīng)用在生活中有著不可取代的地位。三角函數(shù)可以計算三角形（通常為直角三角形）中未知長度的邊和未知的角度，在導(dǎo)航系統(tǒng)，工程學(xué)以及物理學(xué)方面都有廣泛的用途；有許多周期現(xiàn)象可以用三角函數(shù)來模擬如物理中簡諧振動、交流電中的電流、潮汐等，都可以建立三角函數(shù)的模

2、型利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問題；很多最值問題都可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)來解決，如天氣預(yù)報、建筑設(shè)計、航海、測量、國防中都能找到神奇的三角函數(shù)的影子。一、 三角函數(shù)的形成與發(fā)展三角學(xué)由起源迄今差不多經(jīng)歷了三四千年之久的發(fā)展，現(xiàn)今使用的三角函數(shù)發(fā)展于歐洲的中世紀(jì)時期。在古代，由于古代天文學(xué)的需要，為了計算某些天體的運行行程問題，需要解一些球面三角形，在解球面三角形時，往往把解球面三角形的問題歸結(jié)成解平面三角形，這些問題的積累便形成了所謂古代球面三角學(xué)古代平面三角學(xué)。隨著認識到相似三角形在它們的邊之間保持相同的比率，就有了在三角形的邊的長度和三角形的角之間應(yīng)當(dāng)有某種標(biāo)準(zhǔn)的對應(yīng)的想法。就是說對于任何相似三

3、角形，（比如）斜邊和剩下的兩個邊的比率都是相同的。如果斜邊變?yōu)閮杀堕L，其他邊也要變?yōu)閮杀堕L。三角函數(shù)表達的就是這些比率。三角函數(shù)在數(shù)學(xué)中屬于初等函數(shù)里的超越函數(shù)的一類函數(shù)。它們本質(zhì)上是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。由于三角函數(shù)具有周期性，所以并不具有單射函數(shù)意義上的反函數(shù)。歐拉的無窮微量解析入門（Introduction in Analysis Infinite）（1748年）對建立三角函數(shù)在歐洲的分析處理做了最主要的貢獻，他定義三角函數(shù)為無窮級數(shù)，并表述了歐拉公式，還有使用接近現(xiàn)代的簡寫sin、cos.、tang.、cot.、sec.和cosec.。二、 三角函數(shù)與生活通訊電

4、纜鋪設(shè)問題ACDB如圖，一條河寬km，兩岸各有一座城市的直線距離是4km，今需鋪設(shè)一條電纜連與，已知地下電纜的修建費是2萬元/km，水下電纜的修建費是4萬元/km，假定河岸是平行的直線（沒有彎曲），問應(yīng)如何鋪設(shè)方可使總施工費用達到最少？分析：設(shè)電纜為時費用最少，因為河寬為定值，為了表示的長，不妨設(shè)解：設(shè)，則, 總費用為=問題轉(zhuǎn)化為求的最小值及相應(yīng)的值，而表示點與點斜率的2倍，有圖可得在單位圓周上運動，當(dāng)直線與圓弧切于點時，u取到最小值。此時， ， 。 即水下電纜應(yīng)從距B城（）km處向城鋪設(shè)，圖三因此此時總費用達最小值2+2（萬元）。注：本題在求u的最小值時，除了利用數(shù)結(jié)合的方法外，還可以利用三

5、角函數(shù)的有界性等方法。測量問題情景一：如圖，設(shè)A、B 兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點C測出A、C的距離是55m,BAC=51ACB=75，球A、B兩點的距離。分析：這是關(guān)于測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離的情景問題，情景中條件告訴了邊AB的對角AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個已知角算出AC的對角，應(yīng)用正弦定理算出AB邊。解：根據(jù)正弦定理，得所以A,B兩點間的距離為65.7米。情景二：某學(xué)校宏志班的同學(xué)們五一期間去雙塔寺觀賞牡丹，同時對文宣塔的高度進行了測量，如圖2，他們先在A處測得塔頂C的仰角為30；再向塔的方

6、向直行80步到達B處，又測得塔頂C的仰角為60，請用以上數(shù)據(jù)計算塔高。（學(xué)生的身高忽略不計，1步=0.8m，結(jié)果精確到1m）C圖2DAB分析：要求塔高CD，在RtBDC中求，CBD=60，需求BD或BC，因為DBC=A+BCA,所以BCA=30，所以BC=AB=80解：過C作CDAB于點D則CDA=90，A=30，CBD=60CBD=A+ACBA=ACB=30AB=80步，1步=0.8mBC=AB=80步=64m在RtBCD中，CD=BCsinCBD=6454（m）所以，文宣塔高約為54 m。航海危險區(qū)域預(yù)測問題一艘漁船正以30海里小時的速度由西向東追趕魚群，在A處看見小島C在船的北偏東600

7、方向，40分鐘后，漁船行至B處，此時看見小島C在船的北偏東300方向，已知以小島C為中心周圍10海里以內(nèi)為我軍導(dǎo)彈部隊軍事演習(xí)的著彈危險區(qū)，問這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群，是否有進入危險區(qū)域的可能？分析：此情景如圖例3可先找出小島C與航向(直線AB)的距離，再與10海里進行比較得出結(jié)論解：過C作AB的垂線CD交AB的延長線于點D ， ， 10 這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群不會進入危險區(qū)域足球射門問題GEPCFBAD在訓(xùn)練課上，教練問左前鋒，若你得球后，沿平行于邊線的直線助攻到前場（如圖，設(shè)球門寬米，球門柱到的距離米），那么你推進到距底線多少米時，為射門的最佳位置？（即射門角最大時為射門的最佳位置）？請

8、你幫助左前鋒回答上述問題。分析：情景中要求射門的最佳位置，即只要當(dāng)射門角最大時為最佳位置。所以設(shè)角后“求解角”的過程是本題的關(guān)鍵。若直接在非特殊中利用邊來求的最值，顯得比較繁瑣，注意到，而后兩者都在中，故可應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)求解。 解：如圖，設(shè)，, , =。若令，則=，當(dāng),即時，取到最小值，從而可知時，取得最大值，即時，有最大值。故當(dāng)點距底線為米時，為射門的最佳位置。依圖像知，在白天的915時這個時間段可供沖浪愛好者進行沖浪運動。通過生活中的例子我們可以體會到三角函數(shù)在生活中應(yīng)用之大。歷經(jīng)歷史長河的沉淀，三角函數(shù)不僅是科學(xué)研究的重要組成部分，還是實際生活應(yīng)用中不可缺少的。通過我們的研究，我們深深地體會到，身邊就有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)就在身邊，也可以體會到三角函數(shù)在生活中應(yīng)用之大。在設(shè)“角”求解的生活情景中一般涉及到角與邊之間的相互關(guān)系，對這類問題，一般可以利用三角函數(shù)的相關(guān)知識，如正弦、余弦定理、數(shù)形結(jié)合、三角函數(shù)的有界性、基本不等式、函數(shù)單調(diào)性等。參考文獻：1.陳上太.三角函數(shù)最小正周期的求法.數(shù)學(xué)教學(xué)研究J,1999,(1):26-28.2.董志立.三角函數(shù)求最值問題類型解法透析.希望月報J,2007,(8):110-111. 3.劉麗英.三角形中一類極值問題的解題基本思路及方法.中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊J,2009,(15):80-85.