一維擴(kuò)散方程

1、第三章 一維擴(kuò)散方程 本章討論一維擴(kuò)散方程。首先，從隨機(jī)過(guò)程中的一維擴(kuò)散方程的討論可直接得到擴(kuò)散方程的解。然后對(duì)非齊次和各類(lèi)邊值問(wèn)題相應(yīng)的擴(kuò)散方程作了討論。討論的方程類(lèi)型（1）直線上的齊次和非齊次擴(kuò)散方程：；（利用隨機(jī)過(guò)程的理論得到結(jié)論，再直接驗(yàn)證）；（算子方法，與常微分方程類(lèi)比）（2）半直線上的擴(kuò)散方程；（其它非齊次邊界等） 對(duì)擴(kuò)散方程理論方面的探討：最大（最小）值原理。由此證明方程解的唯一性和穩(wěn)定性。§3.1全直線上的擴(kuò)散方程首先討論隨機(jī)過(guò)程中的擴(kuò)散過(guò)程。設(shè)想粒子在一維直線上作連續(xù)隨機(jī)游動(dòng)（Brown運(yùn)動(dòng)），滿足性質(zhì)：在時(shí)間內(nèi)位移轉(zhuǎn)移概率為均值為0，方差為的正態(tài)分布。在時(shí)刻處于的

2、概率密度記為。則，或因此，?？梢?jiàn)：一維Brown運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)概率密度滿足擴(kuò)散方程。 從隨機(jī)過(guò)程的角度，可直接寫(xiě)出狀態(tài)概率密度：。所以，有如下定理。定理 擴(kuò)散方程的解為。證 由，易知初始條件成立：。且對(duì)函數(shù)，直接計(jì)算，有，所以，。即但與只差常數(shù)倍，故?！緀nd】對(duì)具有源的擴(kuò)散方程，可用常微分方程的結(jié)果類(lèi)比得到。常微分方程的解為?？梢园牙斫鉃橐粋€(gè)算子：把初始函數(shù)變換為一個(gè)新的函數(shù)。而齊次方程的解也可這樣理解：，定義了算子。只不過(guò)常微分方程中，直接可用一個(gè)函數(shù)給出該算子。非齊次常微分方程的解為，這里，為類(lèi)比得到偏微分方程的結(jié)果，用算子形式表示了結(jié)論。由此得到結(jié)論定理 直線上的非齊次擴(kuò)散方程的解為。證

3、直接驗(yàn)證結(jié)論。前一項(xiàng)顯然滿足齊次方程，即，而后一項(xiàng)，即所以，滿足方程。初始條件顯然也滿足：。因此，定理成立?！緀nd】 該方法是處理非齊次方程的一般方法。這里，來(lái)說(shuō)明如何用于非齊次波動(dòng)方程的求解。由于波動(dòng)方程關(guān)于時(shí)間是兩次的，所以不能直接用。但是注意到是下面波動(dòng)方程，的解，故定義算子，那么原來(lái)齊次波動(dòng)方程的解為，則非齊次的波動(dòng)方程的解為。注意到，即得結(jié)論。§3.3半直線上的擴(kuò)散方程類(lèi)似于波動(dòng)方程，利用延拓方法可討論邊值問(wèn)題的解。對(duì)特殊的Dirichlet問(wèn)題（邊界是齊次的），可用奇延拓方法來(lái)求解。奇延拓后的系統(tǒng)，其中，。該方程的解，因此，原方程的解，【end】對(duì)Neumann問(wèn)題（邊

4、界是齊次的），為保證函數(shù)在原點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零，必須使函數(shù)為偶函數(shù)，所以，采用偶延拓。延拓后的系統(tǒng)，其中，。該方程的解，因此，原方程的解為【end】 對(duì)半直線上的非齊次方程（齊次邊界）的Dirichlet問(wèn)題和Neumann問(wèn)題，仍可用奇延拓和偶延拓方法分別解決。對(duì)非齊次方程，非齊次邊界的Dirichlet問(wèn)題，則可利用疊加原理和函數(shù)變換方法，把問(wèn)題分解齊次邊界的相應(yīng)問(wèn)題求解。作函數(shù)變換：，則問(wèn)題成為其次邊界問(wèn)題。對(duì)非齊次方程（非齊次邊界）的Neumann問(wèn)題，則可作變換：，變?yōu)辇R次邊界的Neumann問(wèn)題，然后再用偶延拓方法求解。§3.2 一維擴(kuò)散方程最大（最小值）原理和解的唯一性和穩(wěn)定性

5、若函數(shù)滿足齊次擴(kuò)散方程，那么有下面結(jié)論。定理（最大值原理） 如果，則在矩形時(shí)空區(qū)域（）內(nèi)，函數(shù)的最大值只能在，在邊界或上取得。（最小值原理也類(lèi)似成立）證 這是閉區(qū)域上的二元函數(shù)的極值問(wèn)題，極值點(diǎn)可能是區(qū)域內(nèi)點(diǎn)，也可能在邊界上。定理結(jié)論是說(shuō)，極值點(diǎn)在特定的邊界上取到。極值在區(qū)域內(nèi)部取到是有必要條件的，即該點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)為零，而二階導(dǎo)數(shù)必須是半正定的。用反證法證明在矩形內(nèi)部不能取到極值。若在矩形內(nèi)取到極值，則，。此時(shí)，如果，則產(chǎn)生矛盾：。故只要證時(shí)，仍會(huì)產(chǎn)生矛盾。記邊界上函數(shù)的最大值是。構(gòu)造。下證：（如果證得此結(jié)論，則令即得定理的結(jié)果）。由于在邊界上，所以只要證不能在（1）矩形內(nèi)部；（2）矩形頂部：

6、取得最大值。（1）若在內(nèi)部有最大值，則。但，矛盾。（2）在矩形頂部，則，仍矛盾。所以定理結(jié)論成立?！緀nd】利用上述極值原理，可得到Dirichlet 問(wèn)題的唯一性和穩(wěn)定性。定理 如果擴(kuò)散方程解存在，則解必定唯一。證 如果和都是解，則是方程的解。由最大值原理，在矩形內(nèi)，即?！緀nd】 利用該原理還可得到方程解的穩(wěn)定性。定理 如果擴(kuò)散方程和的解分別為和，則。證 對(duì)直接利用極值原理。【end】第三章 習(xí)題1. 對(duì)滿足擴(kuò)散方程的函數(shù)，在矩形區(qū)域找出取到最大值和最小值的點(diǎn)和相應(yīng)的值。解 在上，顯然，處有最大值；而，處有最小值。在上，顯然，處有最大值；而，處有最小值。所以，最大值為，在處；最小值為，在處。2. 求擴(kuò)散方程的解的解，其中。（用積分形式表示）3. 求擴(kuò)散方程的解的解，其中。4. 求具有耗散的擴(kuò)散方程的解，。（提示：作函數(shù)變換）。5. 求