一維諧振子的本征值問題

1、一維諧振子的本征值問題姜羅羅贛南師范學(xué)院物理與電子信息科學(xué)系物理學(xué)專業(yè)2000級（2）班摘要：一維諧振子的本征值問題屬于定態(tài)問題。本文首先給出了一維諧振子本征值問題的Heisenberg 矩陣力學(xué)解法，Dirac算子代數(shù)解法和Schrödinger波動力學(xué)解法。在此基礎(chǔ)上，給出了一維半壁諧振子勢阱（壘）問題的解法。然后討論了相干態(tài)和壓縮態(tài)，它們是非經(jīng)典量子效應(yīng)，在超標(biāo)準(zhǔn)量子極限的高精度光學(xué)測量、超低噪光通信及量子通信領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景，是物理學(xué)研究前沿課題之一。最后從Dirac算子代數(shù)中求解出的本征態(tài)即諧振子的相干態(tài)，并由降算符與升算符、光子數(shù)與相位的最小不確定關(guān)系得出相干態(tài)和壓

2、縮態(tài)。關(guān)鍵詞：量子力學(xué)、一維諧振子、Heisenberg矩陣力學(xué)、算子代數(shù)解法、Schrödinger波動力學(xué)、一維半壁諧振子勢阱（壘）、相干態(tài)、壓縮態(tài)。在量子力學(xué)中諧振子不僅是說明量子力學(xué)基本原理和方法的一個很好的例子，而且任何體系在平衡位置附近的小振動，例如:分子的振動，原子核輻射場及其他玻色場的振動等，在選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)后，常?？梢苑纸鉃槿舾杀舜霜毩⒌囊痪S諧振子振動.1925年Heisenberg發(fā)現(xiàn)矩陣力學(xué)，1926年Schrödinger創(chuàng)立波動力學(xué)，同時，Dirac創(chuàng)立在數(shù)學(xué)上更為一般的理論.可包括矩陣及波動兩種形式.一維諧振子的能力本征值問題，在歷史上首先為He

3、isenberg的矩陣力學(xué)解決，后來用算子代數(shù)的方法給出了極漂亮的解，一般的教材只給定了波動力學(xué)的解法.自1963年，Glauber等人提出諧振子相干態(tài)以后，相干態(tài)和壓縮態(tài)以其特有的最小不確定性和超完備性備受人們的關(guān)注，被廣泛應(yīng)用于量子光學(xué)等領(lǐng)域。一維諧振子的本征值問題屬于定態(tài)問題。本文首先給出了一維諧振子本征值問題的Heisenberg 矩陣力學(xué)解法，Dirac算子代數(shù)解法和Schrödinger波動力學(xué)解法。在此基礎(chǔ)上，給出了一維半壁諧振子勢阱（壘）問題的解法。然后討論了相干態(tài)和壓縮態(tài)，它們是非經(jīng)典量子效應(yīng)，在超標(biāo)準(zhǔn)量子極限的高精度光學(xué)測量、超低噪光通信及量子通信領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)

4、用前景，是物理學(xué)研究前沿課題之一。最后從Dirac算子代數(shù)中求解出的本征態(tài)即諧振子的相干態(tài)，并由降算符與升算符、光子數(shù)與相位的最小不確定關(guān)系得出相干態(tài)和壓縮態(tài)。1.矩陣力學(xué)解法取自然平衡位置為坐標(biāo)原點，并選原點為勢能零點，則一維諧振子勢V可表成 （）k為刻畫簡諧作用力強度的參數(shù).設(shè)諧振子質(zhì)量為，令 （）它是經(jīng)典諧振子的自然頻率，則一維諧振子的Hamilton量可表為 圖一維諧振子勢 (3)在能量表象中，由于 (4a) (4b)因此有 (5a) (5b)取表象的矩陣元，由于 (6)故有 (7a) (7b)由于矩陣的對角性， (7a)，(7b) 兩式中的矩陣乘法的取和消失了。且只是和 兩個未知量的

5、方程，與x，p的其它矩陣元無關(guān)，這是諧振子特性的體現(xiàn)，從而使得求解矩陣元大為簡化。得 (8)則有 ， (9) 不為零的矩陣元為 (10a) (10b)由(6)式得 (11)此式的解為 (12)由(10b)式可知，為滿足此條件應(yīng)有即 得 (13)則 ， =1，2 (14)2. Dirac算符算子代數(shù)解法2.1求解一維諧振子能量本征值由(3)式，采用自然單位，則 (15)因此H具有相空中的旋轉(zhuǎn)不變性，令 (16a) (16b)利用，容易得 (17)對H進行因式分解 (18)式中 (19)則，=0 (20)因為 (21) (22)所以為正定Hermite算符，亦為正定Hermite算符 設(shè) (23)

6、n為正數(shù)，表示的一個本征態(tài)，由(17)(18)式得 (24a) (24b) (25a) (25b)因此可知，若為的本征態(tài)，且本征值為n，則與也是的本征態(tài)，且本征值為n-1，n+1。由(25a)式可知是的本征態(tài)，從的某個本征態(tài)出發(fā)，逐次用降算符運算可得的一系列本征態(tài)， ， ， (26)相應(yīng)的本征值為 n， n-1， n-2， (27)因為為正定Hermite算符，它的所有本征值必須。設(shè)的最小本征值為，本征態(tài)為。故它的必須滿足 (28)由此可得 (29)即是的本征值，對應(yīng)本征值為=0，因此可記為。由(25b)式可知，也是的本征態(tài)，從 的最小本征值 =0對應(yīng)的本征態(tài)出發(fā)，逐次運用算符可得的全部本征態(tài)

7、， ， ， (30)相應(yīng)本征值為 0， 1， 2， (31)可以得 的歸一化本征態(tài) (32)它是的本征態(tài) (33)， n=0，1，2 (34)添上能量單位， ， n=0，1，2. (35)2.2求解波函數(shù)由(28)式 =0即得， (36)解得 (37)由歸一化條件得， (38)由(32)式得，即= (39)令，則(36)式可寫成: = (40)= (41) (42)易得=， 即n的奇偶性決定諧振子波函數(shù)的奇偶性。2.3 Hermite多項式的遞推關(guān)系 (43) (44)因此 (45) (46)由(45)(46)兩式得 (47)即 =得 (48)由(43)得= = (49)而 (50)由(49)

8、(50)兩式得 (51)2.4相干態(tài)與壓縮態(tài)2.4.1相干態(tài)由(24)式0。，不對易。又由(43)式，所以除n=0 以外，一般 不是的本征態(tài)。而且設(shè)的本征態(tài)為則必須包含所有的。設(shè) (52)滿足方程 (53)為本征值，利用式(43)，得= (54)即得 (55)以左乘上式，得 (56)利用正交歸一條件，得 (57)依次遞推，即得 (58)為歸一化常數(shù)，歸一化條件為=1 (59)由于 (60)所以 (61)通?？梢匀檎龑崝?shù)，即取 =0 ，這時= (62)此即為諧振子的相干態(tài)。在光學(xué)中，光子的產(chǎn)生和湮滅算符滿足玻色對易關(guān)系， (63) (64)引入正交振幅分量算符 (65a) (65b)和分別對應(yīng)

9、于電磁場的正交振幅和相位分量，其不確定性為 (66) (67)這種由 Heisenberg不確定性所限定的正交分量起伏稱之為電磁場的量子噪聲。當(dāng)時是最小測不準(zhǔn)態(tài)， 量值時，該態(tài)稱為相干態(tài)。理想的無量子噪聲的經(jīng)典光波在相空間中是一個點，它給出的跡是一個理想正弦電場，沒有任何不確定性，而相干態(tài)在x-p相空間起伏范圍是以相位矢量末端為圓心的一個圓。起伏圓中的點(x，p) 描繪出電場具有不依賴于時間的起伏。 2.4.2壓縮態(tài)電磁場另外兩個共扼參量，光子數(shù)和相位滿足以下不確定性關(guān)系: (68)相干光的光子數(shù)起伏的平方等于平均光子數(shù) (69)若< 則為強度壓縮態(tài)，若<則為相位壓縮態(tài)。對于相干態(tài)

10、，由于量子起伏的無規(guī)性，其強度差噪聲與強度的噪聲相等， 即 (70)對于具有強度量子關(guān)聯(lián)的生光束，若有< (71)則稱為強度差壓縮。以上三種壓縮性質(zhì)完全不同，但又相互聯(lián)系，從不同角度反映電磁場的非經(jīng)典性。3.波動方程解法由(3)式，Schrödinger方程為 (72)為簡單起見，引進無量綱參數(shù)， ， (73)。 (74)則方程(72)變成 (75)嚴(yán)格的諧振子勢是一個無限深阱(如圖1)粒子只存在束縛態(tài)，即 (76)任何有限的都是微分方程的常點，而是方程的非正則奇點，當(dāng)x 時，方程(72)可近似表成 (77)此時，波函數(shù)的漸近行為是 (78)其中不滿足邊條件(76)式，棄之，因

11、此令方程的一般解為 (79)代入(75)式得 (80)此即Hermite方程。由于是方程(75)的常點，在的鄰域(<)把展成Tailor級數(shù)，可以證明，只有當(dāng)， n=0，1，2， (81)時，方程(80)才有一個多項式解(Hermite多項式)。只有這樣的解代入式(79)，才能保證滿足 的邊條件(76)，因此只有條件(81)滿足時，才能求得物理上允許的解，將收集(81)代入式(74)，得諧振子能量本征值，n=0，1，2 (82)其次，我們來討論波函數(shù)，當(dāng)諧振子能量取式(82)的值時，方程(80)的一個解是Hermite 多項式 (另外一解是無窮級數(shù))最簡單的幾個Hermite多項式是=1

12、=2=4-2 =8-12 (83)利用正交公式 (84)得歸一化的諧振子波函數(shù)為， = ， (85) (86)4 。一維諧振子勢能量本征值問題4.1 半壁諧振子勢阱設(shè)一維勢場的形式為=，x>0 (87a) = ，x 0 (87b) 圖半壁諧振子勢阱我們稱之為半壁諧振子勢阱（如圖），利用類似求解諧振子方法，先求出勢阱中粒子的波函數(shù)為束縛態(tài)， x 0， (88a)， x>0 (88b)由(48)式的遞推關(guān)系可得 (89)又由(73)式=1可知 0 0 0 (90)不滿足波函數(shù)(88a)式。 由(73)式=0 又由于(89)式 則= =0 (91)滿足波函數(shù)(88a)式.故僅當(dāng)n=2+1

13、(=0，1，2.)才滿足波函數(shù)束縛條件所以波函數(shù)， ，>0 (92a) =0， 0 (92b)能量本征值:， =0，1，2 (93)4.2半壁諧振子勢壘設(shè)一維勢場的形式=，>0 (94a)=0，0 (94b)我們稱之為半壁諧振子勢壘(如圖3) 圖半壁諧振子勢壘把(94a)，(94b)兩式代入schrödinger方程得 (95a) (95b)得 (96a)= (96b)在=0處連續(xù)得 (97)在=0處連續(xù)，由于(51)式得 (98)因此波函數(shù)為，>0 (99a)= + ，0 (99b)能量本征值為 ， (100)5.討論通過以上演算，我們認(rèn)識到采用坐標(biāo)表象中求解定態(tài)

14、Schrödinger方程的方法，繁復(fù)而冗長，采用Heisenberg矩陣力學(xué)解法，在定態(tài)情況下，只需要知道一個體系的Hamilton量和對易關(guān)系便可確定它的全部性質(zhì)，但在實際問題的處理和計算中， Schrödinger波動力學(xué)遠(yuǎn)比Heisenberg矩陣力學(xué)便易，特別是在處理半壁諧振子勢情況下。而算符算子代數(shù)運算則集中了兩者的優(yōu)點，不僅給出了一維諧振子比較漂亮的解，而且極便捷地推導(dǎo)出諧振子的波函數(shù)Hermite多項式遞推關(guān)系。參考文獻 曾謹(jǐn)言.量子力學(xué) 卷I (第三版)M.北京:科學(xué)出版社，2000：109，730-734，453. 吳大猷.量子力學(xué)(甲部)M.北京:科學(xué)

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