一個(gè)雙列滾動(dòng)軸承的非線(xiàn)性平衡問(wèn)題的

1、一個(gè)雙列滾動(dòng)軸承的非線(xiàn)性平衡問(wèn)題的統(tǒng)一和簡(jiǎn)化處理。第1部分：滾動(dòng)軸承模型摘要：為了增加軸承-軸系統(tǒng)的剛度，軸通常被一系列的雙排滾動(dòng)軸承來(lái)支撐。隨著小工作量的多排滾動(dòng)軸承的出現(xiàn)，提出了一種綜合型的模型，這種模型能夠測(cè)定內(nèi)部的相互作用力。軸承套圈之間彈性形變量是用矩陣向量的形式來(lái)表示的。各種雙排滾子軸承類(lèi)型進(jìn)行了分析，如圓錐滾子軸承，圓柱滾子軸承，球面滾子軸承，調(diào)心球軸承，角接觸球軸承。應(yīng)考慮基本的內(nèi)部幾何形狀（包括內(nèi)部間隙）和載荷的影響（就初始軸向壓縮而言）。關(guān)鍵詞：雙列滾動(dòng)軸承，五個(gè)自由度，負(fù)荷分布，矩陣向量法符號(hào)：A 內(nèi)圈和外圈滾道的曲率中心之間的距離（m）ACBB 角接觸球軸承CRB 短圓

2、柱滾子軸承dm 節(jié)距圓直徑（m）D 滾動(dòng)體直徑（m）DB 背對(duì)背配置DF 面對(duì)面配置e 軸承列中滾子的慣性坐標(biāo)系原點(diǎn)之間的軸向距離E0 有效彈性模量（N/m2）Fx,Fy,Fz 軸承受到載荷的力分別沿X,Y,Z方向的分力(N)K 對(duì)于線(xiàn)接觸（定義單位長(zhǎng)度上）（N/m19/9）和點(diǎn)接觸(N/m3/2)在固定載荷下的位移L 滾動(dòng)體有效長(zhǎng)度（m）M 軸承傾覆矢量力矩n 冪指數(shù)依據(jù)接觸形勢(shì)而定，點(diǎn)接觸用3/2,線(xiàn)接觸用10/9n 單位向量q 接觸載荷強(qiáng)度（N/m）q 接觸載荷強(qiáng)度矢量Q 接觸載荷（N）Q 接觸載荷矢量ri 內(nèi)滾道曲率半徑（m）r 慣性坐標(biāo)系中的標(biāo)稱(chēng)位置矢量r 慣性坐標(biāo)系中的可替代位置矢

3、量R 從滾動(dòng)體保持架中心到軸承軸線(xiàn)的距離（m）SABB 調(diào)心球軸承SRB 球面滾柱軸承T 從滾動(dòng)體到慣性系的矩陣變換TRB 圓錐滾子軸承u 游隙(m)x 滾動(dòng)體軸向坐標(biāo)（m）（x,y,z） 滾動(dòng)體坐標(biāo)系（X,Y,Z） 軸承慣性坐標(biāo)系 接觸角（rad）p 軸向游隙/軸承一端壓緊（m）x,y,z 分別沿x,y,z方向的軸承相對(duì)線(xiàn)性位移(m) 軸承的位移向量 軸承套圈之間總的距離（m） 半圓錐滾子角度（rad） 軸承分別圍繞Y,Z方向的相對(duì)傾斜角度(rad) 外部替換到外部固定的變換矩陣 外圈滾道在滾子保持架中的位置矢量 曲率總和（m-1） 滾動(dòng)體的角位置(rad)腳注：a 軸向i 內(nèi)圈m 軸承列o

4、 外圈r 徑向s 軸承載荷矢量的組成部分1. 引言在一些機(jī)械應(yīng)用領(lǐng)域雙列滾子軸承被使用，例如齒輪箱，機(jī)床主軸或者一些旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)中，了解滾動(dòng)體之間的載荷分布，以及載荷是隨著單個(gè)滾動(dòng)體長(zhǎng)度的變化而變化的這種理論是十分重要的。這就要考慮滾動(dòng)體滾道的接觸負(fù)荷變形和軸承平衡方程的非線(xiàn)性問(wèn)題了。滾動(dòng)體的平衡問(wèn)題已經(jīng)成為許多研究人員和設(shè)計(jì)師研究的主題，有關(guān)滾動(dòng)體的文獻(xiàn)中提供了三種確定軸承內(nèi)部載荷分布的方式：方式1：當(dāng)軸承套圈之間的載荷分布能夠分析時(shí)，就總的方法來(lái)說(shuō)第一種方法應(yīng)是一個(gè)整體的處理方式。基于這種方式，基于這一方法，Stribeck把對(duì)滾動(dòng)軸承的機(jī)械相互作用（只有徑向加載）理論研究追溯至1907年。之

5、后，Harris1用Sjovall的積分思想分析了滾動(dòng)軸承在兩個(gè)自由度上承載的問(wèn)題。最近，Houpert3已經(jīng)豐富了Harris的研究成果，這種成果是單列球和滾子在五個(gè)自由度上的承載問(wèn)題，把數(shù)據(jù)輸入電腦這種方式能夠完全替代真正的實(shí)驗(yàn)。方式2：在第二種方式中，獨(dú)特的相互配合和每一個(gè)滾動(dòng)體滾道赫茲接觸剛度都要考慮到。每一個(gè)軸承中滾動(dòng)體的位置與滾柱軸承上三個(gè)任意的滾子和球軸承上任意兩個(gè)球相聯(lián)系的。換句話(huà)說(shuō)，這種方式要求我們采用3Z來(lái)補(bǔ)充滾柱軸承的未知滾動(dòng)體，對(duì)于球軸承要采用2Z來(lái)補(bǔ)充，其中Z是滾動(dòng)體的個(gè)數(shù)。許多已經(jīng)致力于分析程序發(fā)展的研究是以這種方式為基礎(chǔ)的?？紤]到內(nèi)圈五個(gè)相對(duì)位移Liu4提出了很好

6、的分析方法用來(lái)推導(dǎo)圓出錐滾子軸承的平衡分析方法。DeMuletal5,6豐富和發(fā)展了Liu的球和滾子軸承的模型。這些工作者為滾動(dòng)體和軸承確定了雅克比矩陣。最近以來(lái)，Bourdonetal7,8為軸承的靜態(tài)非線(xiàn)性特性提出了一種普遍的理論方法。這種方式把軸承的每一個(gè)滾動(dòng)體定義一個(gè)元件（有限元分析）作為主要組成部分。使用這種方法開(kāi)發(fā)的模型是相當(dāng)精密的，并且每個(gè)套圈和滾動(dòng)體都需要三個(gè)平衡方程來(lái)確定。方式3：第三個(gè)方式是最高效的方式，這種方式以同時(shí)求解出每一個(gè)滾動(dòng)體（包括保持架）的六個(gè)動(dòng)態(tài)方程為主要部分，這種方式是由Gupta9實(shí)現(xiàn)的，但是幾乎大多精密的方式都要求大量的計(jì)算機(jī)運(yùn)作和復(fù)雜的數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行數(shù)據(jù)分

7、析。這種方法對(duì)單列滾動(dòng)體的進(jìn)一步研究是最適合的，這種方法獨(dú)立于軸承的工作環(huán)境。在以前的研究的基礎(chǔ)上，這篇論文提出了一種新的通用理論方法，這種方法適用于在所有形式的雙列滾動(dòng)軸承中模化的靜態(tài)機(jī)械作用。這種模型綜合了上面方式1和2所呈現(xiàn)的理論。因此，這種理論的構(gòu)想可以分成兩部分：首先，所有的（套圈之間的總的計(jì)算方法）幾何相互作用能用矢量和矩陣的方式確切地闡述。其次，正常觸點(diǎn)壓力只能通過(guò)其中一個(gè)套圈的平衡方程來(lái)估算（換句話(huà)說(shuō)就是內(nèi)圈或外圈）。使用赫茲彈性接觸理論這種傳統(tǒng)的方法是為了表示接觸載荷與位移的關(guān)系。對(duì)于一個(gè)滾子軸承而言，目前的分析對(duì)滾子和滾道的輪廓修正線(xiàn)（無(wú)修正）或更復(fù)雜的輪廓線(xiàn)（鼓形，對(duì)數(shù)型

8、等）是有效的，自從切片技術(shù)被用來(lái)測(cè)定接觸壓力分布和相關(guān)的彈性撓度。一個(gè)簡(jiǎn)單的直線(xiàn)輪廓對(duì)于預(yù)測(cè)軸的撓度是足夠的，但是可能導(dǎo)致最大水平應(yīng)力的低估，這種低估發(fā)生在受災(zāi)最劇烈的滾動(dòng)體的力矩載荷端部，正如以前的研究所顯示的那樣，例如Ioannouetal10。在這種方式下，由于每一個(gè)滾動(dòng)體精確的平衡被打破，使得計(jì)算時(shí)間變得有限。2. 幾何參數(shù)雙列滾動(dòng)軸承的有以下幾種形式：(a) 圓錐滾子軸承（TRBs），(b) 圓柱滾子軸承（CRBs），(c) 調(diào)心滾子軸承（SRBs），(d) 調(diào)心球軸承（SABBs），(e) 角接觸球軸承（ACBBs）。用來(lái)分析軸承的主要參數(shù)包括滾動(dòng)體的直徑D和滾動(dòng)軸承滾動(dòng)體的有效長(zhǎng)

9、度L，滾動(dòng)體的數(shù)量，Z，節(jié)距圓直徑dm，滾道溝曲率半徑ri和ro，接觸角和徑向游隙u。3. 套圈之間的總的相對(duì)方式用矢量和矩陣來(lái)描述滾動(dòng)體之間的位移分布。為了方便計(jì)算引入以下坐標(biāo)系統(tǒng)：(1) 以?xún)?nèi)圈的軸線(xiàn)作為慣性坐標(biāo)系(X,Y,Z)的一個(gè)軸線(xiàn)，并且坐標(biāo)原點(diǎn) 與軸承中心重合；(2) 兩個(gè)局部坐標(biāo)系(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)各自附屬于1列和2列滾動(dòng)體的幾何中心，除了每一個(gè)圓錐滾子因?yàn)樽鴺?biāo)系的原點(diǎn)相當(dāng)于滾動(dòng)體中截面的中心。所有的坐標(biāo)系都是右手系的。通常，人們認(rèn)為滾動(dòng)軸承的外載荷是由內(nèi)圈承受的，從而可以把外圈固定在空間方便地對(duì)軸承進(jìn)行平衡分析。通常情況下，軸承在五個(gè)自由度方向上受載：三

10、個(gè)沿坐標(biāo)軸方向的力Fx,Fy和Fz，還有兩個(gè)傾覆力矩My,和Mz。因此，內(nèi)圈的運(yùn)動(dòng)通過(guò)線(xiàn)性位移x,y和z還有旋轉(zhuǎn)角度和來(lái)表示。當(dāng)內(nèi)圈固定不動(dòng)并且外圈有沿X,Y,Z方向的位移(-，-，-，-，-)時(shí)，滾動(dòng)體之間的機(jī)械作用基本上是相同的。 承載能力和對(duì)齊方式 無(wú) 低 中 高 圖.1 雙列滾動(dòng)軸承受力分析和相對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系統(tǒng)(a)圓錐滾子軸承（背對(duì)背）(b) 圓錐滾子軸承（面對(duì)面）(c)圓柱滾子軸承(d)調(diào)心滾子軸承(e)角接觸球軸承(f)調(diào)心球軸承首先，正如圖1所表示，與決定套圈之間研究方式相聯(lián)系的矢量和矩陣將被引用于雙列滾動(dòng)軸承的大部分型號(hào)。外滾道接觸點(diǎn)的位置用位置矢量符號(hào)ro來(lái)表示名義上的位置，

11、用ro表示位移矢量，在慣性系統(tǒng)中用(X,Y,Z)表示向量。軸承套圈之間總的(變形)分析方法現(xiàn)在能夠表示為如下： （1）在上述公式中下標(biāo)o和m分別表示外滾道和軸承列（m=1指左邊的那一列，m=2指右邊的那一列）而nom表示與套圈和滾子接觸面垂直的單位矢量，如圖2所示。圖.2 外圈和滾動(dòng)體的相互作用對(duì)于外滾道上的一個(gè)接觸點(diǎn)，它的位置矢量ro是通過(guò)坐標(biāo)(X,Y,Z)表示的，如下所示： (2)在上式中代表外圈的位移矢量，表示外圈的轉(zhuǎn)動(dòng)變換矩陣。對(duì)于相同的接觸點(diǎn)標(biāo)稱(chēng)位置矢量可以用慣性坐標(biāo)系中的(X,Y,Z)表示為如下： (3)在上式中是慣性系中滾子的坐標(biāo)系統(tǒng)原點(diǎn)的位置矢量；矢量的位置由滾子坐標(biāo)系的(xm

12、,ym,zm)確定，其中m=1或2，滾子從外滾道進(jìn)入接觸狀態(tài)。是從坐標(biāo)系 (xm,ym,zm)到(X,Y,Z)的轉(zhuǎn)換矩陣。通過(guò)方程式(1)和(3)的聯(lián)合，總的相關(guān)分析方式（或變形）能通過(guò)以下方式獲得 (4)依據(jù)圖1給出的每個(gè)滾動(dòng)體的各種形式，給出矢量，和還有轉(zhuǎn)換矩陣和如下。3.1 定義向量 （5）在上式中表示各列軸承之間的初始軸向擠壓力；系數(shù)c1和c2依據(jù)軸承的型號(hào)而定，對(duì)于TRBs, ACBBs和 SRBs c1=1對(duì)于CRBs c1=0對(duì)于CRBs, ACBBs 和 SRBs c2=0對(duì)于 TRBs (DB) c2=1對(duì)于TRBs (DF) c2=1（在最后兩個(gè)中左邊一列用大寫(xiě)字母，右邊一

13、列用小寫(xiě)字母。） (6)R指的是滾動(dòng)體原點(diǎn)到軸承軸心的距離，指的是滾動(dòng)體的位置角，系數(shù)c3與符號(hào)m有關(guān)系。所以，對(duì)于左邊的一列c3=-1（此時(shí)m=1），對(duì)于右邊的一列c3=1（此時(shí)m=2）。 (7)D表示圓錐滾子軸承滾子的二次平均直徑，調(diào)心滾子軸承滾子的最大直徑，圓柱滾子軸承、角接觸球軸承和調(diào)心球軸承的滾動(dòng)體的直徑。x是沿著軸向的坐標(biāo)長(zhǎng)度，e表示圓錐滾子圓錐角的一半(對(duì)于其他的軸承，e=0)(見(jiàn)圖.1)。 (8)系數(shù)c4依據(jù)軸承列的形勢(shì)而變化；因此，對(duì)于角接觸球軸承和反裝的圓錐滾子軸承c4=1,對(duì)于調(diào)心球軸承、調(diào)心滾子軸承和正裝的圓錐滾子軸承c4=-1。對(duì)于圓柱滾子軸承接觸角為零，等式(8)中

14、已經(jīng)不用依靠系數(shù)c3和c4了。3.2 矩陣的定義運(yùn)用小角度的近似計(jì)算，把由于錯(cuò)位引起的轉(zhuǎn)換矩陣表示為如下 (9)從每一列的滾動(dòng)體系統(tǒng)到慣性坐標(biāo)系統(tǒng)的變換矩陣可以定義為如下 (10)把等式 (5)代入等式(10)得到的新等式，再代入等式(4)推導(dǎo)出了滾道之間的分析方法的通式如下： (11)在上式中a和b幾何參數(shù)，它們依據(jù)軸承的結(jié)構(gòu)形式而定： (12)對(duì)于給定的不同結(jié)構(gòu)形式的軸承，列舉方程(11)中的幾何參數(shù)如下： (13) (14)記，為合成方式，為錯(cuò)位的總的影響，用給出的和表示如下： (15a) (15b) (15c) (15d)現(xiàn)在等式(11)可以寫(xiě)成如下： (16)對(duì)于在中平面上的滾道之間

15、總的分析方法(x=0)： (17)3.3 初始游隙通常雙列滾動(dòng)軸承裝配后有一定的間隙?？紤]到初始游隙在計(jì)算方法上的影響，在方程(11)到方程(17)中建立的置換方式必須與每一個(gè)軸承的結(jié)構(gòu)形式相適應(yīng)。除了圓柱滾子軸承，其他軸承的徑向游隙ur與軸向游隙ua是有聯(lián)系的。對(duì)于圓錐滾子軸承、角接觸球軸承、調(diào)心滾子軸承和調(diào)心球軸承而言，只有當(dāng)軸向游隙突然消失，局部的彈性接觸變形才可能發(fā)生。對(duì)于圓柱滾子軸承而言，當(dāng)徑向游隙發(fā)生改變時(shí)，它的局部彈性接觸變形才發(fā)生。依據(jù)不同軸承的工作形式，其內(nèi)部游隙的表示由等式(11)可以得出如下等式：圓錐滾子軸承、角接觸球軸承、調(diào)心滾子軸承和調(diào)心球軸承的游隙表示方法是 (18

16、)圓柱滾子軸承游隙的表示式為 (19)圓柱滾子軸承的接觸角為零，其游隙只影響在滾道之間總的距離的徑向組成部分上。4. 集中接觸靜載荷當(dāng)套圈之間總距離確定時(shí)，對(duì)于干接觸下的接觸載荷能夠通過(guò)赫茲彈性理論進(jìn)行估算如下： (20)在上式中指數(shù)n依據(jù)接觸形式的不同發(fā)生變化11( 線(xiàn)接觸n=10/912，點(diǎn)接觸n=3/2)，k是總的剛度系數(shù)Harris 11給出了其表達(dá)式如下： (21)其中，Ki和Ko各自代表內(nèi)圈和外圈的滾子接觸剛度系數(shù)。根據(jù)國(guó)際單位制(牛頓米)，線(xiàn)接觸軸承的剛度系數(shù)正如Palmgren 12所描述的那樣可以被估算出來(lái)： (22)式中的L是接觸長(zhǎng)度，是有效彈性模數(shù)。就點(diǎn)接觸而言，Harr

17、is 11給出了剛度系數(shù)的表示方法： (23)式中是在接觸點(diǎn)的曲率和，是Harris 11給出的一個(gè)描述接觸變形的無(wú)量綱的數(shù)，作為曲率函數(shù)的一部分。就角接觸球軸承和滾子軸承而言，Harris 11論述了等式(23)中 K隨著接觸角度的變化而變化的問(wèn)題。5. 確立軸承平衡方程一旦確定了接觸力，靜態(tài)平衡方程就能通過(guò)慣性坐標(biāo)系中的(X，Y，Z)來(lái)表示。因?yàn)檩S承外載荷一般都在五個(gè)自由度上受載，這些力和力矩可以用，和表示。這樣點(diǎn)接觸和線(xiàn)接觸軸承的平衡方程都可以寫(xiě)出來(lái)了。5.1點(diǎn)接觸軸承平衡方程以x1，x2，x3，為矢量基準(zhǔn)，是滾子沿著外圈滾動(dòng)的觸點(diǎn)壓力為： (24)(X，Y，Z)慣性坐標(biāo)系原點(diǎn)周?chē)膬A覆

18、力矩為; (25)因此外圈的平衡方程可以寫(xiě)成： (26)方程中的F來(lái)自于下式：， 其中，通過(guò)運(yùn)用充分的有價(jià)值的系數(shù)c3和c4，平衡方程能夠很容易的適應(yīng)與方程(28)比較有點(diǎn)接觸的（角接觸球軸承、調(diào)心滾子軸承或調(diào)心球軸承）不同形式的軸承。任何滾動(dòng)體位置處的工作接觸角在附錄中都給出了。5.2線(xiàn)接觸軸承的平衡方程對(duì)于線(xiàn)接觸的軸承（圓柱滾子軸承或圓錐滾子軸承），它的接觸載荷矢量Qm與點(diǎn)接觸軸承的確定方式有相同的部分，但是指數(shù)n變成了10/9。對(duì)于圓錐滾子軸承它的傾覆力矩是繞著慣性坐標(biāo)系(X，Y，Z)的原點(diǎn)，可以表示為： (27)式中q表示接觸載荷劇烈程度的矢量記： (28)把等式(28)代入等式(27)中得到如