n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布

1、 備考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念2.理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，并能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.相互獨(dú)立事件、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率求法是每年高考的熱點(diǎn)，特別是相互獨(dú)立事件、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及二項(xiàng)分布的綜合更是高考命題的重中之重，如2012年山東T19等.歸納·知識(shí)整合1條件概率及其性質(zhì)條件概率的定義條件概率的性質(zhì)設(shè)A、B為兩個(gè)事件，且P(A)>0，稱P(B|A)為在事件A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率(1)0P(B|A)1(2)如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(BC|A)P(B|A)P(C|A)2.事件的相互獨(dú)立性(1)定義：

2、設(shè)A、B為兩個(gè)事件，如果P(AB)P(A)·P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立(2)性質(zhì)：若事件A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)P(B)，P(A|B)P(A)，P(AB)P(A)P(B)如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與，與B，與也相互獨(dú)立探究1.“相互獨(dú)立”和“事件互斥”有何不同？提示：兩事件互斥是指兩事件不可能同時(shí)發(fā)生，兩事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響，兩個(gè)事件相互獨(dú)立不一定互斥3獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)二項(xiàng)分布定義在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率

3、是p，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作XB(n，p)，并稱p為成功概率計(jì)算公式Ai(i1,2，n)表示第i次試驗(yàn)結(jié)果，則P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(An)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(Xk)Cpk(1p)nk(k0，1,2，n)探究2.二項(xiàng)分布的計(jì)算公式和二項(xiàng)式定理的公式有何聯(lián)系？提示：如果把p看成a,1p看成b，則Cpk(1p)nk就是二項(xiàng)式定理中的通項(xiàng)自測(cè)·牛刀小試1若事件E與F相互獨(dú)立，且P(E)P(F)，則P(EF)的值等于()A0B.C. D.解析：選BEF代表E與F同時(shí)發(fā)生，故P(EF)P(E)·P(F).2已知P(B|

4、A)，P(AB)，則P(A)等于()A. B.C. D.解析：選C由P(AB)P(A)P(B|A)可得P(A).3有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.9，在兩批種子中各取一粒，則恰有一粒種子能發(fā)芽的概率是()A0.26 B0.08C0.18 D0.72解析：選AP0.8×0.10.2×0.90.26.4擲一枚不均勻的硬幣，正面朝上的概率為，若將此硬幣擲4次，則正面朝上3次的概率是_解析：設(shè)正面朝上X次，則XB，P(X3)C31.答案：5某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的條件下，則他在周六晚上值班的概率為_解析：設(shè)事件A為“周日值班”，事件B為“周六值班”，則

5、P(A)，P(AB)，故P(B|A).答案：條件概率例1(1)甲、乙兩地都位于長(zhǎng)江下游，根據(jù)天氣預(yù)報(bào)的記錄知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，兩市同時(shí)下雨占12%.則甲市為雨天，乙市也為雨天的概率為()A0.6B0.7C0.8 D0.66(2)市場(chǎng)上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠產(chǎn)品占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率是80%，則從市場(chǎng)上買到一個(gè)是甲廠生產(chǎn)的合格燈泡的概率是_自主解答(1)甲市為雨天記為事件A，乙市為雨天記為事件B，則P(A)0.2，P(B)0.18，P(AB)0.12，故P(B|A)0.6.(2)記A“甲廠產(chǎn)品”，B“合格產(chǎn)品”，則P(A)0.7

6、，P(B|A)0.95.故P(AB)P(A)·P(B|A)0.7×0.950.665.答案(1)A(2)0.665在本例2中條件改為“甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，其中60%為一級(jí)品”，求甲廠產(chǎn)品中任選一件為一級(jí)品的概率解：設(shè)甲廠產(chǎn)品合格為事件A，一級(jí)品為事件B，則甲廠產(chǎn)品中任一件為一級(jí)品為AB，所以P(AB)P(A)P(B|A)95%×60%0.57. 條件概率的求法(1)定義法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)求P(B|A)；(2)基本事件法：借古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)

7、.1在5道題中有3道理科題和2道文科題如果不放回地依次抽取2道題，求：(1)第1次抽到理科題的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科題的概率；(3)在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率解：設(shè)第1次抽到理科題為事件A，第2次抽到理科題為事件B，則第1次和第2次都抽到理科題為事件AB.(1)從5道題中不放回地依次抽取2道的事件數(shù)為n()A20；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，n(A)A×A12；于是P(A).(2)因?yàn)閚(AB)A6，所以P(AB).(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率P(B|A).法二：因?yàn)閚(AB)6，n(A)12，所以

8、P(B|A).相互獨(dú)立事件的概率例2某果園要用三輛汽車將一批水果從所在城市E運(yùn)至銷售城市F，已知從城市E到城市F有兩條公路統(tǒng)計(jì)表明：汽車走公路堵車的概率為，不堵車的概率為；走公路堵車的概率為，不堵車的概率為，若甲、乙兩輛汽車走公路，第三輛汽車丙由于其他原因走公路運(yùn)送水果，且三輛汽車是否堵車相互之間沒有影響(1)求甲、乙兩輛汽車中恰有一輛堵車的概率；(2)求三輛汽車中至少有兩輛堵車的概率自主解答記“汽車甲走公路堵車”為事件A，“汽車乙走公路堵車”為事件B.“汽車丙走公路堵車”為事件C.(1)甲、乙兩輛汽車中恰有一輛堵車的概率為P1P(A·)P(·B)××.

9、(2)甲、乙、丙三輛汽車中至少有兩輛堵車的概率為P2P(A·B·)P(A··C)P(·B·C)P(A·B·C)××××××××.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法(1)利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面計(jì)算較繁或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事件入手計(jì)算2紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A、B、C進(jìn)行圍棋比賽，甲對(duì)A、乙對(duì)B、丙對(duì)C各一盤，已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5.假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立(1)求

10、紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率；(2)求紅隊(duì)隊(duì)員獲勝總盤數(shù)為1的概率解：(1)設(shè)甲勝A為事件D，乙勝B為事件E，丙勝C為事件F，則，分別表示事件甲不勝A、事件乙不勝B、事件丙不勝C.因?yàn)镻(D)0.6，P(E)0.5，P(F)0.5，由對(duì)立事件的概率公式知P()0.4，P()0.5，P()0.5.紅隊(duì)至少兩人獲勝的事件有：DE，DF，EF，DEF.由于以上四個(gè)事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，因此紅隊(duì)至少兩人獲勝的概率為PP(DE)P(DF)P(EF)P(DEF)0.6×0.5×0.50.6×0.5×0.50.4×0.5×0.50.6

11、×0.5×0.50.55.(2)由題意知可能的取值為0,1,2,3.又由(1)知D EF、E、D是兩兩互斥事件，且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立P(1)P(F)P(E)P(D)0.4×0.5×0.50.4×0.5×0.50.6×0.5×0.50.35.即紅隊(duì)隊(duì)員獲勝1盤的概率為0.35.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布例3甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床加工的零件是一等品的概率分別為0.7、0.6、0.8，乙、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件數(shù)相等，甲機(jī)床加工的零件數(shù)是乙機(jī)床加工的零件數(shù)的二倍(1)從甲、乙、丙

12、三臺(tái)機(jī)床加工的零件中各取一件檢驗(yàn)，求至少有一件一等品的概率；(2)將甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床加工的零件混合到一起，從中任意地抽取一件檢驗(yàn)，求它是一等品的概率；(3)將甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床加工的零件混合到一起，從中任意地抽取4件檢驗(yàn)，其中一等品的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列自主解答(1)設(shè)從甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床加工的零件中任取一件是一等品分別為事件A，B，C，則P(A)0.7，P(B)0.6，P(C)0.8.所以從甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床加工的零件中各取一件檢驗(yàn)，至少有一件一等品的概率為P11P()P()P()10.3×0.4×0.20.976.(2)將甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床加工的零件混合到一起，從

13、中任意地抽取一件檢驗(yàn)，它是一等品的概率為P20.7.(3)依題意抽取的4件樣品中一等品的個(gè)數(shù)X的可能取值為0,1,2,3,4，則P(X4)C×0.740.2401，P(X3)C×0.3×0.730.4116，P(X2)C×0.32×0.720.2646，P(X1)C×0.33×0.70.0756，P(X0)C×0.340.0081.X的分布列為：X43210P0.24010.41160.26460.07560.0081二項(xiàng)分布滿足的條件(1)每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率是相同的(2)各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的(3)

14、每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生(4)隨機(jī)變量是這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)3如圖，一圓形靶分成A，B，C三部分，其面積之比為112.某同學(xué)向該靶投擲3枚飛鏢，每次1枚假設(shè)他每次投擲必定會(huì)中靶，且投中靶內(nèi)各點(diǎn)是隨機(jī)的(1)求該同學(xué)在一次投擲中投中A區(qū)域的概率；(2)設(shè)X表示該同學(xué)在3次投擲中投中A區(qū)域的次數(shù)，求X的分布列；(3)若該同學(xué)投中A，B，C三個(gè)區(qū)域分別可得3分，2分，1分，求他投擲3次恰好得4分的概率解：(1)設(shè)該同學(xué)在一次投擲中投中A區(qū)域的概率為P(A)，依題意，P(A).(2)依題意識(shí)，XB，從而X的分布列為：X0123P(3)設(shè)Bi表示事件“第i次擊中目標(biāo)時(shí)

15、，擊中B區(qū)域”，Ci表示事件“第i次擊中目標(biāo)時(shí)，擊中C區(qū)域”，i1,2,3.依題意知PP(B1C2C3)P(C1B2C3)P(C1C2B3)3×××.1個(gè)技巧抓住關(guān)鍵詞求解相互獨(dú)立事件的概率在應(yīng)用相互獨(dú)立事件的概率公式時(shí)，要找準(zhǔn)關(guān)鍵字句，對(duì)含有“至多有一個(gè)發(fā)生”，“至少有一個(gè)發(fā)生”，“恰有一個(gè)發(fā)生”的情況，要結(jié)合對(duì)立事件的概率求解1個(gè)明確明確常見詞語的含義解題過程中要明確事件中“至少有一個(gè)發(fā)生”“至多有一個(gè)發(fā)生”“恰有一個(gè)發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞的意義已知兩個(gè)事件A，B，則(1)A，B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件為AB；(2)A，B都發(fā)生的事件為AB

16、；(3)A，B都不發(fā)生的事件為 ；(4)A，B恰有一個(gè)發(fā)生的事件為AB；(5)A，B至多一個(gè)發(fā)生的事件為AB .易誤警示獨(dú)立事件概率求法中的易誤點(diǎn)典例(2012·珠海模擬)某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是，且各次射擊的結(jié)果互不影響(1)假設(shè)這名射手射擊5次，求恰有2次擊中目標(biāo)的概率；(2)假設(shè)這名射手射擊5次，求有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2次未擊中目標(biāo)的概率；(3)假設(shè)這名射手射擊3次，每次射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分，在3次射擊中，若有2次連續(xù)擊中，而另外1次未擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加3分，記為射手射擊3次后的總的分?jǐn)?shù)，求的分布列解(1)設(shè)X為射手在5次射擊

17、中目標(biāo)的次數(shù)，則XB.在5次射擊中，恰有2次擊中目標(biāo)的概率為P(X2)C×2×3.(2)設(shè)“第i次射擊擊中目標(biāo)”為事件Ai(i1,2,3,4,5)；“射手在5次射擊中，有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2次未擊中目標(biāo)”為事件A，則P(A)P(A1A2A34 5)P(1A2A3A45)P(1 2A3A4A5)3×2×3×2×3.(3)由題意可知，的所有可能取值為0,1,2,3,6，P(0)P(123)3；P(1)P(A12 3)P(1A23)P(12A3)×2××2×.P(2)P(A12A3)×&

18、#215;，P(3)P(A1A23)P(1A2A3)2××2，P(6)P(A1A2A3)2，所以的分布列為：01236P1本題第(2)問因不明獨(dú)立事件與獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的區(qū)別，誤認(rèn)為是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，可導(dǎo)致求得PC3×2這一錯(cuò)誤結(jié)果；2本題第(2)問中因忽視連續(xù)三次擊中目標(biāo)，另外兩次未擊中導(dǎo)致分類不準(zhǔn)確；3正確區(qū)分相互獨(dú)立事件與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是解決這類問題的關(guān)鍵某中學(xué)在運(yùn)動(dòng)會(huì)期間舉行定點(diǎn)投籃比賽，規(guī)定每人投籃4次，投中一球得2分，沒有投中得0分，假設(shè)每次投籃投中與否是相互獨(dú)立的已知小明每次投籃投中的概率都是.(1)求小明在投籃過程中直到第三次才投中的概率；(2)求

19、小明在4次投籃后的總得分的分布列解：(1)設(shè)小明第i次投籃投中為事件Ai，則小明在投籃過程中直到第三次才投中的概率為PP()·P()·P(A3)××.(2)由題意知的可能取值為0,2,4,6,8，則P(0)4；P(2)C××3；P(4)C×2×2；P(6)C×3×；P(8)4.所以的分布列為：02468P一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1甲、乙兩人同時(shí)報(bào)考某一所大學(xué)，甲被錄取的概率為0.6，乙被錄取的概率為0.7，兩人是否被錄取互不影響，則其中至少有一人被錄取的概率為()A0.

20、12B0.42C0.46 D0.88解析：選D由題意知，甲、乙都不被錄取的概率為(10.6)·(10.7)0.12.故至少有一人被錄取的概率為10.120.88.2(2013·濟(jì)南模擬)位于直角坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P按下列規(guī)則移動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位，移動(dòng)的方向向左或向右，并且向左移動(dòng)的概率為，向右移動(dòng)的概率為，則質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)五次后位于點(diǎn)(1,0)的概率是()A. B.C. D.解析：選D依題意得，質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)五次后位于點(diǎn)(1,0)，則這五次移動(dòng)中必有某兩次向左移動(dòng)，另三次向右移動(dòng)，因此所求的概率等于C2·3.3(2013·荊州質(zhì)檢)已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布

21、B，即P(2)等于()A. B.C. D.解析：選D已知B，P(k)Cpkqnk，當(dāng)2，n6，p時(shí)，有P(2)C262.4從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件A“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)()A. B.C. D.解析：選BP(A)，P(AB).由條件概率計(jì)算公式，得P(B|A).5將一枚硬幣連擲5次，如果出現(xiàn)k次正面向上的概率等于出現(xiàn)k1次正面向上的概率，那么k的值為()A0 B1C2 D3解析：選C由Ck5kCk1·5k1，即CC，故k(k1)5，即k2.6某籃球隊(duì)員在比賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中至多命中一次的概率

22、為，則該隊(duì)員每次罰球的命中率為()A. B.C. D.解析：選A設(shè)該隊(duì)員每次罰球的命中率為p(其中0<p<1)，則依題意有1p2，p2.又0<p<1，因此有p.二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機(jī)抽取一粒，則這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率為_解析：設(shè)種子發(fā)芽為事件A，種子成長(zhǎng)為幼苗為事件B(發(fā)芽，又成活為幼苗)出芽后的幼苗成活率為：P(B|A)0.8，P(A)0.9.根據(jù)條件概率公式P(AB)P(B|A)·P(A)0.9×0.80.72，即這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率

23、為0.72.答案：0.728某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18、19、20層停靠若該電梯在底層載有5位乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為，用表示這5位乘客在第20層下電梯的人數(shù)，則P(4)_.解析：考察一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗(yàn)，這是5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故B，即有P(k)Ck×5k，k0,1,2,3,4,5.故P(4)C4×1.答案：9有一批書共100本，其中文科書40本，理科書60本，按裝潢可分精裝、平裝兩種，精裝書70本，某人從這100本書中任取一書，恰是文科書，放回后再任取1本，恰是精裝書，這一事件的概率是_解析：設(shè)“任取一書是文科書”的

24、事件為A，“任取一書是精裝書”的事件為B，則A、B是相互獨(dú)立的事件，所求概率為P(AB)據(jù)題意可知P(A)，P(B)，故P(AB)P(A)·P(B)×.答案：三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10在一次數(shù)學(xué)考試中，第21題和第22題為選做題規(guī)定每位考生必須且只須在其中選做一題設(shè)4名考生選做每一道題的概率均為.(1)求其中甲、乙兩名學(xué)生選做同一道題的概率；(2)設(shè)這4名考生中選做第22題的學(xué)生個(gè)數(shù)為，求的概率分布解：(1)設(shè)事件A表示“甲選做第21題”，事件B表示“乙選做第21題”，則甲、乙兩名學(xué)生選做同一道題的事件為“AB ”，且事件A、B相互獨(dú)立故P(A

25、B )P(A)P(B)P()P()××.(2)隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3,4，且B則P(k)Ck4kC4(k0,1,2,3,4)故變量的分布列為：01234P11下圖是某城市通過抽樣得到的居民某年的月均用水量(單位：噸)的頻率分布直方圖(1)求直方圖中x的值；(2)若將頻率視為概率，從這個(gè)城市隨機(jī)抽取3位居民(看作有放回的抽樣)，求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)X的分布列解：(1)依題意及頻率分布直方圖知，0.020.1x0.370.391，解得x0.12.(2)由題意知，XB(3,0.1)因此P(X0)C×0.930.729，P(X1)C×0.1

26、×0.920.243，P(X2)C×0.12×0.90.027，P(X3)C×0.130.001.故隨機(jī)變量X的分布列為：X0123P0.7290.2430.0270.00112“石頭、剪刀、布”是一種廣泛流傳于我國民間的古老游戲，其規(guī)則是：用三種不同的手勢(shì)分別表示石頭、剪刀、布；兩個(gè)玩家同時(shí)出示各自手勢(shì)1次記為1次游戲，“石頭”勝“剪刀”，“剪刀”勝“布”，“布”勝“石頭”；雙方出示的手勢(shì)相同時(shí)，不分勝負(fù)現(xiàn)假設(shè)玩家甲、乙雙方在游戲時(shí)出示三種手勢(shì)是等可能的(1)求出在1次游戲中玩家甲勝玩家乙的概率；(2)若玩家甲、乙雙方共進(jìn)行了3次游戲，其中玩家甲勝玩家乙的次數(shù)記作隨機(jī)變量X，求X的分布列解：(1)玩家甲、乙雙方在1次游戲中出示手勢(shì)的所有可能結(jié)果是：(石頭、石頭)；(石頭，剪刀)；(石