《無(wú)窮級(jí)數(shù)》練習(xí)題

1、無(wú)窮級(jí)數(shù)練習(xí)題1. 討論下列級(jí)數(shù)的斂散性：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）。2. 對(duì)級(jí)數(shù)，若，證明：時(shí)級(jí)數(shù)收斂，時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散。3. 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，證明：（1）收斂；（2）收斂。4. 設(shè)n充分大時(shí)，且收斂，證明：收斂。5. 設(shè)，討論級(jí)數(shù)的斂散性。6. 下列級(jí)數(shù)是否收斂？如收斂是絕對(duì)收斂還是條件收斂？（1）； （2）。7. 對(duì)常數(shù)，討論級(jí)數(shù)何時(shí)絕對(duì)收斂？何時(shí)條件收斂？何時(shí)發(fā)散？8. 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)減少，且發(fā)散，討論的斂散性。9. 設(shè)，（1）求的值；（2）討論的斂散性。10. 設(shè)冪級(jí)數(shù)在處條件收斂，求的收斂區(qū)間。11. 求級(jí)數(shù)的收斂域（1）； （2）； （3）。12. 求下列

2、級(jí)數(shù)的和：（1）； （2）； （3）； （4）。13. 求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)：（1） （2） （3）14. 利用冪級(jí)數(shù)展開式求導(dǎo)數(shù)：（1） （2）15. 求下列函數(shù)關(guān)于x 的冪級(jí)數(shù)展開式，并指出收斂域：（1）； （2）。16. 把展開為 的冪級(jí)數(shù)。答案：1：收斂；收斂；收斂；收斂；發(fā)散2，3，4：略。 5：。 6：條件收斂；條件收斂。7：條件收斂，發(fā)散。8：收斂。 9：1，收斂。 10： 11：時(shí)時(shí)，。12：。 13： ，14：，15（2） 16：，。無(wú)窮級(jí)數(shù)部分例題解答例1. 設(shè)數(shù)列滿足，若級(jí)數(shù)都收斂，證明：也收斂。 證：由知：； 再由都收斂，得收斂。根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法得收斂。所以 收

3、斂。例2. 設(shè)），討論級(jí)數(shù)的斂散性。解：級(jí)數(shù)收斂，證明如下：因?yàn)椋?由于 ，所以從而級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的和 + =即正項(xiàng)級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的和有界。所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂。例3 （1）討論級(jí)數(shù)的斂散性。 （2）證明：數(shù)列 收斂； （3）求。解： （1） 根據(jù)常用不等式 可知：，所以級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，由于故由比較判別法，得級(jí)數(shù)與同收斂。（2） 由于收斂，故前n項(xiàng)的和有極限，即 有極限，上式可變形為 ，所以數(shù)列 收斂；（3）例4 設(shè)級(jí)數(shù)條件收斂，極限存在，求r的值，并舉出滿足這些條件的例子。解：r = 1，證明如下：若，則，它說(shuō)明級(jí)數(shù)收斂，與條件收斂矛盾。若，則，它說(shuō)明級(jí)數(shù)發(fā)散，與條件收斂矛盾。若，則n充分大時(shí)，它說(shuō)明同號(hào)（同為正，或者同為負(fù)），級(jí)數(shù)收斂時(shí)就是絕對(duì)收斂，矛盾。綜上所述，r = 1。滿足這些條件的例子為： 例5 設(shè)k為常數(shù)，討論級(jí)數(shù)的斂散性，并在收斂時(shí)說(shuō)明是絕對(duì)收斂還是條件收斂。（PPT上題目與這里有出入，以這里為準(zhǔn)）解： 此時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；考慮 因?yàn)?，故由收斂得：收斂，?jí)數(shù)收斂；且是絕對(duì)收斂。故由發(fā)散得：發(fā)散，此時(shí)級(jí)數(shù)不是絕對(duì)收斂；由于顯然滿足： 根據(jù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼滋判別法知：級(jí)數(shù)收斂；且是條件收斂。級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的和 = 即正項(xiàng)級(jí)數(shù)前n項(xiàng)