AHP層次分析法

1、層次分析法層次分析法(Theanalytichierarchyprocess,簡(jiǎn)稱AHP,也稱層級(jí)分析法什么是層次分析法層次分析法(Theanalytichierarchyprocess)簡(jiǎn)稱AHP在20世紀(jì)70年代中期由美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家托馬斯塞蒂(T.L.Saaty)正式提出。它是一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法。由于它在處理復(fù)雜的決策問題上的實(shí)用性和有效性，很快在世界范圍得到重視。它的應(yīng)用已遍及經(jīng)濟(jì)計(jì)劃和管理、能源政策和分配、行為科學(xué)、軍事指揮、運(yùn)輸、農(nóng)業(yè)、教育、人才、醫(yī)療和環(huán)境等領(lǐng)域。層次分析法的基本思路與人對(duì)一個(gè)復(fù)雜的決策問題的思維、判斷過程大體上是一樣的。不妨用假期旅游為

2、例：假如有3個(gè)旅游勝地AB、C供你選擇，你會(huì)根據(jù)諸如景色、費(fèi)用和居住、飲食、旅途條件等一些準(zhǔn)則去反復(fù)比較這3個(gè)候選地點(diǎn).首先，你會(huì)確定這些準(zhǔn)則在你的心目中各占多大比重，如果你經(jīng)濟(jì)寬綽、醉心旅游，自然分別看重景色條件，而平素儉樸或手頭拮據(jù)的人則會(huì)優(yōu)先考慮費(fèi)用，中老年旅游者還會(huì)對(duì)居住、飲食等條件寄以較大關(guān)注。其次，你會(huì)就每一個(gè)準(zhǔn)則將3個(gè)地點(diǎn)進(jìn)行對(duì)比，譬如A景色最好，B次之；B費(fèi)用最低，C次之；C居住等條件較好等等。最后，你要將這兩個(gè)層次的比較判斷進(jìn)行綜合，在A、B、C中確定哪個(gè)作為最佳地點(diǎn)。層次分析法的基本步驟1、建立層次結(jié)構(gòu)模型。在深入分析實(shí)際問題的基礎(chǔ)上，將有關(guān)的各個(gè)因素按照不同屬性自上而下地

3、分解成若干層次，同一層的諸因素從屬于上一層的因素或?qū)ι蠈右蛩赜杏绊?，同時(shí)又支配下一層的因素或受到下層因素的作用。最上層為目標(biāo)層，通常只有1個(gè)因素，最下層通常為方案或?qū)ο髮?，中間可以有一個(gè)或幾個(gè)層次，通常為準(zhǔn)則或指標(biāo)層。當(dāng)準(zhǔn)則過多時(shí)（譬如多于9個(gè)）應(yīng)進(jìn)一步分解出子準(zhǔn)則層。2、構(gòu)造成對(duì)比較陣。從層次結(jié)構(gòu)模型的第2層開始，對(duì)于從屬于（或影響）上一層每個(gè)因素的同一層諸因素，用成對(duì)比較法和19比較尺度構(gòu)追成對(duì)比較陣，直到最下層。3、計(jì)算權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)。對(duì)于每一個(gè)成對(duì)比較陣計(jì)算最大特征根及對(duì)應(yīng)特征向量，利用一致性指標(biāo)、隨機(jī)一致性指標(biāo)和一致性比率做一致性檢驗(yàn)。若檢驗(yàn)通過，特征向量（歸一化后）即為權(quán)向量

4、：若不通過，需重新構(gòu)追成對(duì)比較陣。4、計(jì)算組合權(quán)向量并做組合一致性檢驗(yàn)。計(jì)算最下層對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)向量，并根據(jù)公式做組合一致性檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)通過，則可按照組合權(quán)向量表示的結(jié)果進(jìn)行決策，否則需要重新考慮模型或重新構(gòu)造那些一致性比率較大的成對(duì)比較陣。層次分析法的優(yōu)點(diǎn)運(yùn)用層次分析法有很多優(yōu)點(diǎn)，其中最重要的一點(diǎn)就是簡(jiǎn)單明了。層次分析法不僅適用于存在不確定性和主觀信息的情況，還允許以合乎邏輯的方式運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)、洞察力和直覺。也許層次分析法最大的優(yōu)點(diǎn)是提出了層次本身，它使得買方能夠認(rèn)真地考慮和衡量指標(biāo)的相對(duì)重要性。建立層次結(jié)構(gòu)模型將問題包含的因素分層：最高層（解決問題的目的）；中間層（實(shí)現(xiàn)總目標(biāo)而采取的各種措施、

5、必須考慮的準(zhǔn)則等。也可稱策略層、約束層、準(zhǔn)則層等）；最低層（用于解決問題的各種措施、方案等）。把各種所要考慮的因素放在適當(dāng)?shù)膶哟蝺?nèi)。用層次結(jié)構(gòu)圖清晰地表達(dá)這些因素的關(guān)系。例2選拔干部模型對(duì)三個(gè)干部候選人yi、y2、y3,按選拔干部的五個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：品德、才能、資歷、年齡和群眾關(guān)系，構(gòu)成如下層次分析模型：假設(shè)有三個(gè)干部候選人yi、y2、y3,按選拔干部的五個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：品德，才能，資歷，年齡和群眾關(guān)系，構(gòu)成如下層次分析模型©標(biāo)后©標(biāo)后底則后方案總選枝干部¥1品祗構(gòu)造成對(duì)比較矩陣比較第i個(gè)元素與第j個(gè)元素相對(duì)上一層某個(gè)因素的重要性時(shí)，使用數(shù)量化的相對(duì)權(quán)重a。來(lái)描述。設(shè)共有n個(gè)元素

6、參與比較，則人=(%)；稱為成對(duì)比較矩陣。成對(duì)比較矩陣中0的取值可參考Satty的提議，按下述標(biāo)度進(jìn)行賦值。a。在1-9及其倒數(shù)中間取值。 a。=1，元素i與元素j對(duì)上一層次因素的重要性相同；a。=3,元素i比元素j略重要； a。=5,元素i比元素j重要；a。=7,元素i比元素j重要得多； a。=9,元素i比元素j的極其重要；a。=2n,n=1,2,3,4,元素i與j的重要性介于a。=2n-1與a。冷，n=1,2,.,9,當(dāng)且僅當(dāng)aji=n>O,Qjj=1成對(duì)比較矩陣的特點(diǎn)：'%。(備注：當(dāng)i=j時(shí)候,a。=1對(duì)例2,選拔干部考慮5個(gè)條件：品德Xi）才能X2,資歷X3,年齡X4,

7、群眾關(guān)系X5。某決策人用成對(duì)比較法，得到成對(duì)比較陣如下：275514331111423I211I311/ai4=5表示品德與年齡重要性之比為5,即決策人認(rèn)為品德比年齡重要。作一致性檢驗(yàn)從理論上分析得到：如果A是完全一致的成對(duì)比較矩陣，應(yīng)該有aijajk=aik。但實(shí)際上在構(gòu)造成對(duì)比較矩陣時(shí)要求滿足上述眾多等式是不可能的。因此退而要求成對(duì)比較矩陣有一定的一致性，即可以允許成對(duì)比較矩陣存在一定程度的不一致性。由分析可知，對(duì)完全一致的成對(duì)比較矩陣，其絕對(duì)值最大的特征值等于該矩陣的維數(shù)。對(duì)成對(duì)比較矩陣的一致性要求，轉(zhuǎn)化為要求：的絕對(duì)值最大的特征值和該矩陣的維數(shù)相差不大。檢驗(yàn)成對(duì)比較矩陣A一致性的步驟如

8、下：計(jì)算衡量一個(gè)成對(duì)比矩陣A（n>1階方陣）不一致程度的指標(biāo)CI:CI=入mar（人）一孔nI其中入max是矩陣A的最大特征值。注解從有關(guān)資料查出檢驗(yàn)成對(duì)比較矩陣A一致性的標(biāo)準(zhǔn)RI:RI稱為平均隨機(jī)一致性指標(biāo)，它只與矩陣階數(shù)有關(guān)。按下面公式計(jì)算成對(duì)比較陣A的隨機(jī)一致性比率CR:cr=2L,判斷方法如下：當(dāng)CR<0.1時(shí)，判定成對(duì)比較陣A具有滿意的一致性，或其不一致程度是可以接受的；否則就調(diào)整成對(duì)比較矩陣A,直到達(dá)到滿意的一致性為止。例如對(duì)例2的矩陣nooo1-2nooo1-221l-Jt-31-3計(jì)算得到1=5.072,CJ=乎不5-1=0.018,查得RI=1.12,CIcr-r

9、10.0181.12=0.016<01這說(shuō)明A不是一致陣，但A具有滿意的一致性，A的不一致程度是可接受的此時(shí)A的最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為U=(-0.8409,-0.4658,-0.0951,-0.1733,-0.1920)。這個(gè)向量也是問題所需要的。通常要將該向量標(biāo)準(zhǔn)化：使得它的各分量都大于零，各分量之和等于1。該特征向量標(biāo)準(zhǔn)化后變成U=(0.4759,0.2636,0.0538,0.0981,0.1087)：經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化后這個(gè)向量稱為權(quán)向量。這里它反映了決策者選拔干部時(shí)，視品德條件最重要，其次是才能，再次是群眾關(guān)系，年齡因素，最后才是資歷。各因素的相對(duì)重要性由權(quán)向量U的各分量所確定。求

10、A的特征值的方法，可以用MATLAB語(yǔ)句求A的特征值：Y,D=eig(A),Y為成對(duì)比較陣的特征值，D的列為相應(yīng)特征向量。在實(shí)踐中，可采用下述方法計(jì)算對(duì)成對(duì)比較陣A=(a_ij)的最大特征值入ma(A)和相應(yīng)特征向量的近似值。定義二為£*=1出j,U=(皿，斯廠可以近似地看作A的對(duì)應(yīng)于最大特征值的特征向量。計(jì)算入1戶股=1戶"曰"臺(tái)幾白1他m可以近似看作A的最大特征值。實(shí)踐中可以由人來(lái)判斷矩陣A的一致性。層次總排序及決策現(xiàn)在來(lái)完整地解決例2的問題，要從三個(gè)候選人yi,y2,y3中選一個(gè)總體上最適合上述五個(gè)條件的候選人。對(duì)此，對(duì)三個(gè)候選人y=yi,y2,y3分別比較

11、他們的品德（Xi）,才能（X2）,資歷（X3）,年齡（X4）,群眾關(guān)系（X5）。先成對(duì)比較三個(gè)候選人的品德，得成對(duì)比較陣經(jīng)計(jì)算，B的權(quán)向量oxi(Y=(0.082,0,244,0.674)入r(Bi)=3.0027CI=0.001j=<0,1故B的不一致程度可接受。xi（Y）可以直觀地視為各候選人在品德方面的得分。類似地，分別比較三個(gè)候選人的才能，資歷，年齡，群眾關(guān)系得成對(duì)比較通過計(jì)算知，相應(yīng)的權(quán)向量為%O=(0,606,0,265,0429)z必F)=(0.429,8429,0.143廠%E=(0.636,0A85,0.179f3%(了)=(0167。167。667廠它們可分別視為各候

12、選人的才能分，資歷分，年齡分和群眾關(guān)系分。經(jīng)檢驗(yàn)知B2,R,B,R的不一致程度均可接最后計(jì)算各候選人的總得分。yi的總得分必僅1)=僅1)=057xO.082+0263xO.606+OQ51xO.429+0104xO,6366+0162xO,16703Q610從計(jì)算公式可知，yi的總得分(yi)實(shí)際上是yi各條件得分(oxi(yi),(ox2(yi),.,(ox5(yi),的加權(quán)平均，權(quán)就是各條件的重要性。同理可得y2,Y3的得分為3z(y2)=0.243,3z(y3)=0.452比較后可得：候選人y3是第一干部人選。層次分析法的用途舉例例如，某人準(zhǔn)備選購(gòu)一臺(tái)電冰箱，他對(duì)市場(chǎng)上的6種不同類型的

13、電冰箱進(jìn)行了解后，在決定買那一款式時(shí)，往往不是直接拿電冰箱整體進(jìn)行比較，因?yàn)榇嬖谠S多不可比的因素，而是選取一些中間指標(biāo)進(jìn)行考察。例如電冰箱的容量、制冷級(jí)別、價(jià)格、型號(hào)、耗電量、外界信譽(yù)、售后服務(wù)等。然后再考慮各種型號(hào)冰箱在上述各中間標(biāo)準(zhǔn)下的優(yōu)劣排序。借助這種排序，最終作出選購(gòu)決策。在決策時(shí)，由于6種電冰箱對(duì)于每個(gè)中間標(biāo)準(zhǔn)的優(yōu)劣排序一般是不一致的，因此，決策者首先要對(duì)這7個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的重要度作一個(gè)估計(jì)，給出一種排序，然后把6種冰箱分別對(duì)每一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的排序權(quán)重找出來(lái)，最后把這些信息數(shù)據(jù)綜合，得到針對(duì)總目標(biāo)即購(gòu)買電冰箱的排序權(quán)重。有了這個(gè)權(quán)重向量，決策就很容易了。層次分析法應(yīng)用的程序運(yùn)用AH喈進(jìn)行決策時(shí)，需

14、要經(jīng)歷以下4個(gè)步驟：i、建立系統(tǒng)的遞階層次結(jié)構(gòu)；2、構(gòu)造兩兩比較判斷矩陣；（正互反矩陣）3、針對(duì)某一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算各備選元素的權(quán)重；4、計(jì)算當(dāng)前一層元素關(guān)于總目標(biāo)的排序權(quán)重。5、進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。應(yīng)用層次分析法的注意事項(xiàng)如果所選的要素不合理，其含義混淆不清，或要素間的關(guān)系不正確，都會(huì)降低AHPfe的結(jié)果質(zhì)量，甚至導(dǎo)致AHFfe決策失敗。為保證遞階層次結(jié)構(gòu)的合理性，需把握以下原則：1、分解簡(jiǎn)化問題時(shí)把握主要因素，不漏不多；2、注意相比較元素之間的強(qiáng)度關(guān)系，相差太懸殊的要素不能在同一層次比較。層次分析法應(yīng)用實(shí)例1、建立遞階層次結(jié)構(gòu)；2、構(gòu)造兩兩比較判斷矩陣；（正互反矩陣）對(duì)各指標(biāo)之間進(jìn)行兩兩對(duì)比之后，

15、然后按9分位比率排定各評(píng)價(jià)指標(biāo)的相對(duì)優(yōu)劣順序，依次構(gòu)造出評(píng)價(jià)指標(biāo)的判斷矩陣。3、針對(duì)某一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算各備選元素的權(quán)重;關(guān)于判斷矩陣權(quán)重計(jì)算的方法有兩種，即幾何平均法（根法）和規(guī)范列平均法（和法）。（1）幾何平均法（根法）計(jì)算判斷矩陣A各行各個(gè)元素mi的乘積；計(jì)算mi的n次方根；對(duì)向量進(jìn)行歸一化處理；該向量即為所求權(quán)重向量。（2）規(guī)范列平均法（和法）計(jì)算判斷矩陣A各行各個(gè)元素mi的和；將A的各行元素的和進(jìn)行歸一化；該向量即為所求權(quán)重向量。計(jì)算矩陣A的最大特征值？max對(duì)于任意的i=1,2,門，式中為向量AW第i個(gè)元素（4）一致性檢驗(yàn)構(gòu)造好判斷矩陣后，需要根據(jù)判斷矩陣計(jì)算針對(duì)某一準(zhǔn)則層各元素的相對(duì)

16、權(quán)重，并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。雖然在構(gòu)造判斷矩陣A時(shí)并不要求判斷具有一致性，但判斷偏離一致性過大也是不允許的。因此需要對(duì)判斷矩陣A進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。為了計(jì)算各要素對(duì)上一層指標(biāo)的影響權(quán)重（如內(nèi)容的準(zhǔn)確性對(duì)內(nèi)容質(zhì)量的影響程度有多高，需要計(jì)算出該權(quán)重，而完整性、準(zhǔn)確性和及時(shí)性3個(gè)指標(biāo)對(duì)內(nèi)容質(zhì)量的影響權(quán)重的和為1,其它各指標(biāo)也同樣滿足該原則），需要構(gòu)建對(duì)比矩陣，即從模型的第二層開始運(yùn)用9標(biāo)度對(duì)從屬于上一層中每個(gè)要素的同層各要素間進(jìn)行兩兩比較，如模型中的要素i相對(duì)于要素j對(duì)上層要素的重要程度，1表示i與j同等重要，3表示i比j略重要，5表示i比j重要，7表示i比j重要很多，9表示i比j極其重要，可以用WW表示該

17、重要程度，兩兩比較后可以得到以下矩陣：WjWww,/w3WJW/電/Ww3/w2w2/waW3/Wj1%/也8w3/w;w./w3WJWj-1Wi/W2Wj/W3*W/Wp因?yàn)樯厦娴木仃囀峭ㄟ^兩兩比較的結(jié)果列出來(lái)的，所有對(duì)于整個(gè)矩陣而言不一定是完全一致的，所以首先需要驗(yàn)證該對(duì)比矩陣的一致性?？梢酝ㄟ^計(jì)算矩陣的最大特征值的方法來(lái)衡量矩陣的一致性，相關(guān)的指標(biāo)有一致性指標(biāo)CI,隨機(jī)一致性指標(biāo)RI,一致性比率CR=CI/RI（具體的計(jì)算方法不詳細(xì)介紹了，可以參考相關(guān)資料）。一般當(dāng)CR<0.1時(shí)，我們認(rèn)為該對(duì)比矩陣的一致性是可以被接受的。如果矩陣的一致性滿足要求，則可以根據(jù)矩陣的最大特征值進(jìn)一步計(jì)算得到對(duì)應(yīng)的特征向量，并通過對(duì)特征向量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化（使特征向量中各分