人教版選修21雙曲線雙曲線的幾何性質講義

1、案例（二）精析精練課堂 合作 探究重點難點突破知識點一雙曲線的幾何性質(1)范圍、對稱性由標準方程可得，當時，才有實數值；對于的任何值，都有實數值。這說明從橫的方向來看，直線之間沒有圖象，從縱的方向來看，隨著的增大，的絕對值也無限增大，所以曲線在縱方向上可無限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線。雙曲線不封閉，但仍稱其對稱中心為雙曲線的中心。 (2)頂點 頂點：，特殊點：。 實軸：長為，叫做半實軸長；虛軸：長為，叫做虛半軸長。 如右圖所示，在雙曲線方程中，令得，故它與軸有兩個交點，且軸為雙曲線的對稱軸，所以與其對稱軸的交點，稱為雙曲線的頂點(一般而言，曲線的頂點均指與其對稱軸的交點)，而對稱軸上位于兩

2、頂點間的線段叫做雙曲線的實軸長，它的長是。 在方程中，令，得，這個方程沒有實數根，說明雙曲線和軸沒有交點。但軸上的兩個特殊點，這兩個點在雙曲線中也有非常重要的作用把線段叫做雙曲線的虛軸，它的長是，要特別注意不要把虛軸與橢圓的短軸混淆。 雙曲線只有兩個頂點，而橢圓則有四個頂點，這是兩者的又一差異。 (3)漸近線 如上圖所示，過雙曲線的兩頂點，作軸的平行線，經過作軸的平行線，四條直線圍成一個矩形，矩形的兩條對角線所在直線方程是，這兩條直線就是雙曲線的漸近線。要證明直線是雙曲線的漸近線，即要證明隨著的增大，直線和曲線越來越靠攏接近，也即要證曲線上的點到直線的距離越來越短，因此把問題轉化為計算，但因不

3、好直接求得，因此又把問題轉化為求。顯然，當無限大時，。 對圓錐曲線而言，漸近線是雙曲線具有的性質。特別地，等軸雙曲線的兩條漸近線方程為，它們互相垂直且平分雙曲線的實軸和虛軸所成的角。 知識點二 有共同漸近線的雙曲線方程 具有相同漸近線的雙曲線方程為。當時，焦點在軸上；當時，焦點在軸上。 (1)求雙曲線的漸近線方程，一般采用兩種方法，即： 代入得漸近線方程。 令得，即。此法簡明有效。 (2)反之，若雙曲線一條漸近線方程為，即=0，則設雙曲線方程為。典型例題分析題型1 由雙曲線的方程研究其性質【例1】求雙曲線的實半軸長，虛半軸長，焦點坐標，頂點坐標，離心率，漸近線方程。解析 由方程研究曲線的性質，

4、應首先化為標準方程。答案 雙曲線方程可化為。實半軸長，虛半軸長，焦點坐標為(0，-5)，(0，5)，頂點坐標為(0，-4)，(0，4），離心率為，漸近線方程為，即。規(guī)律總結 由雙曲線方程求漸近線方程時應正確應用公式，也可將雙曲線左側因式分解，使因式分別得零也可。【變式訓練1】 求雙曲線的頂點坐標、焦點坐標、實軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程。答案 將變形可，頂點，焦點，實軸長，虛軸長，離心率，漸近線方程為?！纠?】 已知橢圓和雙曲線有公共的焦點，那么雙曲線的漸近線方程是 （ ）A. B.C. D. 解析 先確定焦點，確定、的比值。由雙曲線方程判斷出公共焦點在軸上，橢圓的焦點，雙曲線焦點，。又雙

5、曲線漸近線為，代入，得，故選D。答案 D規(guī)律總結 求漸近線時應注意對漸近線的兩種不同公式的應用。【變式訓練2】 若點在雙曲線上，則到雙曲線漸近線的距離的取值范圍是 。答案 雙曲線的一條漸近線方程是，由漸近線的性質知，當點是雙曲線的一個頂點時，到漸近線的距離最大，雙曲線的頂點坐標是，到漸近線的距離最大值為。故到雙曲線漸近線的距離的取值范圍是。題型2 由雙曲線的幾何性質確定其方程【例3】 求與雙曲線有共同的漸近線，且經過點的雙曲線的方程。解析 雙曲線的漸近線方程是，可設出雙曲線的方程，將點的坐標代入，即可求出方程。答案 設所求雙曲線方程為，由于雙曲線過點，有。故雙曲線方程為，即。方法指導（1）與雙

6、曲線有共同漸近線的雙曲線方程可設為的形式。(2)本題中的值為正時焦點在軸上，為負時焦點在軸上?！咀兪接柧?】 一橢圓的方程為，焦距為，若一雙曲線與此橢圓共焦點，且它的實軸比橢圓的長軸短8，雙曲線的離心率與橢圓離心率之比是5：1，求橢圓和雙曲線方程。答案 設各為雙曲線的實半軸、虛半軸長，依題意有：，解這個方程組，得于是，橢圓短半軸長，雙曲線的虛半軸長，故橢圓、雙曲線方程分別是?！纠?】如果雙曲線的漸近線方程是，求離心率。解析 欲求離心率，只需求得關系即可，注意漸近線的位置。答案 方法一：若雙曲線焦點在軸上，設方程為。由題意知，又，。若雙曲線焦點在軸上，設方程為。由題意知：，綜上知：或方法二：設具

7、有漸近線的雙曲線方程為，即。若，焦點在軸上，。 若，焦點在軸上，?；?。規(guī)律總結 漸近線不能確定雙曲線的位置，因此不論是方法一，還是方法二，都要考慮到其位置的兩種形式?！咀兪接柧?】 設雙曲線的半焦距為，直線過、兩點，已知原點到直線的距離為，雙曲線的離心率為 。答案 直線的方程為，即。于是有，即。兩邊平方得，解得或，故，。 題型3已知漸近線求方程 【例5】 已知雙曲線漸近線的方程為：。 (1)若雙曲線經過，求雙曲線方程； (2)若雙曲線的焦距是，求雙曲線方程； (3)若雙曲線頂點間的距離是6，求雙曲線方程。 解析 可設出雙曲線方程的統(tǒng)一形式，依據題設建立待定參數方程或方程組求解。 答案 解法一：

8、（1）由雙曲線漸近線的方程，可設雙曲線方程為：，雙曲線過點P，。又漸近線斜率，解得故所求雙曲線方程為：。(2)設雙曲線方程為：或。 。 由漸近線斜率得或， 故由或 解得或所求雙曲線方程為：，或。（3）由（2）所設方程可得：或解得或故所求雙曲線方程為：或。解法二：由雙曲線的漸近線方程?？稍O雙曲線方程為，(1)雙曲線過點，。故所求雙曲線方程為：。(2)若，則，由題設。所求雙曲線方程為：。若，則，由，。所求雙曲線方程為：。故所求雙曲線方程為：或(3)若，則。由題設。所求雙曲線方程為：。若A0，則由題設所求雙曲線方程為：。故所求雙曲線方程為：，或。規(guī)律總結 (1)解法一是設出雙曲線的標準方程，利用條件

9、列出獨立的關于的等式，解方程組求出待定系數；(2)解法二利用了共漸近線的雙曲線系，由題設條件建立參數的關系確定，但應特別注意值的符號與雙曲線焦點的對應。兩種解法都很重要，應認真領會。【變式訓練5】 是否存在同時滿足下列條件的雙曲線，若存在，求出其方程；若不存在，請說明理由。漸近線方程為及；點到雙曲線上動點的距離的最小值為。答案 假設存在同時滿足題中的兩個條件的雙曲線。(1)若雙曲線的焦點在軸上，因為漸近線方程為，所以由條件，設雙曲線方程為，設動點的坐標為，則，由條件，若2b4，即b2，則當時，這不可能，無解；若2b4，即b2，則當時，解得（，應舍去)，此時存在雙曲線方程為。 (2)若雙曲線的焦

10、點在軸上，則可設雙曲線方程為，所以，因為，所以當時，。所以，此時存在雙曲線方程為。規(guī)律 方法 總結1.理解雙曲線的幾何性質應注意離心率的范圍：e1，應區(qū)別于橢圓的離心率的范圍。2. 求雙曲線的漸近線方程的方法：雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，一般情況下，先求，再寫出方程，兩者容易混淆。可將雙曲線方程中右邊的“1”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程，這樣就不至于記錯了。 3.已知雙曲線。、為左、右焦點，為雙曲線上的一點，設，則有：。 4.已知雙曲線，直線過焦點，且垂直于實軸交雙曲線于、兩點，弦AB叫通徑，其長為。定時 鞏固 檢測第1課時雙曲線的幾何性質基礎訓練1.雙曲線的頂點坐標

11、是 （ ）A. B.或C. D.或【答案】 A(點撥：利用雙曲線特點求解。)2.雙曲線的離心率是 （ ）A. B. C. D.【答案】 C(點撥：利用雙曲線標準方程求得即可。)3.雙曲線的實軸長、虛軸長、焦距成等差數列，那么它的離心率為（ ）A. B. C.2 D.3【答案】B(點撥：由等差數列可得三者方程，再由三者關系消元即可。)4.雙曲線的漸近線方程為 ?！敬鸢浮?點撥：利用公式。）5.與橢圓共焦點，離心率為的雙曲線的標準方程為 。【答案】(點撥：可先求焦點坐標再利用離心率求之即可。)能力提升6.雙曲線的離心率為，則雙曲線的兩條漸近線的夾角是 ?！敬鸢浮?0(點撥：離心率為的雙曲線漸近線方

12、程為。) 7.設圓過雙曲線的一個頂點和一個焦點，圓心在雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是 。【答案】(點撥：畫出圖形即可。)8.根據以下條件，分別求出雙曲線的標準方程。(1)過點，離心率。(2)是雙曲線的左、右焦點，是雙曲線上的一點，且，且離心率為2?！敬鸢浮?1)若雙曲線的實軸在軸上，設為所求，由，得。 由點在雙曲線上，得。 又，由、得。若雙曲線的實軸在軸上，設為所求。同理有，解之，得(不符，舍去)。故所求雙曲線方程為。(2)設雙曲線方程為，因，而，由雙曲線的定義，得。由余弦定理，得又，得。故所求雙曲線的方程為。第2課時 雙曲線的幾何性質的應用基礎訓練1.過點(2，-2)且與有公共漸近線的雙曲線方程是 （ ）A. B.C. D.【答】A（點撥：設所求雙曲線方程為）2.雙曲線的兩條漸近線夾角是 （ ）A. B.C. D.【答案】B（點撥：因為漸近線的斜率的地對值為。）3.已知雙曲線的離心率，則的取值范圍（ ）A. B C. D.【答案】A（點撥：顯然有，其次有。）4.下列各對雙曲線中，既有相同離心率又有相同漸近線的是 （ ）A.和B.和C.和D.和【答案】D(點撥：依據雙曲線的離心率定義和漸近線的求法。)能力提升5.雙曲線與橢圓有相同的焦點，它的一條漸近線為