中級(jí)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)講義數(shù)學(xué)基礎(chǔ) Mathematics矩陣Matrix及其二次型Quadratic Forms

1、上課材料之二：第二章 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) (Mathematics)第一節(jié) 矩陣(Matrix)及其二次型(Quadratic Forms)第二節(jié) 分布函數(shù)(Distribution Function)，數(shù)學(xué)期望(Expectation)及方差(Variance)第三節(jié) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)（Mathematical Statistics）第一節(jié) 矩陣及其二次型(Matrix and its Quadratic Forms)2.1 矩陣的基本概念與運(yùn)算一個(gè)mn矩陣可表示為：矩陣的加法較為簡(jiǎn)單，若C=A+B，cij=aij+bij但矩陣的乘法的定義比較特殊，若A是一個(gè)mn1的矩陣，B是一個(gè)n1n的矩陣，則C=AB是一

2、個(gè)mn的矩陣，而且，一般來(lái)講，ABBA，但如下運(yùn)算是成立的：l 結(jié)合律（Associative Law） (AB)C=A（BC）l 分配律（Distributive Law） A(B+C)=AB+AC問題：(A+B)2=A2+2AB+B2是否成立？向量（Vector）是一個(gè)有序的數(shù)組，既可以按行，也可以按列排列。 行向量(row vector)是只有一行的向量，列向量(column vector)只有一列的向量。如果是一個(gè)標(biāo)量，則A=aij。矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣(transpose matrix)記為，是通過把的行向量變成相應(yīng)的列向量而得到。顯然()=，而且（+）=+，l 乘積的轉(zhuǎn)置（Transpo

3、se of production ） ，。l 可逆矩陣（inverse matrix），如果n級(jí)方陣(square matrix)A和B，滿足AB=BA=I。則稱A、B是可逆矩陣，顯然，。如下結(jié)果是成立的：。2.2 特殊矩陣1）恒等矩陣(identity matrix)對(duì)角線上元素全為1，其余全為0，可記為I；2）標(biāo)量矩陣(scalar matrix)即形如I的矩陣，其中是標(biāo)量；3）冪等矩陣(idempotent matrix)如果矩陣具有性質(zhì)，這樣的矩陣稱為冪等矩陣。定理：冪等矩陣的特征根要么是1，要么是零。4）正定矩陣（positive definite）和負(fù)定矩陣（negative de

4、finite），非負(fù)定矩陣(nonnegative)或半正定矩陣（positive semi-definite ），非正定矩陣(nonpositive definite)或半負(fù)定矩陣（negative semi-definite）；對(duì)于任意的非零向量，如有0（0），則稱A是正（負(fù)）定矩陣；如有0（0），非負(fù)（非正）定矩陣。如果A是非負(fù)定的，則記為A0；如果是正定的，則記為A0。協(xié)方差矩陣是半正定矩陣，幾個(gè)結(jié)論：a）恒等矩陣或單位矩陣是正定的；b）如果是正定的，則也是正定的；c）如果是正定的，是可逆矩陣，則是正定的；d）如果是一個(gè)nm矩陣，且nm，則是正定的，是非負(fù)定矩陣。5）對(duì)稱矩陣（symm

5、etric matrix）；如果=，則稱為對(duì)稱矩陣。2.3 矩陣的跡（trace）一個(gè)nn矩陣的跡被定義為它的對(duì)角線上的元素之和，記為，則，如下結(jié)論是顯然的。1） （是標(biāo)量） 特例2）3）4），特例）循環(huán)排列原則tr(ABCD)=tr(BCDA)=tr(CDAB)=tr(DABC)定理：實(shí)對(duì)稱矩陣A的跡等于它的特征根之和。因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱矩陣，故有在矩陣C，使得，其中，所以，。2.4 矩陣的秩(rank)一個(gè)矩陣A的行秩和列秩一定相等，一個(gè)矩陣的秩就可以定義為它的行秩或列秩，記為r(A)，不加證明，我們給出如下結(jié)果：1）（行數(shù)、列數(shù)）2），其中A、B分別為mn1、n1n矩陣，特例：如果A、B為n

6、n矩陣，而且AB=0，則3），其中是nn的方陣4）5）設(shè)是nn矩陣，且，則6）設(shè)是nn矩陣，且，則2.5 統(tǒng)計(jì)量的矩陣表示向量可理解為特殊的矩陣。是一個(gè)其元素都為1的n維列向量，即=（1，1，1），如果我們?cè)偌俣?，?jì)量經(jīng)濟(jì)模型中的許多統(tǒng)計(jì)量就可以用矩陣的形式表示出來(lái)，很方便進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)。顯而易見，樣本的均值與方差的矩陣表示如下：1）樣本均值矩陣表示；事實(shí)上即，而，；2）樣本方差矩陣表示易知：。其中矩陣是一個(gè)每個(gè)元素都為的階方陣，從而。定理：矩陣是冪等矩陣。矩陣的對(duì)角線上的元素為，非對(duì)角線的元素為，是一個(gè)對(duì)稱矩陣。故樣本方差： 。2.6 矩陣的二次型與多元正態(tài)分布1）矩陣的二次型（Quadrat

7、ic Forms）和線性變換（lineartransferring）設(shè)P是一數(shù)域，一個(gè)系數(shù)在數(shù)域P中的的二次齊次多項(xiàng)式 （1）稱為數(shù)域P上的一個(gè)n元二次型，或者，在不致引起混淆時(shí)簡(jiǎn)稱二次型。例如就是有理數(shù)域上的一個(gè)三元二次型，為了以后討論上的方便，在（1）中，的系數(shù)寫在。而不簡(jiǎn)單地寫成。和在幾何中一樣，在處理許多其它問題時(shí)也常常希望通過變量的線性替換簡(jiǎn)化有關(guān)的二次型，為此，我們引入定義1 設(shè)；是兩組文字，系數(shù)在數(shù)域P中的一級(jí)關(guān)系式 （2）稱為由，到的一個(gè)線性替換，或簡(jiǎn)稱線性替換，如果系數(shù)行列式那么線性替換（2）就稱為非退化的。在討論二次型時(shí)，矩陣是一個(gè)有力的工具，因此我們先把二次型與線性替換用

8、矩陣來(lái)表示。令， 由于所以二次型（1）可以寫成 （3）把（3）的系數(shù)排成一個(gè)nn矩陣 （4）它就稱為二次型（3）的矩陣，因?yàn)?，所以我們把這樣的矩陣稱為對(duì)稱矩陣，因此，二次型的矩陣都是對(duì)稱的。令于是，二次型可以用矩陣的乘積表示出來(lái)，故 應(yīng)該看到，二次型（1）的矩陣的元素正是它的項(xiàng)的系數(shù)的一半，因此二次型和它的矩陣是相互唯一決定的，由此還能得到，若二次型且，則。令于是線性替換（2）可以寫成或者我們知道，經(jīng)過一個(gè)非退化的線性替換，二次型還是變成二次型，現(xiàn)在就來(lái)看一下，替換后的二次型與原來(lái)的二次型之間有什么關(guān)系，也就是說，找出替換后的二次的矩陣與原二次型的矩陣之間的關(guān)系。設(shè) （5）是一個(gè)二次型，作非退

9、化線性替換 （6）我們得到一個(gè)的二次型現(xiàn)在來(lái)看矩陣B與A的關(guān)系。把（6）代入（5），有 容易看出，矩陣也是對(duì)稱的，事實(shí)上，由此，即得這就是前后兩個(gè)二次型的矩陣的關(guān)系，與之相應(yīng)，我們引入定義2 數(shù)域P上nn矩陣A，B稱為合同的，如果有數(shù)域P上可逆的nn矩陣C，使合同是矩陣之間的一個(gè)關(guān)系，不難看出，合同關(guān)系具有1）反身性：；2）對(duì)稱性：由即得；3）傳遞性：由即得因之，經(jīng)過非退化的線性替換，新二次型的矩陣與原二次型的矩陣是合同的。這樣，我們就把二次型的變換通過矩陣表示出來(lái)，為以下的探討提供了有力的工具。最后指出，在變換二次型時(shí)，我們總是要求所作的線性替換是非退化的。從幾何上看，這一點(diǎn)是自然的，因?yàn)樽?/p>

10、標(biāo)變換一定是非退化的，一般地，當(dāng)線性替換是非退化時(shí)，由上面的關(guān)系即得這也是一個(gè)線性替換，它把所得的二次型還原。這樣就使我們從所得二次型的性質(zhì)可以推知原來(lái)二次型的一些性質(zhì)。定理：若A是實(shí)對(duì)稱矩陣，則存在可逆矩陣C，滿足：。2）多元正態(tài)分布a）二元正態(tài)分布直觀上，二元正態(tài)分布是兩個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布。如果兩個(gè)隨機(jī)變量X1和X2的聯(lián)合密度函數(shù)為這里，0，0，1，我們稱X1和X2服從二元正態(tài)分布。通過計(jì)算可得X1和X2的邊際分布分別為和。上式中的參數(shù)是X1和X2的相關(guān)系數(shù)。如果X1和X2服從二元正態(tài)分布，那么在給定的條件下X2的條件分布也是正態(tài)的。它的條件密度函數(shù)為這里條件均值是的線性函數(shù)。并且，

11、二元正態(tài)分布具有一個(gè)獨(dú)特的性質(zhì)，那就是如果，那么X1和X2是相互獨(dú)立的。這是由于當(dāng)時(shí)，我們有。這對(duì)于一般的兩個(gè)隨機(jī)變量是不對(duì)的。有時(shí)如果把聯(lián)合概率密度函數(shù)寫成矩陣的形式，則從形式上來(lái)看就簡(jiǎn)單多了。記，那么二元正態(tài)概率密度函數(shù)可以寫成如下的簡(jiǎn)單形式這里b）多元正態(tài)分布，這就是均值為協(xié)方差矩陣為的多元正態(tài)分布，記為。c）多元正態(tài)分布的二次型的分布如果，那么這里n是X的維數(shù)。我們可以簡(jiǎn)單地證明這個(gè)結(jié)果。由于是對(duì)稱可逆矩陣，那么存在一個(gè)可逆的矩陣A，使得。我們有，所以。2.7 冪等矩陣與二次型1、冪等矩陣滿足A2=A的矩陣稱為冪等矩陣。冪等矩陣可以是對(duì)稱的，也可以是非對(duì)稱的，但在我們計(jì)量統(tǒng)計(jì)學(xué)中，所研

12、究的冪等矩陣都是對(duì)稱的。與冪等矩陣的有關(guān)的結(jié)果有：1）冪等矩陣的特征根要么是1，要么是零。證明：設(shè)是A的特征根，E是特征向量，則AE=，同時(shí)=A=A2=，故，從而或。2）唯一滿秩的對(duì)稱冪等矩陣是單位矩陣。證明：A2=A即除了單位矩陣外，所有冪等矩陣是奇異的。3）A是冪等矩陣，則IA也是冪等矩陣，且秩（A）+秩（IA）=n。4）對(duì)稱冪等矩陣的秩等于它的跡。（為什么？）從而我們很容易知道M0的秩。因M0的每個(gè)對(duì)角元素都是，因此。5）的服從分布（如果這是因?yàn)椋汉汀?） X是一個(gè)nm的矩陣，秩（X）=m則M是冪等矩陣。2.8 微分及其矩陣的微分表示1）微分的應(yīng)用微分的應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域中被廣泛地用來(lái)作近

13、似計(jì)算。為了說明這種技巧如何運(yùn)作，考慮一個(gè)例子。設(shè)P代表GDP平減指數(shù)，Y代表實(shí)際GDP，則名義GDP為PY，于是有：（PY）變動(dòng)的百分比的（P變動(dòng)的百分比）+（Y變動(dòng)的百分比）；同樣一個(gè)比率變動(dòng)的百分比近似地是分子變動(dòng)的百分比減去分母變動(dòng)的百分比。例如：設(shè)Y代表GDP，而L代表人口數(shù)，則人均GDP為，則：（Y/L）變動(dòng)的百分比（Y變動(dòng)的百分比）（L變動(dòng)的百分比）問題1：1）上述2個(gè)近似公式在什么條件下成立？2）推導(dǎo)上述兩個(gè)公式3）宏觀經(jīng)濟(jì)中，GDP的確定由4個(gè)組成部分，即：GDP=C+I+G+NX。能否按如下公式計(jì)算GDP變動(dòng)百分比：GDP變動(dòng)的百分比（消費(fèi)C變動(dòng)的百分比）+（投資I變?yōu)榈陌?/p>

14、分比）+（政府購(gòu)買G變動(dòng)的百分比）+（凈出口NX變動(dòng)百分比）。如果不能，哪邊的值較大？為什么？問題2:In the country of Wiknam, the velocity of money is constant. Real GDP grows by 5 percent per year, the money stock grows by 14 percent per year, and the nominal interest rate is 11 percent . What is the real interest rate? 2）計(jì)量模型的推導(dǎo)帶技術(shù)進(jìn)步的Solow模型假定生產(chǎn)

15、函數(shù)為?？怂梗℉icks）中性技術(shù)進(jìn)步條件下的產(chǎn)出增長(zhǎng)型函數(shù)，其一般形式Solow模型為： （1）對(duì)A（t）作進(jìn)一步假定，令，這里A0為基本的技術(shù)水平，表示由于技術(shù)進(jìn)步而使產(chǎn)出增長(zhǎng)的部分，稱為技術(shù)進(jìn)步增長(zhǎng)率。于是（1）式變?yōu)椋?（2）對(duì)（2）式兩邊取對(duì)數(shù)并求導(dǎo)得到： （3）由于Y、L、K的實(shí)際數(shù)據(jù)都是離散的，故對(duì)（3）進(jìn)行離散化，并令年，于是有： （4）表示產(chǎn)出的勞動(dòng)力彈性，表示產(chǎn)出的資本彈性。于是（4）式實(shí)際上就是我們的科技進(jìn)步貢獻(xiàn)率的測(cè)算模型，注意到：這里表示科技進(jìn)步對(duì)產(chǎn)出增長(zhǎng)的貢獻(xiàn)率，表示勞動(dòng)力增長(zhǎng)對(duì)產(chǎn)出增長(zhǎng)的貢獻(xiàn)率，表示資本增長(zhǎng)對(duì)產(chǎn)出增長(zhǎng)的貢獻(xiàn)率。從而有： （5）（5）式就給出了技術(shù)進(jìn)

16、步貢獻(xiàn)率的測(cè)算公式。通過假定一定規(guī)模報(bào)酬不變，即這一條件，比較合理有效地預(yù)防或克服了變量間可能出現(xiàn)的共線性。由（4）式，根據(jù)，有：設(shè)，則有： （6）一般來(lái)講，只要D1序列不存在異方差性，（6）式就是測(cè)算科技進(jìn)步增長(zhǎng)率所用的最終模型。3、矩陣的微分如果或?qū)懗桑敲刺荻认蛄繛槎A偏導(dǎo)數(shù)矩陣為特別地，如果，那么同樣地可得如果A是對(duì)稱矩陣，那么一般地，有思考題：1、證明：2、證明矩陣M0是冪等矩陣。3、如果L1、L2Ln的百分比變動(dòng)較小如果Y1、Y2Ym的百分比變動(dòng)較小則如下計(jì)算公式是否可行？a）b）4. 矩陣的分塊（partitioned matrix）在表述一個(gè)矩陣的元素時(shí)如構(gòu)造一個(gè)方程組將一些元

17、素以子矩陣的形式進(jìn)行分組有時(shí)是有用的，例如，我們可以寫 A稱為一個(gè)分塊矩陣，子矩陣的下標(biāo)和矩陣中的元素的下標(biāo)按同樣方式定義，一個(gè)普通的特殊情形是分塊對(duì)角矩陣。其中A11和A22都是方陣。分塊矩陣的加法和乘法加法和乘法可以推廣到分塊矩陣，對(duì)一致的分塊矩陣A和B有： （1）和 （2）其中所有矩陣必須適于所用運(yùn)算，對(duì)于加法，Aij和Bij的階數(shù)必須相同；在乘法中，對(duì)所有的數(shù)對(duì)i和j，Aij的列數(shù)必須等于Bij的行數(shù)，即矩陣相乘所必需的條件都要得到滿足。兩個(gè)經(jīng)常遇到的情況是如下的形式： （3）和 （4）分塊矩陣的行列式類似于對(duì)角矩陣的行列式，分塊對(duì)角矩陣的行列式可以得到 （5）一個(gè)一般的22分塊矩陣的結(jié)果為： （6）大于22分塊矩陣的結(jié)果極其繁瑣，且在我們的工作中也不必要。分塊矩陣的逆分塊對(duì)角矩陣的逆是： （7）這可由直接相乘證實(shí)。對(duì)一般的22分塊矩陣，分塊逆的一個(gè)形式是： （8）其中這可以最簡(jiǎn)單地用逆去乘A來(lái)證實(shí)。由于計(jì)算