教案：24.2.3 公式法—— 一元二次方程根的判別式

1、.公式法 一元二次方程根的判別式一、教學(xué)內(nèi)容分析 “一元二次方程的根的判別式一節(jié)，從定理的推導(dǎo)到應(yīng)用都比較簡單。但是它在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要的地位，既可以根據(jù)它來判斷一元二次方程的根的情況，又可以為今后研究不等式，二次三項(xiàng)式，二次函數(shù)，二次曲線等奠定根底，并且用它可以解決許多其它綜合性問題。通過這一節(jié)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和觀察、分析、歸納的才能，以及邏輯思維才能、推理論證才能，并向?qū)W生浸透分類的數(shù)學(xué)思想，浸透數(shù)學(xué)的簡潔美。教學(xué)重點(diǎn)：根的判別式定理及逆定理的正確理解和運(yùn)用來源:Zxxk 教學(xué)難點(diǎn)：根的判別式定理及逆定理的運(yùn)用。教學(xué)關(guān)鍵：對根的判別式定理及其逆定理使用條件的透徹理解。二、教

2、學(xué)目的 根據(jù)教學(xué)大綱和對教材的分析，以及結(jié)合學(xué)生已有的知識(shí)根底，本節(jié)課的教學(xué)目的是：知識(shí)和技能： 1、感悟一元二次方程的根的判別式的產(chǎn)生的過程； 2、能運(yùn)用根的判別式，判別方程根的情況和進(jìn)展有關(guān)的推理論證； 3、會(huì)運(yùn)用根的判別式求一元二次方程中字母系數(shù)的取值范圍；過程和方法： 1、培養(yǎng)學(xué)生的探究、創(chuàng)新精神；2、培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維才能以及推理論證才能。情感態(tài)度價(jià)值觀：1、向?qū)W生浸透分類的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)的簡潔美；2、加深師生間的交流，增進(jìn)師生的情感；3、培養(yǎng)學(xué)生的協(xié)作精神。三、教學(xué)策略： 本著“以學(xué)生開展為本的教育理念，同時(shí)也為了使學(xué)生都能積極地參與到課堂教學(xué)中，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，本節(jié)課主要采

3、用了引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、講練結(jié)合的教學(xué)方法，按照“理論認(rèn)識(shí)理論的認(rèn)知規(guī)律設(shè)計(jì)，以增加學(xué)生參與教學(xué)過程的時(shí)機(jī)和體驗(yàn)獲取知識(shí)過程的時(shí)間，從而有效地調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。詳細(xì)如下：序號(hào)老師學(xué)生1設(shè)置懸念 引發(fā)興趣爭先恐后，欲解疑團(tuán)2設(shè)計(jì)練習(xí)，創(chuàng)設(shè)情境動(dòng)手解題，親身感知3啟發(fā)引導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)結(jié)論觀察分析、得出結(jié)論4引導(dǎo)學(xué)生，理論驗(yàn)證閱讀理解，自學(xué)教材5提醒定理內(nèi)涵加深認(rèn)識(shí)理解6應(yīng)用定理，解決問題穩(wěn)固應(yīng)用，形成技能7歸納小結(jié)整體把握8布置作業(yè)穩(wěn)固進(jìn)步四、教學(xué)流程：<一>、設(shè)置懸念，引發(fā)興趣： 【老師】：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了怎么解一元二次方程，對嗎？那么，如今老師這兒還有一手絕活，就是：我隨意拿到一個(gè)

4、一元二次方程的題目，我不用詳細(xì)地去解它，就能很快知道它的根的大致情況，不信呀！同學(xué)們可以隨意地出兩個(gè)題考考我?！緦W(xué)生】會(huì)爭先恐后地編題考老師?！菊f明】這樣設(shè)計(jì)，能馬上激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，為后面發(fā)現(xiàn)結(jié)論創(chuàng)造一個(gè)最正確的心理狀態(tài)。 <二>設(shè)置練習(xí)，創(chuàng)設(shè)情境?！纠蠋煛磕銈円欢ê芟胫牢业慕^活是怎么回事吧？那么好，如今就請同學(xué)們用公式法解，以下三個(gè)一元二次方程；你們會(huì)很快發(fā)現(xiàn)我的奧秘。用公式法解一元二次方程用投影儀打出 注：找三名學(xué)生板演，其余學(xué)生在位上做【學(xué)生】都在積極解答，尋找其中的奧秘?！菊f明】這樣設(shè)計(jì)，使學(xué)生親身感知一元二次方程根的情況，培養(yǎng)了學(xué)生的探究精神，變“老師教為“

5、自己鉆，從而發(fā)揮了學(xué)生的主觀能動(dòng)性。 <三>啟發(fā)引導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：【老師】請同學(xué)們觀察這三個(gè)方程的解題過程，可以發(fā)現(xiàn)：在把系數(shù)代入求根公式之前，每題都是先確定了a、b、c的值，然后求出它的值，為什么要這樣做呢？【學(xué)生】會(huì)初步說出 的作用是：它能決定方程是否可解?！纠蠋煛?由此可見：在解 起著重要的作用，顯然我們可以根據(jù)的值的符號(hào)來判斷 的根的情況，因此，我們把 叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號(hào)“讀作delta，它是希臘字母來表示，即=。我們說在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中還會(huì)遇到：用一個(gè)簡單的符號(hào)來表示一個(gè)數(shù)學(xué)式子的情況，同學(xué)們要逐漸適應(yīng)這一點(diǎn)，它表達(dá)了數(shù)學(xué)的簡潔美。3通過解這三個(gè)方程，

6、同學(xué)們可以發(fā)現(xiàn)一元二次方程根的情況有哪幾種，誰能總結(jié)出來？【學(xué)生】由于前面作了鋪墊，所以學(xué)生很快可以答出結(jié)論?！菊f明】：這樣設(shè)計(jì)1是為了讓學(xué)生明白： 的值的符號(hào)在解一元二次方程中所起的重要作用，從而很自然地引出了根的判別式概念。2是為了培養(yǎng)學(xué)生從詳細(xì)到抽象的觀察、分析與概括才能并使學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，真正體驗(yàn)自己發(fā)現(xiàn)結(jié)論的成功樂趣。<四>引導(dǎo)學(xué)生，理論驗(yàn)證： 【老師】一元二次方程根的情況果真有三種嗎？ 請同學(xué)們認(rèn)真閱讀課本的內(nèi)容，書上從理論方面給我們做了很好的解釋。 【學(xué)生】帶著老師提出的問題，會(huì)很認(rèn)真地去看書，尋找答案?！菊f明】這樣設(shè)計(jì)是為了培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，養(yǎng)成嚴(yán)

7、格論證問題的習(xí)慣以及自學(xué)才能的培養(yǎng)。 <五>提醒定理：【老師】1由此我們就得出了關(guān)于 假設(shè)0 那么方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 假設(shè) =0 那么方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 假設(shè)0那么方程沒有實(shí)數(shù)根 2我們說：這個(gè)定理的逆命題也成立，即有如下的逆定理： 假設(shè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么0 假設(shè)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根， 那么=0 假設(shè)方程沒有實(shí)數(shù)根， 那么0 3定理與逆定理的用處不同 定理的用處是：在不解方程的情況下，根據(jù)值的符號(hào)，用定理來判斷方程根的情況。 逆定理的用處是：在方程根的情況下，用逆定理來確定值的符號(hào)，進(jìn)而可求出系數(shù)中某些字母的取值范圍。 4注意運(yùn)用定理和逆定理時(shí)，必須把所給的

8、方程化成一般形式前方可使用?！菊f明】這樣設(shè)計(jì)是為了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)如何用數(shù)學(xué)語言來闡述發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，如何將感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，以及加深學(xué)生對兩個(gè)定理的認(rèn)識(shí)，為定理及逆定理的正確運(yùn)用做好鋪墊。重中之重 <六>應(yīng)用定理，解決問題：【老師】下面我們就來學(xué)習(xí)兩個(gè)定理的應(yīng)用。 例1：不解方程判別以下方程根的情況用投影儀打出 分析；要判別方程根的情況，根據(jù)定理可知；就是要確定值的符號(hào)， 4補(bǔ)充了一個(gè)含有字母系數(shù)的方程，補(bǔ)充此題的目的是：使學(xué)生進(jìn)一步地掌握此類題中值的符號(hào)的判斷方法， 也為今后解綜合性問題打好根底。在練習(xí)中作了相應(yīng)地補(bǔ)充。 分析：我先提出兩個(gè)問題：1是誰決定了方程有無實(shí)數(shù)根？ 2如

9、今要證方程無實(shí)數(shù)根，只要證明什么就行了？ 例2是補(bǔ)充的一個(gè)用定理證明的題目，它含有字母系數(shù)，它的證明實(shí)際與例1的第4的解法類似，但學(xué)生易于出錯(cuò)，往往錯(cuò)用逆定理來證。 注意；例1，例2之后我設(shè)計(jì)了一個(gè)小結(jié)：1關(guān)于運(yùn)用根的判別式定理來判斷：含有字母系數(shù)的一元二次方程根的情況的一般步驟以及關(guān)于變形的一些經(jīng)歷，從而使學(xué)生真正搞清搞透。小結(jié)1關(guān)于運(yùn)用根的判別式定理來判斷：含有字母系數(shù)的一元二次方程根的情況的一般步驟是：把方程化為一般形式，確定a、b、c的值，計(jì)算；來源:Z,xx,k 用配方法等將變形，使之符號(hào)明朗化后，判斷的符號(hào)。根據(jù)根的判別式定理，寫出結(jié)論。2注意關(guān)于的變形；一般情況下，由配方或因式分

10、解后能變形成等形式；那么的符號(hào)就明朗了，即可判斷其符號(hào)。學(xué)生練習(xí)； 不解方程，判別以下方程根的情況來源:Z|xx|k 學(xué)以致 用來源:Zxxk 【說明】以上例題的設(shè)計(jì)，主要是為了給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)知識(shí)運(yùn)用遷移及鞏固的時(shí)機(jī)，同時(shí)也為了吸引和調(diào)動(dòng)全班同學(xué)參與到積極動(dòng)腦，各抒己見的活潑氣氛中來，并培養(yǎng)學(xué)生分析問題，解決問題的才能。注意：做以上練習(xí)時(shí)，學(xué)生板演，其余學(xué)生在位上做；板演后假如發(fā)現(xiàn)有錯(cuò)或有其他解法，下面同學(xué)可主動(dòng)上去糾正或?qū)懗鲎约旱牟煌夥ǎ缓罄蠋熯M(jìn)展講評(píng)。從而調(diào)動(dòng)學(xué)生的參與意識(shí)。分析：要解決這個(gè)問題，應(yīng)先假設(shè)方程有實(shí)根，然后根據(jù)根的判別式的逆定理，得出0，再由0解這個(gè)不等式，從而求出a的取值范圍，進(jìn)而得出a的正整數(shù)解。 注意：本考慮題是我補(bǔ)充的一個(gè)用逆定理來解決的問題，以穩(wěn)固逆定理的運(yùn)用方法，此題讓學(xué)生自己分析，老師只幫助學(xué)生理清思路，最后讓學(xué)生自己完成。<七>歸納小結(jié)【老師】1今天我們是在一元二次方程解法的根底上，學(xué)習(xí)了根的判別式的應(yīng)用，它在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要地位，是中考命題的重要知識(shí)點(diǎn)，所以必須結(jié)實(shí)掌握好它。 2注意根的判別式定理與逆定理的使用區(qū)別：一般當(dāng)值的符號(hào)時(shí)，使用定理；當(dāng)方程根的情況時(shí)，使用逆定理。 判別式的情況根 的 情 況定 理 與 逆 定 理000【說明】這樣設(shè)計(jì)是為了使