勾股定理綜合難題

1、用面積證明勾股定理方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形。 圖（1）中，所以。 方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形。 圖（2）中，所以。方法三：將四個(gè)全等的直角三角形分別拼成如圖（3）1和（3）2所示的兩個(gè)形狀相同的正方形。 在（3）1中，甲的面積=（大正方形面積）（4個(gè)直角三角形面積）, 在（3）2中，乙和丙的面積和=（大正方形面積）（4個(gè)直角三角形面積）, 所以，甲的面積=乙和丙的面積和，即：.方法四：如圖（4）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形。 ，所以。1 如圖，圓柱的高為10 cm，底面半徑為2 cm.，在下底面的A點(diǎn)處有一只螞蟻，它想吃到上底

2、面上與A點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)處，需要爬行的最短路程是多少?2 如圖，長(zhǎng)方體的高為3 cm，底面是邊長(zhǎng)為2 cm的正方形. 現(xiàn)有一小蟲(chóng)從頂點(diǎn)A出發(fā)，沿長(zhǎng)方體側(cè)面到達(dá)頂點(diǎn)C處，小蟲(chóng)走的路程最短為多少厘米? 答案AB=53、一只螞蟻從棱長(zhǎng)為1的正方體紙箱的B點(diǎn)沿紙箱爬到D點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是_。BCBACD 4、如圖，小紅用一張長(zhǎng)方形紙片ABCD進(jìn)行折紙，已知該紙片寬AB為8cm，長(zhǎng)BC為10cm當(dāng)小紅折疊時(shí)，頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處（折痕為AE）想一想，此時(shí)EC有多長(zhǎng)？5如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)分別為4、8的長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊，使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合，則EB的長(zhǎng)是（ ）A3B4 C D5 6已知：如圖，

3、在ABC中，C=90°，B=30°，AB的垂直平分線交BC于D，垂足為E，BD=4cm求AC的長(zhǎng)7、如圖，有一個(gè)直角三角形紙片，兩直角邊AC=6，BC=8，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使其落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD的長(zhǎng)為 8、如圖，在矩形中，將矩形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，落在處，若，則折痕的長(zhǎng)為 。9、如圖，已知：點(diǎn)E是正方形ABCD的BC邊上的點(diǎn)，現(xiàn)將DCE沿折痕DE向上翻折，使DC落在對(duì)角線DB上，則EBCE_10、如圖，AD是ABC的中線，ADC45o，把ADC沿AD對(duì)折，點(diǎn)C落在C´的位置，若BC2，則BC´_CBAAFEDCBDC題

4、5圖11如圖1，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC6cm，BC8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于（ ）A.2cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm圖1D12、有一個(gè)直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將直角邊AC沿CAB的角平分線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，你能求出CD的長(zhǎng)嗎？ ADBCEF13、如圖，在ABC中，B=，AB=BC=6，把ABC進(jìn)行折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，BD:DC=1:2，折痕為EF，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在AC上，求EC的長(zhǎng)。14已知，如圖長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此

5、長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，則ABE的面積為（） A、6cm2B、8cm2C、10cm2D、12cm2ABEFDC第11題圖15如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，已知AB3，AD9，求BE的長(zhǎng)16、如圖，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)都為1求圖中格點(diǎn)四邊形ABCD的面積。17、如圖，已知：在中，分別以此直角三角形的三邊為直徑畫(huà)半圓，試說(shuō)明圖中陰影部分的面積與直角三角形的面積相等圖818如圖8，有一塊塑料矩形模板ABCD，長(zhǎng)為10cm，寬為4cm，將你手中足夠大的直角三角板 PHF 的直角頂點(diǎn)P落在AD邊上(不與A、D重合)，在AD上適當(dāng)移動(dòng)三角板頂點(diǎn)P：能否使你的三角板兩直角邊

6、分別通過(guò)點(diǎn)B與點(diǎn)C？若能，請(qǐng)你求出這時(shí) AP 的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由再次移動(dòng)三角板位置，使三角板頂點(diǎn)P在AD上移動(dòng)，直角邊PH 始終通過(guò)點(diǎn)B，另一直角邊PF與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q，與BC交于點(diǎn)E，能否使CE2cm？若能，請(qǐng)你求出這時(shí)AP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)你說(shuō)明理由21能.設(shè)APx米，由于BP216+x2，CP216+(10x)2，而在RtPBC中，有BP2+ CP2BC2，即16+x2+16+(10x)2100，所以x210x+160，即(x5)29，所以x5±3，所以x8，x2，即AP8或2，能.仿照可求得AP4.19.如圖ABC中，則MN= 4 20、直角三角形的面積為，斜邊上的

7、中線長(zhǎng)為，則這個(gè)三角形周長(zhǎng)為（ ）（A） （B） （C） （D）解:設(shè)兩直角邊分別為,斜邊為,則,. 由勾股定理,得. 所以. 所以.所以.故選（C）21在中,邊上有2006個(gè)不同的點(diǎn),記,則=_.解:如圖,作于,因?yàn)?則.由勾股定理,得.所以所以.因此.22如圖所示，在中,且,求的長(zhǎng). 解:如右圖：因?yàn)闉榈妊苯侨切?所以. 所以把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到,則. 所以.連結(jié). 所以為直角三角形. 由勾股定理,得.所以. 因?yàn)樗? 所以. 所以.23、如圖，在ABC中，AB=AC=6，P為BC上任意一點(diǎn)，請(qǐng)用學(xué)過(guò)的知識(shí)試求PC·PB+PA2的值。ABPC24、如圖在RtABC中,，在RtABC

8、的外部拼接一個(gè)合適的直角三角形，使得拼成的圖形是一個(gè)等腰三角形。如圖所示：要求：在兩個(gè)備用圖中分別畫(huà)出兩種與示例圖不同的拼接方法，在圖中標(biāo)明拼接的直角三角形的三邊長(zhǎng)（請(qǐng)同學(xué)們先用鉛筆畫(huà)出草圖，確定后再用0.5mn的黑色簽字筆畫(huà)出正確的圖形）解：要在RtABC 的外部接一個(gè)合適的直角三角形，使得拼成的圖形是一個(gè)等腰三角形，關(guān)鍵是腰與底邊的確定。要求在圖中標(biāo)明拼接的直角三角形的三邊長(zhǎng)，這需要用到勾股定理知識(shí)。下圖中的四種拼接方法供參考。25如圖，A、B兩個(gè)村子在河CD的同側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為AC=1km，BD=3km，CD=3km，現(xiàn)在河邊CD上建一水廠向A、B兩村輸送自來(lái)水，鋪設(shè)水管的

9、費(fèi)用為20000元/千米，請(qǐng)你在CD選擇水廠位置O，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最省，并求出鋪設(shè)水管的總費(fèi)用F。26已知：如圖，ABC中，C = 90°，點(diǎn)O為ABC的三條角平分線的交點(diǎn)，ODBC，OEAC，OFAB，點(diǎn)D、E、F分別是垂足，且BC = 8cm，CA = 6cm，則點(diǎn)O到三邊AB，AC和BC的距離分別等于                       &#

10、160;         cmCOABDEF第26題圖ABPC第28題圖27（8分）如圖，在ABC中，AB=AC，P為BC上任意一點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明：AB2AP2=PB×PC。28、如圖，已知：，于P求證： AB小河?xùn)|北牧童小屋29（本題滿(mǎn)分6分）如圖，一個(gè)牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完成這件事情所走的最短路程是多少？30. （本題滿(mǎn)分6分）如圖所示，某住宅社區(qū)在相鄰兩樓之間修建一個(gè)上方是一個(gè)半圓，下方是長(zhǎng)方形的仿古通道，現(xiàn)

11、有一輛卡車(chē)裝滿(mǎn)家具后，高4米，寬2.8米，請(qǐng)問(wèn)這輛送家具的卡車(chē)能否通過(guò)這個(gè)通道.31在一棵樹(shù)的10米高B處有兩只猴子，一只猴子爬下樹(shù)走到離樹(shù)20米處的池塘的A處；另一只爬到樹(shù)頂D后直接躍到A處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等，則這棵樹(shù)高多少米?32在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面1米，一陣風(fēng)吹來(lái)，紅蓮移到一邊，花朵齊及水面，已知紅蓮移動(dòng)的水平距離為2米，求這里的水深是多少米?33長(zhǎng)為4 m的梯子搭在墻上與地面成45°角，作業(yè)時(shí)調(diào)整為60°角(如圖所示)，則梯子的頂端沿墻面升高了_m34已知：如圖，ABC中，C90°，D為AB的中點(diǎn)，E、F分別在A

12、C、BC上，且DEDF求證：AE2BF2EF235已知：如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，E為CB的四等分點(diǎn)且CE，求證：AFFE36已知ABC中，a2b2c210a24b26c338，試判定ABC的形狀，并說(shuō)明你的理由37已知a、b、c是ABC的三邊，且a2c2b2c2a4b4，試判斷三角形的形狀38如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為1cm和3cm，高為6cm如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)四個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要多長(zhǎng)?如果從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)四個(gè)側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要多長(zhǎng)?39、a、b為任意正數(shù)，且a>b，求證：邊長(zhǎng)為2ab、 a2b2、a2+b2的

13、三角形是直角三角形40. 三角形的三邊長(zhǎng)為,則這個(gè)三角形是( )（A） 等邊三角形 （B） 鈍角三角形 （C） 直角三角形 （D） 銳角三角形.41.（12分）如圖，某沿海開(kāi)放城市A接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，在該市正南方向100km的B處有一臺(tái)風(fēng)中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移動(dòng)，已知城市A到BC的距離AD=60km，那么臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間從B點(diǎn)移到D點(diǎn)？如果在距臺(tái)風(fēng)中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺(tái)風(fēng)的破壞的危險(xiǎn)，正在D點(diǎn)休閑的游人在接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)后的幾小時(shí)內(nèi)撤離才可脫離危險(xiǎn)？ABCD第24題圖42.（14分）ABC中，BC，AC，AB，若C=90°，如圖（1），根據(jù)勾股定理，則，

14、若ABC不是直角三角形，如圖（2）和圖（3），請(qǐng)你類(lèi)比勾股定理，試猜想與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論. . 解：若ABC是銳角三角形，則有a2+b2>c2 若ABC是鈍角三角形，C為鈍角，則有a2+b2<c2 當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，證明：過(guò)點(diǎn)A作ADCB，垂足為D。設(shè)CD為x，則有DB=ax 根據(jù)勾股定理得 b2x2c2(ax) 2即 b2x2c2a22axx 2a2b2c22ax a>0，x>02ax>0a2+b2>c2 當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，43（10分）如圖，A市氣象站測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在A市正東方向300千米的B處，以10 千米/時(shí)的速度向北偏西60

15、6;的BF方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心200千米范圍內(nèi)是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域 （1）A市是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？寫(xiě)出你的結(jié)論并給予說(shuō)明； （2）如果A市受這次臺(tái)風(fēng)影響，那么受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間有多長(zhǎng)？44、將一根24cm的筷子，置于底面直徑為15cm，高8cm的圓柱形水杯中，如圖所示，設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度為hcm，則h的取值范圍是（）Ah17cm Bh8cmC15cmh16cm D7cmh16cm45如圖，已知：，于P. 求證：. 思路點(diǎn)撥: 圖中已有兩個(gè)直角三角形，但是還沒(méi)有以BP為邊的直角三角形. 因此，我們考慮構(gòu)造一個(gè)以BP為一邊的直角三角形. 所以連結(jié)BM. 這樣，實(shí)際上就得到了4個(gè)直角三角形. 那

16、么根據(jù)勾股定理，可證明這幾條線段的平方之間的關(guān)系.解析：連結(jié)BM，根據(jù)勾股定理，在中，. 而在中，則根據(jù)勾股定理有. 又 （已知），. 在中，根據(jù)勾股定理有，. 46【變式2】已知：如圖，B=D=90°，A=60°，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。分析：如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié)AC，或延長(zhǎng)AB、DC交于F，或延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)E，根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進(jìn)一步根據(jù)本題給定的邊選第三種較為簡(jiǎn)單。解析：延長(zhǎng)AD、BC交于E。A=60°，B=90°，E=30°。AE=2AB=8，CE=2CD=4，BE2=AE2-

17、AB2=82-42=48，BE=。 DE2= CE2-CD2=42-22=12，DE=。S四邊形ABCD=SABE-SCDE=AB·BE-CD·DE=47【變式】一輛裝滿(mǎn)貨物的卡車(chē)，其外形高2.5米，寬1.6米，要開(kāi)進(jìn)廠門(mén)形狀如圖的某工廠，問(wèn)這輛卡車(chē)能否通過(guò)該工廠的廠門(mén)?【答案】由于廠門(mén)寬度是否足夠卡車(chē)通過(guò)，只要看當(dāng)卡車(chē)位于廠門(mén)正中間時(shí)其高度是否小于CH如圖所示，點(diǎn)D在離廠門(mén)中線0.8米處，且CD， 與地面交于H解：OC1米(大門(mén)寬度一半)，OD0.8米（卡車(chē)寬度一半）在RtOCD中，由勾股定理得：CD.米，C.（米）.（米）因此高度上有0.4米的余量，所以卡車(chē)能通過(guò)廠門(mén)4

18、8、如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且QPN30°，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP160m。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周?chē)?00m以?xún)?nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響？請(qǐng)說(shuō)明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？ 思路點(diǎn)撥：（1）要判斷拖拉機(jī)的噪音是否影響學(xué)校A，實(shí)質(zhì)上是看A到公路的距離是否小于100m, 小于100m則受影響，大于100m則不受影響，故作垂線段AB并計(jì)算其長(zhǎng)度。（2）要求出學(xué)校受影響的時(shí)間，實(shí)質(zhì)是要求拖拉機(jī)對(duì)學(xué)校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機(jī)行至哪一點(diǎn)開(kāi)始影響學(xué)校，行至哪一點(diǎn)后

19、結(jié)束影響學(xué)校。 解析：作ABMN，垂足為B。 在 RtABP中，ABP90°，APB30°， AP160， ABAP80。 （在直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半） 點(diǎn) A到直線MN的距離小于100m,這所中學(xué)會(huì)受到噪聲的影響。 如圖，假設(shè)拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛到點(diǎn)C處學(xué)校開(kāi)始受到影響，那么AC100(m)，由勾股定理得： BC21002-8023600, BC60。 同理，拖拉機(jī)行駛到點(diǎn)D處學(xué)校開(kāi)始脫離影響，那么，AD100(m)，BD60(m),CD120(m)。 拖拉機(jī)行駛的速度為 : 18km/h5m/s t120m÷5m/

20、s24s。 答：拖拉機(jī)在公路 MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校會(huì)受到噪聲影響，學(xué)校受影響的時(shí)間為24秒。 （一）轉(zhuǎn)化的思想方法我們?cè)谇笕切蔚倪吇蚪牵蜻M(jìn)行推理論證時(shí)，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題來(lái)解決49、如圖所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DEDF，若BE=12，CF=5求線段EF的長(zhǎng)。 思路點(diǎn)撥：現(xiàn)已知BE、CF，要求EF，但這三條線段不在同一三角形中，所以關(guān)鍵是線段的轉(zhuǎn)化，根據(jù)直角三角形的特征，三角形的中線有特殊的性質(zhì)，不妨先連接AD解：連接AD因?yàn)锽AC=90°，AB=AC又因?yàn)锳D為AB

21、C的中線，所以AD=DC=DBADBC且BAD=C=45°因?yàn)镋DA+ADF=90°又因?yàn)镃DF+ADF=90°所以EDA=CDF所以AEDCFD（ASA）所以AE=FC=5同理：AF=BE=12在RtAEF中，根據(jù)勾股定理得：，所以EF=13?？偨Y(jié)升華：此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)。通過(guò)此題，我們可以了解：當(dāng)已知的線段和所求的線段不在同一三角形中時(shí)，應(yīng)通過(guò)適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化把它們放在同一直角三角形中求解。50 如圖，在等腰ABC中，ACB=90°，D、E為斜邊AB上的點(diǎn)，且DCE=45°。求證：DE2=AD2+BE2。分析：利用全等

22、三角形的旋轉(zhuǎn)變換，進(jìn)行邊角的全等變換，將邊轉(zhuǎn)移到一個(gè)三角形中，并構(gòu)造直角三角形。51 如圖，在A BC中，AB=13,BC=14,A C=15，則BC邊上的高A D= 。答案12。52 如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=8，BC=4，將長(zhǎng)方形沿AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，則重疊部分AFC的面積是 。設(shè)EF=x，那么AF=CF=8-x，AE2+EF2=AF2,所以42+x2=(8-x)2,解得x=3，S=4*8/2-3*4/2=10答案：1053 在ABC中，AB=15 ,AC=20,BC邊上的高A D=12，試求BC邊的長(zhǎng).答案25或7 54 在A BC中，D是BC所在直線上一點(diǎn)，若AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17，求ABC的面積。答案84或3655. 若