勾股定理難題-提高

1、評(píng)卷人得分一、選擇題1下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（ ）A4，5，6 B3，4，5 C2，3，4 D1，2，32給出下列命題：在直角三角形ABC中，已知兩邊長(zhǎng)為3和4，則第三邊長(zhǎng)為5；三角形的三邊a、b、c滿足，則C=90°；ABC中，若A：B：C=1：5：6，則ABC是直角三角形；ABC中，若 a：b：c=1：2： ，則這個(gè)三角形是直角三角形其中，假命題的個(gè)數(shù)為（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè) 3如圖，如果把ABC的頂點(diǎn)A先向下平移3格，再向左平移1格到達(dá)A點(diǎn)，連接AB，則線段AB與線段AC的關(guān)系是（ ）A垂直 B相等 C平分 D平分且垂直4下面說(shuō)法正確的是個(gè)數(shù)有（

2、）如果三角形三個(gè)內(nèi)角的比是123，那么這個(gè)三角形是直角三角形；如果三角形的一個(gè)外角等于與它相鄰的一個(gè)內(nèi)角，則這么三角形是直角三角形；若三角形的三條高的交點(diǎn)恰好是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是直角三角形；如果A=B=C，那么ABC是直角三角形；若三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另兩個(gè)內(nèi)角之差，那么這個(gè)三角形是直角三角形；在ABC中，若AB=C，則此三角形是直角三角形。 A 3個(gè) B 4個(gè) C 5個(gè) D 6個(gè)5如圖，ABC中，AB=AC=5,BC=6，M為BC的中點(diǎn)，MNAC于N點(diǎn)，則MN=（ ）A B C D6下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是()A14，36，39B8，24，25C8，15，17D10，20，

3、267（2013貴州安順）如圖，有兩棵樹(shù)，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹(shù)相距8米，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，則小鳥(niǎo)至少飛行（）A8米B10米C12米D14米8如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，ADBC，ABC=60°，BCD=30°，BC=6，那么ACD的面積是（）A B C2 D 第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說(shuō)明評(píng)卷人得分二、新添加的題型評(píng)卷人得分三、解答題9在RtABC中，CAB=90°，AB=AC（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A在ABC外作直線MN，BMMN于M，CNMN于N判斷線段MN、BM、CN之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明；若AM=，B

4、M=，AB=，試?yán)脠D驗(yàn)證勾股定理=；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A在ABC內(nèi)作直線MN，BMMN于M，CNMN于N，判斷線段MN、BM、CN之間有何數(shù)量關(guān)系？（直接寫(xiě)出答案）10（6分）小王剪了兩張直角三角形紙片，進(jìn)行了如下的操作：操作一：如圖1，將RtABC沿某條直線折疊，使斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)A與B重合， 折痕為DE（1）如果AC6cm，BC8cm，可求得ACD的周長(zhǎng)為 ； （2）如果CAD:BAD=4:7，可求得B的度數(shù)為 ； 操作二：如圖2，小王拿出另一張RtABC紙片，將直角邊AC沿直線AD折疊， 使它落在斜邊AB上，且與AE重合，若AC9cm，BC12cm，請(qǐng)求出CD的長(zhǎng)11如圖，有一塊直角三角形

5、紙片，兩直角邊AC5cm，BC12cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它恰好落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長(zhǎng)12如圖，學(xué)校B前面有一條筆直的公路，學(xué)生放學(xué)后走AB，BC兩條路可到達(dá)公路，經(jīng)測(cè)量BC6km，BA8km，AC10km，現(xiàn)需修建一條路使學(xué)校到公路距離最短，請(qǐng)你幫助學(xué)校設(shè)計(jì)一種方案，并求出所修路的長(zhǎng)13如圖，ABC中，ACB90°，AC9，BC12，求RtABC中斜邊AB上的高CD14閱讀理解題： 如圖，在ABC中，AD是BC邊上的中線，且AD=BC求證：BAC=90°15如圖是用硬紙板做成的四個(gè)全等的直角三角形(兩直角邊長(zhǎng)分別是a、b，斜邊長(zhǎng)為c)和一個(gè)

6、正方形(邊長(zhǎng)為c)請(qǐng)你將它們拼成一個(gè)能驗(yàn)證勾股定理的圖形(1)畫(huà)出拼成的這個(gè)圖形的示意圖；(2)用(1)中畫(huà)出的圖形驗(yàn)證勾股定理16課間，小明拿著老師的等腰三角板玩，不小心掉到兩墻之間，如圖（1）求證：ADCCEB；（2）從三角板的刻度可知AC=25cm，請(qǐng)你幫小明求出砌墻磚塊的厚度a的大小（每塊磚的厚度相等）17（10分）如圖，在ABC中，AB13，BC10， BC邊上的中線AD12（1）AD平分BAC嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由（2）求：ABC的面積評(píng)卷人得分四、填空題18直角三角形兩邊長(zhǎng)分別為3厘米、4厘米，則第三邊的長(zhǎng)為 。19一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為9和40，則第三邊長(zhǎng)的平方是 20若一個(gè)直角

7、三角形的兩邊的長(zhǎng)分別為、，且滿足，則第三邊的長(zhǎng)為_(kāi)21已知 ,則由此為三邊的三角形是 三角形22ABC的三邊長(zhǎng)分別為m21，2m，m21，則最大角為_(kāi)23在長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AD3cm，AB9cm，按如圖方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，則DE 24如圖，在RtABC中，ABC是直角，AB=3，BC=4，P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)BP=x，若能在AC邊上找到一點(diǎn)Q，使BQP=90°，則x的取值范圍是 25如圖，OP1，過(guò)P作PP1OP且PP11，得；再過(guò)P1作P1P2OP1且P1P21，得；又過(guò)P2作P2P3OP2且P2P31，得OP32依此法繼續(xù)作下去，得OP2012_評(píng)卷人

8、得分五、計(jì)算題參考答案1B【解析】試題分析：A42+5262，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；B32+42=52，能構(gòu)成直角三角形，故符合題意；C22+3242，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；D12+2232，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意故選B考點(diǎn)：勾股數(shù)2B【解析】試題分析：命題中若4是直角邊，則第三邊長(zhǎng)為5，若4為斜邊，則第三邊長(zhǎng)為，故錯(cuò)誤；命題中應(yīng)該是B=90°，故錯(cuò)誤；命題、均正確；故假命題有2個(gè)；故選B.考點(diǎn)：真命題與假命題.3D【解析】試題分析：先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再利用勾股定理結(jié)合網(wǎng)格結(jié)構(gòu)即可判斷線段AB與線段AC的關(guān)系：如圖，將點(diǎn)A先向下平移3格，再向左平移

9、1格到達(dá)A點(diǎn)，連接AB，與線段AC交于點(diǎn)OAO=OB=，AO=OC=2，線段AB與線段AC互相平分，又AOA=45°+45°=90°，ABAC，線段AB與線段AC互相垂直平分故選D考點(diǎn)：1.網(wǎng)格問(wèn)題；2.平移的性質(zhì)；3.勾股定理.4D.【解析】試題分析：三角形三個(gè)內(nèi)角的比是1：2：3，設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為x，2x，3x，x+2x+3x=180°，解得x=30°，3x=3×30°=90°，此三角形是直角三角形，故本小題正確；三角形的一個(gè)外角與它相鄰的一個(gè)內(nèi)角的和是180°，若三角形的一個(gè)外角等于與它相鄰

10、的一個(gè)內(nèi)角，則此三角形是直角三角形，故本小題正確；直角三角形的三條高的交點(diǎn)恰好是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，若三角形的三條高的交點(diǎn)恰好是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是直角三角形，故本小題正確；A=B=C，設(shè)A=B=x，則C=2x，x+x+2x=180°，解得x=45°，2x=2×45°=90°，此三角形是直角三角形，故本小題正確；三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和，三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另兩個(gè)內(nèi)角之差，三角形一個(gè)內(nèi)角也等于另外兩個(gè)內(nèi)角的和，這個(gè)三角形中有一個(gè)內(nèi)角和它相鄰的外角是相等的，且外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)，有一個(gè)內(nèi)角一定是90°，

11、故這個(gè)三角形是直角三角形，故本小題正確；三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和，又一個(gè)內(nèi)角也等于另外兩個(gè)內(nèi)角的和，由此可知這個(gè)三角形中有一個(gè)內(nèi)角和它相鄰的外角是相等的，且外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)，有一個(gè)內(nèi)角一定是90°，故這個(gè)三角形是直角三角形，故本小題正確故選D考點(diǎn)：1.三角形內(nèi)角和定理；2.三角形的外角性質(zhì)5C【解析】試題分析：連接AM，AB=AC，點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，AMCM，BM=CM，AB=AC=5，BC=6，BM=CM=3，在RtABM中，AB=5，BM=3，根據(jù)勾股定理得：AM=，又SAMC=MNAC=AMMC，MN=故選C考點(diǎn)：1.勾股定理；2.等腰三角形的性質(zhì)6C【解

12、析】滿足a2b2c2的三個(gè)正整數(shù)a，b，c是勾股數(shù)，因?yàn)?2152289，172289，所以82152172，即8、15、17為勾股數(shù)同理可判斷其余三組數(shù)均不是勾股數(shù)7B【解析】如圖，設(shè)大樹(shù)高為AB10米，小樹(shù)高為CD4米，過(guò)C點(diǎn)作CEAB于E，則四邊形EBDC是矩形連接AC，則EBCD4米，EC8米，AEABEB1046（米）在RtAEC中，米8A【解析】試題分析：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AEBC于E，過(guò)點(diǎn)D作DFBC于F設(shè)AB=AD=x又ADBC，四邊形AEFD是矩形形，AD=EF=x在RtABE中，ABC=60°，則BAE=30°，BE=AB=x，DF=AE=x，在RtCDF中

13、，F(xiàn)CD=30°，則CF=DFcot30°=x又BC=6，BE+EF+CF=6，即x+x+x=6，解得 x=2ACD的面積是：ADDF=x×x=×22=故選A考點(diǎn)：1.勾股定理2.含30度角的直角三角形9（1）證明見(jiàn)解析；（2）MN=BM-CN.【解析】試題分析：（1）利用已知得出MAB=ACN，進(jìn)而得出MABNCA，進(jìn)而得出BM=AN，AM=CN，即可得出線段MN、BM、CN之間的數(shù)量關(guān)系；利用S梯形MBCN=SMAB+SABC+SNCA=ab+c2+ab，S梯形MBCN=（BM+CN）×MN=（a+b）2，進(jìn)而得出答案；（2）利用已知得出M

14、AB=ACN，進(jìn)而得出MABNCA，進(jìn)而得出BM=AN，AM=CN，即可得出線段MN、BM、CN之間的數(shù)量關(guān)系試題解析：（1）MN=BM+CN；理由：MAB+NAC=90°，ACN+NAC=90°，MAB=ACN，在MAB和NCA中，MABNCA（AAS），BM=AN，AM=CN，MN=AM+AN=BM+CN；由知MABNCA，CN=AM=a，AN=BM=b，AC=BC=c，MN=a+b，S梯形MBCN=SMAB+SABC+SNCA=ab+c2+ab，S梯形MBCN=（BM+CN）×MN=（a+b）2，ab+c2+ab=（a+b）2，a2+b2=c2；（2）MN=

15、BM-CN；理由：MAB+NAC=90°，ACN+NAC=90°，MAB=ACN，在MAB和NCA中，MABNCA（AAS），BM=AN，AM=CN，MN=AN-AM=BM-CN考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)10操作一（1） 14cm （2） 35° 操作二 CD=45【解析】試題分析：操作一利用對(duì)稱找準(zhǔn)相等的量：BD=AD，BAD=B，然后分別利用周長(zhǎng)及三角形的內(nèi)角和可求得答案；操作二 利用折疊找著AC=AE，利用勾股定理列式求出AB，設(shè)CD=x，表示出BD，AE，在RtBDE中，利用勾股定理可得答案試題解析：操作一（1） 14cm （2） 35°操作二

16、 由折疊知：AE=AC=9，DEAB，設(shè)CD=DE=X，則BD=12-X， =81+144=225，AB=15 BE=15-9=6，又，=+36， X=，即CD=45cm考點(diǎn)：軸對(duì)稱，線段的垂直平分線11CD的長(zhǎng)為cm【解析】試題分析：利用翻折變換的性質(zhì)得出DE=CD，AC=AE=5cm，DEB=90°，進(jìn)而利用勾股定理得出x的值試題解析：有一塊直角三角形紙片兩直角邊AC=5cm，BC=12cm，AB=13cm，將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，DE=CD，AC=AE=5cm，DEB=90°，設(shè)CD=xcm，則BD=（12x）cm，故DE2+BE

17、2=BD2，即x2+（135）2=（12x）2，解得：x=，則CD的長(zhǎng)為cm考點(diǎn)：勾股定理124.8km【解析】解：過(guò)B作AC的垂線，垂足為D，線段BD就是要修的路在ABC中，AB2BC28262100，而AC2102100，AB2BC2AC2，即ABC是直角三角形，且ABC90°由，得（km），即所修路長(zhǎng)為4.8km13 【解析】解：在RtABC中，由三角形的面積公式得，即斜邊AB上的高CD是14（1）如果一個(gè)三角形的一邊上的中線的長(zhǎng)等于這條邊長(zhǎng)的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.（2）?！窘馕觥吭囶}分析：根據(jù)題目的已知條件和結(jié)論寫(xiě)出判斷方法即可試題解析：（1）如果一個(gè)三角形的一邊

18、上的中線的長(zhǎng)等于這條邊長(zhǎng)的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。 （2）因?yàn)檫@個(gè)三角形的一條邊上的中線長(zhǎng)是這條邊長(zhǎng)的一半，所以這個(gè)三角形是直角三角形。 設(shè)這個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為a、b，則a+b=1+根據(jù)勾股定理，得a2+b2=22a2+b2=4 因?yàn)椋╝+b）2= a2+b2+2ab即（1+）2=4+2ab所以 所以這個(gè)三角形的面積為 考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線15(1)(答案不唯一)如圖(2)驗(yàn)證：大正方形的面積可表示為(ab)2，又大正方形的面積也可表示為，即a2b22abc22aba2b2c2即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方【解析】(1)(答案不唯一)如圖(2)驗(yàn)證

19、：大正方形的面積可表示為(ab)2，又大正方形的面積也可表示為，即a2b22abc22aba2b2c2即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方16（1）證明見(jiàn)解析；（2）砌墻磚塊的厚度a為5cm【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意可知AC=BC，ACB=90°，ADDE，BEDE，進(jìn)而得到ADC=CEB=90°，再根據(jù)等角的余角相等可得BCE=DAC，從而得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意得：AD=4a，BE=3a，根據(jù)全等可得DC=BE=3a，由勾股定理可得（4a）2+（3a）2=252，再解即可試題解析：（1）根據(jù)題意得：AC=BC，ACB=90°，ADDE，BEDE，A

20、DC=CEB=90°，ACD+BCE=90°，ACD+DAC=90°，BCE=DAC，在ADC和CEB中，ADCCEB（AAS）；（2）由題意得：AD=4a，BE=3a，由（1）得：ADCCEB，DC=BE=3a，在RtACD中：AD2+CD2=AC2，（4a）2+（3a）2=252，a0，解得a=5，答：砌墻磚塊的厚度a為5cm考點(diǎn)1.：全等三角形的應(yīng)用2.勾股定理的應(yīng)用17（1）平分，理由詳見(jiàn)解析；（2）60【解析】試題分析：（1）AD平分BAC，理由為：BC邊上的中線ADBD=5在ABC中，AB=13，AD=12，BD=5，252=242+72，即：AB2=AD2+BD2 ADB=90°，即ADBC， AD垂直平分BCAB=ACAD平分BAC由（1）得AB=AC，AD垂直平分BCSABC=60考點(diǎn):1.等腰三角形的性質(zhì)；2.三角形面積的計(jì)算方法185cm或cm【解析】 試題分析：題中沒(méi)有指明哪個(gè)是直角邊哪個(gè)是斜邊，故應(yīng)該分情況進(jìn)行分析試題解析：（1）當(dāng)兩邊均為直角邊時(shí)，由勾股定理得，第三邊為5cm；（2）當(dāng)4為斜邊時(shí)，由勾股定理得，第三邊為cm；故直角三角形的第三邊應(yīng)該為5cm或cm考點(diǎn)：勾股定理191681或1519【解析】設(shè)第三邊為x（1）若40是直角邊，則第三邊x