全國高中數(shù)學聯(lián)賽江蘇賽區(qū)復賽VIP

1、2010年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江蘇賽區(qū)復賽一、填空題（本題滿分64分，每小題8分）1已知數(shù)列an、bn滿足an2，bnlog(a1a2a3an)，nN*，則數(shù)列bn的通項公式是 答案：bn，nN* 簡解：由an2，得a1a2a3an22，nN*所以bn，nN*2已知兩點M(0，2)、N(3，6)到直線l的距離分別為1和4，則滿足條件的直線l的條數(shù)是 答案：3簡解：易得MN5，以點M為圓心，半徑1為的圓與以點N為圓心，半徑為4的圓外切，故滿足條件的直線l有3條3設函數(shù)f(x)ax2x已知f(3)f(4)，且當n8，nN*時，f(n)f(n1)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 答案：(，) 簡解：(方法一

2、) 因為當n8時，f(n)f(n1)恒成立，所以a0，此時f(n)f(n1)恒成立等價于f(8)f(9)，即64a881a9，解得a因為f(3)f(4)，所以9a316a4，解得a即a(，)(方法二)考察二次函數(shù)f(x)ax2x的對稱軸和開口方向因為當n8時，f(n)f(n1)恒成立，所以a0，且，解得a因為f(3)f(4)，所以，解得a即a(，)(第4題)CABDD1C1B1A1PQR4已知ABCDA1B1C1D1是邊長為3的正方體，點P、Q、R分別是棱AB、AD、AA1上的點，APAQAR1，則四面體C1PQR的體積為 答案：簡解：因為C1C面ABCD，所以C1CBD又因為ACBD，所以B

3、D面ACC1，所以AC1BD又PQBD，所以AC1PQ同理AC1QR所以AC1面PQR因為APAQAR1，所以PQQRRP因為AC13，且VAPQR 121，所以VCPQR ()23VAPQR 5數(shù)列滿足，N*記Tna1a2an，則T2010等于 答案：6簡解：易得：a12，a23，a3，a4，a1a2 a3a41 又a52a1，由歸納法易知an4an，nN* 所以T2010T2008a2009a2010a1a266骰子是一個立方體，個面上分別刻有、點. 現(xiàn)有質地均勻的骰子10只. 一次擲只、只骰子，分別得出各只骰子正面朝上的點數(shù)之和為的概率的比為 答案：1：6.提示：擲3只骰子，擲出6點的情

4、況為1，1，4；1，2，3；2，2，2. 共 3+3!+1=10種，概率為 . 擲4只骰子，擲出6點的情況為1，1，1，3；1，1，2，2. 共 4+=10種，概率為 . 所以概率的比為 : = 1:6 . ABDC(第7題)7在ABC中，已知BC5，AC4，cos(AB)，則cosC 答案： 簡解：因，故. 如圖，作AD，使BADB，則DACAB設ADBDx，則DC5x在ADC中，由余弦定理得x3再由余弦定理得cosC8在平面直角坐標系xOy中，拋物線y22x的焦點為F. 設M是拋物線上的動點，則的最大值為 答案： 簡解：設點M(x，y)，則()21令4x1t，當t0時，顯然1當t0時，則(

5、)211，且當t3，即x1時，等號成立所以的最大值為，此時點M的坐標為(1，)二、解答題（本題滿分16分）xOBAyCDEFP如圖，點P是半圓C：x2y21(y0)上位于x軸上方的任意一點，A、B是直徑的兩個端點，以AB為一邊作正方形ABCD，PC交AB于E，PD交AB于F，求證：BE，EF，F(xiàn)A成等比數(shù)列證明：設P(cos，sin)，C(1，2)，D(1，2)，E(x1，0)，F(xiàn)(x2，0)因為點P、E、C三點共線，所以，所以x11 5分由點P、F、D三點共線，所以，所以x21 10分所以BEx11，EFx2x1 ，F(xiàn)A所以BEFAEF2即BE，EF，F(xiàn)A成等比數(shù)列 16分三、解答題（本題滿

6、分20分）設實數(shù)，滿足，函數(shù)，. 若存在，使，求所有的實數(shù)的值解答：因為時，當且僅當時等號成立， 5分所以， 15分當且僅當及與時等號成立. 故. 20分四、解答題（本題滿分20分）數(shù)列an中，已知a1(1，2)，an1an33an23an，nN*，求證：(a1a2)( a31)(a2a3)( a41)(anan1)( an21)證明：(方法一) 由an1an33an23an，得an11(an1)3 令bnan1，則0b11，bn1bn3bn，0bn1 5分所以 (akak1)( ak21)(bkbk1)bk2(bkbk1)bk13(bkbk1)(bk3bk2bk1bkbk12bk13) (b

7、k4bk14) 15分所以 (a1a2)(a31)(a2a3)(a41)(anan1)(an21)(b14b24)(b24b34)(bn4bn14)(b14bn14)b14 20分(方法二) 由an1an33an23an，得an11(an1)3 令bnan1，則0b11，bn1bn3，0bn1 5分所以 (a1a2)( a31)(a2a3)( a41)(anan1)( an21)(b1b2) b3(b2b3) b4(bnbn1) bn2(b1b2) b23(b2b3) b33(bnbn1) bn13 20分2010年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江蘇賽區(qū)復賽參考答案與評分標準加 試一、（本題滿分40分）圓心

8、為I的的內(nèi)切圓分別切邊AC、AB于點E、F. 設M為線段EF上一點，證明：與面積相等的充分必要條件是.ABCEFPQMIDABCEFMI(第1題)證明：過點M作、，垂足分別為P、Q. 圓I切邊BC于點D，則, , .顯然AF=AE, 所以, 從而推知, 得. 又 , 所以與面積相等的充要條件是. 由可知，問題轉化為證明：的充分必要條件是. 10分首先證明：若，則. 由可知點M在直線ID上. 因為B、D、I、F四點共圓，所以，. 又 IE=IF，則由正弦定理得, 即 ，而. 所以. 30分 其次證明：若，則.設直線ID與EF交于點，則由上述證明可知，于是有，從而 . 故命題成立. 40分二、（本題滿分40分）將凸n邊形的邊與對角線染上紅、藍兩色之一，使得沒有三邊均為藍色的三角形. 對k=1, 2,，n，記是由頂點引出的藍色邊的條數(shù)，求證：.證明：不妨設，并且由點A向引出b條藍色邊，則之間無藍色邊，以外的個點，每點至多引出b條藍色邊，因此藍色邊總數(shù). 20分故 . 命題得證. 40分三、（本題滿分50分）設正整數(shù)的無窮數(shù)列（N）滿足，（），求的通項公式解：由已知得.若有某個，使，則 ， 10分從而，這顯然不可能，因為是正整數(shù)的無窮數(shù)列. 故數(shù)列中的項是嚴格遞增的. 20分從而由可知， ，. 30