矢量分析（課堂PPT）

1、：AA：一個(gè)只用大小描述的物理量。：一個(gè)只用大小描述的物理量。AAeA：AeAeAAA1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)：一個(gè)既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字一個(gè)既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字 母或帶箭頭的字母表示。母或帶箭頭的字母表示。：一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來(lái)表示一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來(lái)表示 ：?jiǎn)挝皇噶坎灰欢ㄊ浅Ｊ噶?。單位矢量不一定是常矢量?A矢量的幾何表示矢量的幾何表示：大小和方向均不變的矢量。大小和方向均不變的矢量。 zzyyxxAeAeAeAAAAAAAxyzcoscoscos)coscoscos(zyxeeeAAcoscoscoszyxAeeeezAxAAyA

2、zxyO（1）矢量的加減法）矢量的加減法)()()(zzzyyyxxxBAeBAeBAeBA 兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線, ,如圖所示。如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律矢量的加減符合交換律和結(jié)合律矢量的加法矢量的加法BAAB矢量的減法矢量的減法BAABB在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：()()ABCABCABBA（2 2）標(biāo)量乘矢量）標(biāo)量乘矢量（3）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）zzyyxxkAekAekAeAkzzyyxxBABABAABBAcos A B

3、B A1zzyyxxeeeeee0 xzzyyxeeeeeeAB矢量矢量 與與 的夾角的夾角ABA B A B 0BA/A BAB（4）矢量的矢積（叉積）矢量的矢積（叉積）sinABeBAn)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzyxzyxBBBAAAeeeBAABBAsinABBABA矢量矢量 與與 的叉積的叉積AB用坐標(biāo)分量表示為用坐標(biāo)分量表示為寫(xiě)成行列式形式為寫(xiě)成行列式形式為BAABBA若若 ，則，則BA/0BA若若 ，則，則（5 5）矢量的混合運(yùn)算）矢量的混合運(yùn)算CBCAC)BA(CBCAC)BA()BA(C)AC(B)CB(A C)BA(B

4、)CA()CB(A 三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過(guò)三條相互正交曲線的交點(diǎn)來(lái)三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過(guò)三條相互正交曲線的交點(diǎn)來(lái)確定。確定。 三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為；三條正交曲線稱為；三條正交曲線稱為；描述坐標(biāo)軸的量稱；描述坐標(biāo)軸的量稱為為。1.2 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系三種常用的正交曲線坐標(biāo)系z(mì) zx xy y),(111zrPrz1R1. 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 zeyexerzyx位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量線元矢量線元矢量zeyexelzyxddddzyelleSxzyxxdddddyxelleSzyxz

5、zddddd體積元體積元zyxVddddzxelleSyzxyyddddd坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量zyx,坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量zyxeee, 點(diǎn)點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 xezeyex yz直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元、體積元直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元、體積元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddddddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSz,坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量zeee,坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量zeerz位置矢量位置矢量zeeelzd

6、ddd線元矢量線元矢量zVdddd體積元體積元面元矢量面元矢量圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元2. 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系 ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSzrdddddrrelleSr ,r坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量 e ,e ,er坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量rerr 位置矢量位置矢量dsindddrererelr線元矢量線元矢量dddsind2rrV 體積元體積元面元矢量面元矢量球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元3.球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系 xeyezeeezecossin0cossi

7、n0001直角坐標(biāo)與直角坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系eezereeesin0cossincos0001圓柱坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)與直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系z(mì)ereeecossincossinsincos0 xeyesinsinsincoscossinofxy單位圓單位圓 直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系fxeyeeeoqrz單位圓單位圓 柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系qqzeeree4. 坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系q 如果物理量是標(biāo)量，稱該場(chǎng)為如果物理量是標(biāo)

8、量，稱該場(chǎng)為。 ：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。q 如果物理量是矢量，稱該場(chǎng)為如果物理量是矢量，稱該場(chǎng)為。 ：流速場(chǎng)、重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。：流速場(chǎng)、重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。q 如果場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，稱為如果場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，稱為，反之為，反之為。1.3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度時(shí)變標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：時(shí)變標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為： 、) t , z , y, x( u) t , z , y, x(F從從看，場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：看，場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：、)z ,y,x(u)z , y, x(F靜態(tài)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：靜態(tài)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為

9、：1.3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度: : 標(biāo)量場(chǎng)取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空標(biāo)量場(chǎng)取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空 間形成的曲面。間形成的曲面。C)z,y,x(u ：常數(shù)常數(shù)C 取一系列不同的值，就得到一系取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；列不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場(chǎng)等值面充滿場(chǎng)所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場(chǎng)等值面充滿場(chǎng)所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交。標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交。 ：: : 形象直觀地描述了物理量在空間形象直觀地描述了物理量在空間 的分布狀態(tài)。的分布狀態(tài)。標(biāo)量場(chǎng)的等值線標(biāo)量場(chǎng)的等值線( (面面) )：方向?qū)?shù)表示場(chǎng)沿某方向的空間變化率：方向?qū)?shù)表示場(chǎng)沿某方向的空間變化率

10、。00coscoscos|limMluuuuullxyz ： l0ul u(M)沿沿 方向增加；方向增加； l0ul u(M)沿沿 方向減?。环较驕p?。?l0ul u(M)沿沿 方向無(wú)變化。方向無(wú)變化。 M0lMl方向?qū)?shù)的概念方向?qū)?shù)的概念 l：方向?qū)?shù)既與點(diǎn)：方向?qū)?shù)既與點(diǎn)M0有關(guān)，也與有關(guān)，也與 方向有關(guān)。方向有關(guān)。：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？ 的方向余弦。的方向余弦。 l式中式中： coscoscos、：zueueueuz1圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系 ureurerueursin11球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系z(mì)ueyuexueuzyx

11、直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 ：描述標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向：描述標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向： ，其中，其中 取得最大值的方向取得最大值的方向max|luuel luelu標(biāo)量場(chǎng)的梯度是標(biāo)量場(chǎng)的梯度是，它在空間某，它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場(chǎng)變化最大（增大）點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場(chǎng)變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場(chǎng)的空間變化率。場(chǎng)的空間變化率。標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度在該方向上的投影。： u)u(f)u(fuvvu)uv(vu)vu(uC)Cu(C0標(biāo)量場(chǎng)的梯度

12、標(biāo)量場(chǎng)的梯度通過(guò)該點(diǎn)的等值面（或切平面）通過(guò)該點(diǎn)的等值面（或切平面） (1)由梯度計(jì)算公式，可求得由梯度計(jì)算公式，可求得P點(diǎn)的梯度為點(diǎn)的梯度為PzyxP)zyx)(zeyexe( 22 zyx),(zyxeee)eyexe( 2222111 設(shè)一標(biāo)量函數(shù)設(shè)一標(biāo)量函數(shù) ( x, y, z ) = x2y2z 描述了空間標(biāo)量場(chǎng)。求：描述了空間標(biāo)量場(chǎng)。求： (1) 該函數(shù)該函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) P(1,1,1) 處的梯度，以及表示該梯度方向的處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。單位矢量。 (2) 求該函數(shù)求該函數(shù) 沿單位矢量沿單位矢量方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn)方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn) P(1,1,1) 處的

13、方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。ozoyoxlcosecosecosee604560 表征其方向的單位矢量表征其方向的單位矢量 222(1,1,1)22221333(2 )(2 )( 1)xyzlxyzPPexeyeeeeexy (2) 由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿el 方向的方向方向的方向?qū)?shù)為導(dǎo)數(shù)為)eee()eyexe(elzyxzyxl21222122 212 yx而該點(diǎn)的梯度值為而該點(diǎn)的梯度值為 222(1,1,1)(2 )(2 )( 1)3Pxy 顯然，梯度顯然，梯度 描

14、述了描述了P P點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù)點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù) 的最大變化率，的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故即最大的方向?qū)?shù)，故 恒成立。恒成立。PPPl 對(duì)于給定的對(duì)于給定的P P 點(diǎn)，上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為點(diǎn)，上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為(1,1,1)1221222Pxyl：形象直觀地描述了矢量場(chǎng)的空間分：形象直觀地描述了矢量場(chǎng)的空間分 布狀態(tài)。布狀態(tài)。)z , y, x(Fzd)z , y, x(Fyd)z , y, x(Fxdzyx ：矢量線是這樣的曲線，其上每一矢量線是這樣的曲線，其上每一 點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場(chǎng)點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場(chǎng) 的方向。的方向。矢量線矢量線OM Fdrrrdr1.4

15、矢量場(chǎng)的通量與散度矢量場(chǎng)的通量與散度：如何定量描述矢量場(chǎng)的大??？如何定量描述矢量場(chǎng)的大?。?引入通量的概念。引入通量的概念。 ndddSSFSF eSnddSe S其中：其中：面積元矢量；面積元矢量；ne面積元的法向單位矢量；面積元的法向單位矢量；dSnddF eS穿過(guò)面積元穿過(guò)面積元 的通量。的通量。 如果曲面如果曲面 S 是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場(chǎng)對(duì)閉合曲面的通量是內(nèi)指向外，矢量場(chǎng)對(duì)閉合曲面的通量是),(zyxFSdne面積元矢量面積元矢量SSSeFSFddn0通過(guò)閉合曲面有通過(guò)閉合曲面有凈的矢量線穿出凈的矢量線穿出0有

16、凈的矢有凈的矢量線進(jìn)入量線進(jìn)入0進(jìn)入與穿出閉合曲進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等面的矢量線相等矢量場(chǎng)通過(guò)閉合曲面通量的三種可能結(jié)果矢量場(chǎng)通過(guò)閉合曲面通量的三種可能結(jié)果 閉合曲面的通量從閉合曲面的通量從建立了矢量場(chǎng)通過(guò)閉合曲面的通建立了矢量場(chǎng)通過(guò)閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源的關(guān)系。量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源的關(guān)系。 為了定量研究場(chǎng)與源之間的關(guān)系，需建立場(chǎng)空間任意點(diǎn)（小為了定量研究場(chǎng)與源之間的關(guān)系，需建立場(chǎng)空間任意點(diǎn)（小體積元）的通量源與矢量場(chǎng)（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利體積元）的通量源與矢量場(chǎng)（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：用極限方法得到這一關(guān)系：稱為矢量場(chǎng)的稱為

17、矢量場(chǎng)的。 散度是矢量通過(guò)包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元散度是矢量通過(guò)包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。體積之比的極限。F VS)z , y,x(Flim)z , y,x(FSV d0圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系)F(sinr)F(sinsinr)Fr(rrFr 11122zFF)F(Fz 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系z(mì)FyFxFFzyx 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 GF)GF(fFFf)Ff(k(Fk)Fk(fC)fC()C(CC為常量)為常矢量0000000000,(,),22xxxx y zFxxF xy zF x y zx000000000,(,),22xxxx y zFxxF xy

18、 zF x y zx000000(,)(,)22xxxFxxF xyzF xyzy zx y zx 由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為通量值為 不失一般性，令包圍不失一般性，令包圍P點(diǎn)的微體積點(diǎn)的微體積 V 為一直平行六面體，如為一直平行六面體，如圖所示。則圖所示。則oxy在直角坐標(biāo)系中計(jì)算在直角坐標(biāo)系中計(jì)算zzxyPF 根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度 表達(dá)式為表達(dá)式為 同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點(diǎn)同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點(diǎn)P 穿出該六面體的凈通量為穿出該六面體的凈通量為z

19、FyFxFVSFFzyxSVdlim0zyxzFzyxyFzyxxFSFzyxSdVSVFSFdd體積的剖分體積的剖分VS1S2en2en1S 從散度的定義出發(fā)，可從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)在空間任意閉以得到矢量場(chǎng)在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場(chǎng)的散面所包含體積中矢量場(chǎng)的散度的體積分，即度的體積分，即 散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。 例如：流速場(chǎng)。例如：流速場(chǎng)。 不是所有的矢量場(chǎng)都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通不是

20、所有的矢量場(chǎng)都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場(chǎng)的力線是閉合的，它對(duì)于任量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場(chǎng)的力線是閉合的，它對(duì)于任何閉合曲面的通量為零。但在場(chǎng)所定義的空間中閉合路徑的積何閉合曲面的通量為零。但在場(chǎng)所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。分不為零。1.5 矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度 如磁場(chǎng)沿任意閉合曲線的積分與通過(guò)閉合曲線所圍曲面的電如磁場(chǎng)沿任意閉合曲線的積分與通過(guò)閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即流成正比，即SCSzyxJIlzyxBd),(d),(00 上式建立了磁場(chǎng)的環(huán)流與電流的關(guān)系。上式建立了磁場(chǎng)的環(huán)流與電流的關(guān)系。 磁感應(yīng)線要磁感應(yīng)線要么穿過(guò)

21、曲面么穿過(guò)曲面磁感應(yīng)線要么同時(shí)磁感應(yīng)線要么同時(shí)穿入和穿出曲面穿入和穿出曲面磁感應(yīng)線磁感應(yīng)線q 如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場(chǎng)為如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場(chǎng)為，又稱為，又稱為。ClzyxFd),( 矢量場(chǎng)對(duì)于閉合曲線矢量場(chǎng)對(duì)于閉合曲線C 的環(huán)流定義為該矢量對(duì)閉合曲線的環(huán)流定義為該矢量對(duì)閉合曲線C 的線積分，即的線積分，即q 如果矢量場(chǎng)對(duì)于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場(chǎng)為如果矢量場(chǎng)對(duì)于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場(chǎng)為，能夠激發(fā)有旋矢量場(chǎng)的源稱為，能夠激發(fā)有旋矢量場(chǎng)的源稱為。電流是。電流是磁場(chǎng)的旋渦源。磁場(chǎng)的旋渦源。 矢量場(chǎng)的環(huán)流給出了矢量場(chǎng)與積分回

22、路所圍曲面內(nèi)旋渦源矢量場(chǎng)的環(huán)流給出了矢量場(chǎng)與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場(chǎng)與旋渦源的關(guān)系，引入宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場(chǎng)與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場(chǎng)的旋度。矢量場(chǎng)的旋度。 SCMFnF CSlFSFd1limrot0n稱為矢量場(chǎng)在點(diǎn)稱為矢量場(chǎng)在點(diǎn)M 處沿方向處沿方向 的的。n：其值與點(diǎn)：其值與點(diǎn)M 處的方向處的方向 有關(guān)。有關(guān)。n 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M 作一微小曲面作一微小曲面 S ，它的邊界曲線記為，它的邊界曲線記為C，曲面的法，曲面的法線方向線方向 與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng) S0 時(shí)，極限時(shí)，極限n而而 推導(dǎo)推導(dǎo) 的示意圖如圖所示

23、的示意圖如圖所示。rotxFoyz yCMzx1234計(jì)算計(jì)算 的示意圖的示意圖 rotxF41321dddddllllClFlFlFlFlF)()(4321zFyFzFyFzyzy2)(2yyFMFFMzzz2)(3zzFMFFMyyy2)(1zzFMFFMyyy2)(4yyFMFFMzzz于是于是 同理可得同理可得故得故得zyzFyFlFyzC)(dzFyFSlFFyzCSxdlimrot0 xFzFFzxyrotyFxFFxyzrot：矢量場(chǎng)在：矢量場(chǎng)在 M 點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M 點(diǎn)的環(huán)點(diǎn)的環(huán) 流面密度最大值，其方向?yàn)槿〉铆h(huán)量密度最大值時(shí)面積流面密度

24、最大值，其方向?yàn)槿〉铆h(huán)量密度最大值時(shí)面積 元的法線方向，即元的法線方向，即：旋渦源密度矢量。：旋渦源密度矢量。：maxnnrotFeFFeFnnrotyFxFexFzFezFyFeFxyzzxyyzxzzFFFzeeeF1FrrFFrerererFrrsinsinsin12 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系z(mì)yxzyxFFFzyxeeeFfFfFf)(CfCf)(0CGFGF)(GFFGGF)(0)(F0)(uSCSFlFdd 斯托克斯斯托克斯定理是閉合曲線定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個(gè)變積分與曲面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系式，也在電磁理論中有換關(guān)系式，也在電磁

25、理論中有廣泛的應(yīng)用。廣泛的應(yīng)用。曲面的曲面的剖分剖分 從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)沿任意閉合曲線的環(huán)從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場(chǎng)的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即流等于矢量場(chǎng)的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF：是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)在包圍源的封閉面上的通量是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)在包圍源的封閉面上的通量 等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和， 源在一給定點(diǎn)的（體）密度等于（或正比于）矢量源在一給定點(diǎn)的（體）密度等于（或正比于）矢量 場(chǎng)在該點(diǎn)的散度；場(chǎng)在該點(diǎn)的散度；

26、：是矢量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)具有渦旋性質(zhì)，穿過(guò)一曲面：是矢量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)具有渦旋性質(zhì)，穿過(guò)一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回 路的環(huán)量，在給定點(diǎn)上，這種源的（面）密度等于路的環(huán)量，在給定點(diǎn)上，這種源的（面）密度等于 （或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的旋度。（或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的旋度。1.6 無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng)（1）無(wú)旋場(chǎng)）無(wú)旋場(chǎng)0dClF： ，線積分與路徑無(wú)關(guān)，是保守場(chǎng)。，線積分與路徑無(wú)關(guān)，是保守場(chǎng)。僅有散度源而無(wú)旋度源的矢量場(chǎng)，僅有散度源而無(wú)旋度源的矢量場(chǎng)，0F無(wú)旋場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng)可以用標(biāo)量場(chǎng)的梯度表示為可以用標(biāo)量場(chǎng)的梯度表示為例如：靜

27、電場(chǎng)例如：靜電場(chǎng)0EEuF()0Fu （2）無(wú)散場(chǎng)）無(wú)散場(chǎng) 僅有旋度源而無(wú)散度源的矢量場(chǎng)僅有旋度源而無(wú)散度源的矢量場(chǎng)，即，即：0dSSF0 F無(wú)散場(chǎng)可以表示為另一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度無(wú)散場(chǎng)可以表示為另一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度例如，恒定磁場(chǎng)例如，恒定磁場(chǎng)AB0BAF0)(AF（3）無(wú)旋、無(wú)散場(chǎng)無(wú)旋、無(wú)散場(chǎng)（源在所討論的區(qū)域之外）（源在所討論的區(qū)域之外）0F （4）有散、有旋場(chǎng)）有散、有旋場(chǎng)這樣的場(chǎng)可分解為兩部分：無(wú)旋場(chǎng)部分和無(wú)散場(chǎng)部分這樣的場(chǎng)可分解為兩部分：無(wú)旋場(chǎng)部分和無(wú)散場(chǎng)部分( )( )( )( )( )lCF rF rFru rA r ()0u Fu 02 u0F 標(biāo)量拉普拉斯運(yùn)算標(biāo)量拉普拉斯運(yùn)算2u：

28、2 拉普拉斯算符拉普拉斯算符2222222uuuuxyz直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系：22222211()uuuuz22222222111()(sin)sinsinuuuurrrrrr 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系uu2)(1.7 拉普拉斯運(yùn)算與格林定理拉普拉斯運(yùn)算與格林定理 矢量拉普拉斯運(yùn)算矢量拉普拉斯運(yùn)算2F：2222xxyyzzFeFeFeF即即22()iiFF：對(duì)于非直角分量，：對(duì)于非直角分量，22()iiFF 直角坐標(biāo)系中：直角坐標(biāo)系中：如：如：22()FF(, , )ix y z)()(2FFF 設(shè)任意兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng)設(shè)任意兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng) 及及，若在區(qū)域，若在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該兩個(gè)標(biāo)