修改后1常數(shù)項(xiàng)級數(shù)

1、第七章 無窮級數(shù)(數(shù)學(xué)二不要求)§1 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)【考試要求】1.理解常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件.2.掌握幾何級數(shù)與級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件.3.掌握正項(xiàng)級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法.4.掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法.5.了解任意項(xiàng)級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂之間的關(guān)系.一、基本概念1.級數(shù)收斂與發(fā)散的定義:若級數(shù)的部分和序列有極限，即，則稱級數(shù)收斂，并稱為該級數(shù)的和，記作;若的極限不存在，則稱級數(shù)發(fā)散.2.正項(xiàng)級數(shù):若，則稱為正項(xiàng)級數(shù).3.交錯級數(shù):若，則稱為交錯級數(shù).4.絕對收斂與條件收斂:對

2、任意項(xiàng)級數(shù)，若收斂，則稱絕對收斂;若發(fā)散，而收斂，則稱條件收斂.二、重要結(jié)論1.收斂級數(shù)的性質(zhì)(1)(級數(shù)收斂的必要條件)若收斂，則.注1 僅是級數(shù)收斂的必要條件，并不是充分條件.用此必要條件：若，則可立即判斷該級數(shù)發(fā)散.注2 利用此結(jié)果可以求數(shù)列的極限.(2)若，與為常數(shù)，則.(3)任意去掉級數(shù)的有限項(xiàng)，不改變其斂散性.(4)收斂級數(shù)任意添加括號后仍收斂(注：若加上括號收斂，則去掉括號不一定收斂；若加上括號發(fā)散，則去括號后仍發(fā)散).2.幾何級數(shù)與-級數(shù)的收斂性(1)幾何級數(shù)當(dāng)時收斂，其和為;當(dāng)時發(fā)散.(2)-級數(shù)當(dāng)時收斂;當(dāng)時發(fā)散.3.正項(xiàng)級數(shù)審斂法(1)比較法:設(shè)與均為正項(xiàng)級數(shù)，若，則當(dāng)收

3、斂時，也收斂;若，則當(dāng)發(fā)散時，也發(fā)散.比較法的極限形式:如果，那么當(dāng)時，與的斂散性相同;當(dāng)時，若收斂，則也收斂;當(dāng)時，若發(fā)散，則也發(fā)散.注1 比較法中的通常選取幾何級數(shù)或級數(shù). 注2 極限形式可從同階或等價無窮小的角度考慮的取法.(2)比值法(達(dá)朗貝爾判別法):對正項(xiàng)級數(shù)，設(shè)，則當(dāng)時，收斂;時，發(fā)散;時，的斂散性不確定，此時，比值法失效，一般改用比較判別法或比較判別法的極限形式.注 當(dāng)中含有，時使用此方法較好，當(dāng)為的有理式時失效.(3)根值法(柯西判別法):對正項(xiàng)級數(shù)，設(shè)，則當(dāng)時，收斂;當(dāng)時，發(fā)散;當(dāng)時，的斂散性不確定，此時，比值法失效，一般改用比較判別法或比較判別法的極限形式.注 當(dāng)中含有，

4、時使用此方法較好.(4)柯西積分判別法:設(shè)為一單調(diào)減少非負(fù)函數(shù)，若，則當(dāng)收斂時，正項(xiàng)級數(shù)也收斂;當(dāng)發(fā)散時，正項(xiàng)級數(shù)也發(fā)散.注 利用此判別法可知當(dāng)時收斂，當(dāng)時發(fā)散.4.交錯級數(shù)審斂法(萊布尼茨判別法)若交錯級數(shù)滿足(1);(2)，則收斂，且其和，余項(xiàng).注 判別法中的兩個條件對收斂是充分的，而條件(1)并非必要的條件(但條件(2)是必要的)，如級數(shù)是收斂的，但不滿足條件(1).5.任意項(xiàng)級數(shù)斂散性的判定程序注 對任意項(xiàng)級數(shù)，若發(fā)散，且是由比值法或根值法判定的，則也發(fā)散.三、典型例題題型1 利用定義及性質(zhì)討論級數(shù)的斂散性例 判別下列各級數(shù)的斂散性:(1);解(用定義，先求出部分和，再求部分和數(shù)列的極

5、限 )由級數(shù)收斂的定義知，故原級數(shù)收斂于1.(2);解 （利用級數(shù)收斂的必要條件）由級數(shù)收斂的必要條件知發(fā)散.(3); 解對原級數(shù)加括號得其通項(xiàng)為而級數(shù)發(fā)散，故（去掉括號后）原級數(shù)也發(fā)散.注發(fā)散級數(shù)去括號后仍發(fā)散.(4);解因?yàn)榧墧?shù)發(fā)散, 故原級數(shù)也發(fā)散.(5).解因?yàn)橛杉墧?shù)收斂的必要條件知，故原級數(shù)發(fā)散.題型2 討論正項(xiàng)級數(shù)的斂散性例 判別下列各級數(shù)的斂散性:(1);解 由比值法,由比值法知，故原級數(shù)發(fā)散.(2);解 由比較法的極限形式,，取，而收斂,由比較法的極限形式知，原級數(shù)收斂. (3);解 （由比較法）,取 而收斂, 故原級數(shù)收斂.(4);解 , 取由比較法的極限形式可知,當(dāng)時原級數(shù)

6、收斂,當(dāng)時原級數(shù)發(fā)散.(5);解 （比值法）,當(dāng)時級數(shù)收斂;當(dāng)時級數(shù)發(fā)散;當(dāng)時,原級數(shù)為,當(dāng)時級數(shù)收斂;當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散.(6);解（由根值法）,故原級數(shù)發(fā)散.(7)為常數(shù);解 對于可以取到令 ，使得而收斂, 故原級數(shù)收斂. (8);解 由根植判別法知，原級數(shù)收斂.(9);解 設(shè)令，有從而而發(fā)散, 由比較判別法知，原級數(shù)發(fā)散.(10);解而收斂,由比較判別法知，原級數(shù)收斂.(11);解 而收斂，由比較判別法知原級數(shù)收斂.(12)為實(shí)數(shù),.解 設(shè)由比值法可知所以對任意的實(shí)數(shù),當(dāng)時原級數(shù)收斂; 當(dāng)時原級數(shù)發(fā)散;當(dāng)時,原級數(shù)成為,若,則級數(shù)收斂;若,則級數(shù)發(fā)散.題型3 判別任意項(xiàng)級數(shù)的斂散性例判別下列

7、各級數(shù)的斂散性，并說明是條件收斂還是絕對收斂.(1);解 當(dāng)時,即 而收斂，由比較判別法的極限形式知,故原級數(shù)絕對收斂.(2);解 而即收斂,有比較法知，收斂，故原級數(shù)絕對收斂.(3);解 而調(diào)和級數(shù)發(fā)散,發(fā)散.又設(shè) 由萊布尼茨判別法可知原級數(shù)條件收斂.(4);解 而發(fā)散,由比較判別法知，也發(fā)散,從而發(fā)散.設(shè)當(dāng)時,又,所以由萊布尼茨判別法可知，原級數(shù)條件收斂.(5);解 所以絕對值級數(shù)發(fā)散.設(shè)則當(dāng)時因此有；又當(dāng)時由夾逼法則知，由萊布尼茨判別法原交錯級數(shù)收斂，且是條件收斂.(6) .解 且由萊布尼茨判別法知原級數(shù)收斂.又而發(fā)散，發(fā)散，故 原級數(shù)條件收斂.題型4 討論級數(shù)的斂散性例1設(shè)級數(shù)收斂，發(fā)

8、散，討論的斂散性.解因?yàn)榧墧?shù)收斂，所以級數(shù)也收斂，因此級數(shù)收斂，又因?yàn)榧墧?shù)發(fā)散，也發(fā)散，故只有發(fā)散.注收斂級數(shù)與發(fā)散級數(shù)之代數(shù)和為發(fā)散級數(shù).例2 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)減少，且發(fā)散，討論的斂散性.解因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列單調(diào)減少，所以存在，設(shè)其值為，且.若,則由萊布尼茨判別法知級數(shù)收斂,這與已知發(fā)散條件相矛盾,所以.由根值法，所以正項(xiàng)級數(shù)收斂.題型5 證明題例1 設(shè)正項(xiàng)級數(shù)收斂，收斂，證明絕對收斂.證明 收斂，其部分和數(shù)列極限存在，即存在, 有界,即存在使得從而有而正項(xiàng)級數(shù)收斂，收斂,由比較判別法，收斂，故絕對收斂.例2 設(shè)在上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且在取到極小值，試證明級數(shù)絕對收斂.證明由題意可知將在處展為一階泰勒

9、公式在與之間.又因?yàn)樵谏线B續(xù),故在上有界, 即存在使得.，當(dāng)時，從而當(dāng)時有而級數(shù) 收斂,所以絕對收斂,從而也絕對收斂.例3 設(shè)是上的非負(fù)單調(diào)遞減函數(shù)，且廣義積分收斂，證明級數(shù)收斂.證明令則收斂,又為非負(fù)單調(diào)遞減的函數(shù),于是由萊布尼茨判別法可知原級數(shù)收斂.題型6 求數(shù)列的極限例 求下列各數(shù)列的極限:(1);解 對級數(shù)由比值法知所以級數(shù)收斂,由級數(shù)收斂的必要條件可知.(2).解 對級數(shù)由比值法知所以級數(shù)收斂,由級數(shù)收斂的必要條件可知.題型7 選擇題例1 設(shè)常數(shù)，則級數(shù)( ).（A）發(fā)散 （B）絕對收斂（C）條件收斂 （D）收斂或者發(fā)散與的取值有關(guān)解 因?yàn)?而前一個級數(shù)絕收斂，后一個級數(shù)條件收斂，所

10、以原級數(shù)條件收斂，（C）正確.例2 設(shè)為常數(shù)，則級數(shù)( ).（A）絕對收斂（B）條件收斂（C）發(fā)散（D）收斂或者發(fā)散與的取值有關(guān)解，而收斂，絕對收斂，又發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散.所以（C）正確.例3 已知級數(shù)，則級數(shù)等于( ).（A）3 （B）7 （C）8 （D）9解于是，故（C）正確.例4 設(shè)，則下列級數(shù)中肯定收斂的是( ).（A） （B）（C） （D）解因?yàn)椋?，故收斂，從而絕對收斂，故（D）正確 例5 設(shè)常數(shù)，且級數(shù)收斂，則級數(shù)( ).（A）發(fā)散 （B）條件收斂 （C）絕對收斂 （D）收斂性與的取值有關(guān)解注：公式.而收斂，收斂，故原級數(shù)為絕對收斂.選（C）另解 取，則，故（C）正確例6 設(shè)，

11、則級數(shù)( ).（A）與都收斂 （B）與都發(fā)散（C）收斂而發(fā)散 （D）發(fā)散而收斂解 先判別此交錯級數(shù)的斂散性.且由萊布尼茲判別法可知收斂，又因?yàn)橛砂l(fā)散，發(fā)散，故(C)正確.例7 設(shè),且收斂，常數(shù)，則級數(shù)().（A） 絕對收斂（B）條件收斂 （C）發(fā)散 （D）收斂性與的取值有關(guān)解法1 取可知(A)正確. 解法2而由正項(xiàng)收斂，知的前項(xiàng)部分和數(shù)列有界，即（為常數(shù)），設(shè)的前項(xiàng)部分和為，顯然有 ，由正想級數(shù)收斂的充分必要條件知，收斂.再由比較法的極限形式知，故原級數(shù)絕對收斂，故(A)正確. 例8 設(shè)級數(shù)收斂，則必收斂的級數(shù)為( ).（A）（B）（C） （D） 解（D）正確. 例9 設(shè)，且，則級數(shù)( ).（

12、A） 發(fā)散 （B）絕對收斂 （C）條件收斂 （D）收斂性根據(jù)所給條件不能判斷解 ， 故原級數(shù)收斂；又發(fā)散，從而原級數(shù)條件收斂，故（C）正確.題型8綜合題例1 設(shè)兩條拋物線和的交點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對值為.(1)求這兩條拋物線所圍成的平面圖形的面積;(2)求級數(shù)的和.解由題意解得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為交點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對值為，因?yàn)樗鶉鷪D形關(guān)于軸對稱,其面積(2) 例2 已知滿足和討論級數(shù)的斂散性.解先求.為此解一階線性方程得將代入上式得于是下面先判別是正項(xiàng)級數(shù).令則當(dāng)時,是正項(xiàng)級數(shù).又而收斂, 收斂.例3 設(shè)在的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且，試證明級數(shù)絕對收斂.證明因?yàn)?所以對任意的由麥克勞林公式有在與之間).因?yàn)樵趦?nèi)連續(xù), 所以存在使得,即 于是當(dāng)充分大時,從而而收斂,所以絕對收斂.四、練習(xí)題1. 判別下列各級數(shù)的斂散性:(1) ; 解 當(dāng)時,原級數(shù)發(fā)散. (2) ;解 當(dāng)時,原級數(shù)收斂.(3) ; 解 當(dāng)時,原級數(shù)發(fā)散. (4) ;解 當(dāng)時,原級數(shù)收斂.(5) ; 解 原級數(shù)發(fā)散. (6) ;解 .，且由萊布尼茲判別法可知原級數(shù)收斂.又而發(fā)散，發(fā)散，原級數(shù)條件收斂.(7) ; 解 當(dāng)時,發(fā)散.令,則.又原級數(shù)條件收斂. (8) ;解 當(dāng)時,原級數(shù)絕對收斂.(9) ; 解 當(dāng)時, 發(fā)散.又 且原級數(shù)條件收斂. (10).解