非線性多值算子擾動的映射定理

1、第19卷增刊1999年4月數(shù)學研究與評論JOURNALOFMATHEMATICALRESEARCHANDEXPOSITION王為民(浙江工業(yè)大學基礎(chǔ)部,杭州310014)(東北大學數(shù)學系,沈陽110006)摘要:本文討論非線性多值算子的非緊擾動的映射定理,并給出非線性泛函方程zT(x)+F(x)可解性的最新結(jié)果,其中T是多值算子且(T+聚.所得的結(jié)果改善了5,8,12中的主要結(jié)果.n2凝I)-1是12集壓縮,而F是12集壓縮或關(guān)鍵詞:12集壓縮算子,2凝聚算子,m2增生算子.分類號:AMS(1991)47H10 CLCO177.91文獻標識碼:A文章編號:10002341X(1999)增刊20

2、225205設(shè)是Kuratowski或球非緊度量,連續(xù)算子F:D(F)<XX稱為2壓縮的是指對所有有界集B<D(F),存在常數(shù)k(0k1)使得(FB)k(B).若k<1,則稱F是嚴格2壓縮的;若k=1,則稱F是12集壓縮的.連續(xù)算子F稱為2凝聚的是指對任何有界集B<D(F)且(B)>0,都有不等式(FB)<(B)成立.X多值算子T:D(T)<X2叫做強增生的是指對任何x,yD(T),uT(x),vT(y),存在jJ(x-y)使得u-v,jC x-y ,其中C是與x,y無關(guān)的正數(shù),J:X2X32(1)23是正規(guī)對偶映射32= x = y ,Jx=jX:x

3、,j , 表示X與X3之間的廣義對偶對.如果不等式(1)對C=0的情形成立,那么T叫做增生算子.增生算子T稱為m2增生的是指對所有>0,T+I是到X上的滿射,即R(T+I)=.對于多值算子T,記 T(x) =inf y :yT(x).X,其中I是恒等算子以上概念參看文獻3.最近,Kartsatos6-9,Hirano5,Morales12,Chen2,He4和Liu11等人研究了m2增生算子被緊算子或12集壓縮算子擾動的值域問題.這一方向的研究是與半線性發(fā)展方程和積微分-1方程密切相聯(lián)的.但是,必須指出:如果T是m2增生算子,對>0,(T+I)不一定是非擴張收稿日期:1995203

4、228作者簡介:王為民(19602),男,江蘇泰州人,碩士,浙江工業(yè)大學副教授.225© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.的.本文的目的是給出非線性泛函方程zT(x)+F(x)n(2)-1可解性的一些新結(jié)果,其中T是多值算子,(T+2凝I)是12集壓縮,而F是12集壓縮或聚.結(jié)果改善或推廣了5,8,12中的一些結(jié)果.n12集壓縮;F:D(T)X是12集壓縮算子.假設(shè)存在正數(shù)a,b使得對任何xD(T)且 x b,-1X定理1設(shè)X是Banach空間,T:D(T)<X2是多值

5、算子且(T+I):XD(T)是有a x + F(x) T(x)+F(x) ,(3)則T+F的值域在X中稠密.證明設(shè)zX,選擇n0N使得當nn0時,nn<a.定義算子An:XX,An(x)=z-(1-)F(T+nI)-1(x)(nn0).可以證明An有不動點,為此只需證明集合>1E(n)=xX:x=An(x),是有界的.對任意xE(n),有>1使得-1)F(T+x=z-(1-I)(x).nnn0b1,則存在uT(y)使得-1取b1b且(a-)b1> z .令y=(T+nnI)-1(x),則可得 y <b1.事實上,若不然,即 y z z = u+= u+F(y)+n

6、y+(1-n-1)F(y)y-1-(1-nn-1)F(y)-1) F(y) - u+F(y) -1-(1- yna y -ny (a-n)b1,矛盾.因為F是12集壓縮,所以FB(0,b1)是有界的,設(shè)其界為M,則對所有xE(n),有) F(y) z +M. x x z +(1-n-1顯然An(nn0)是2凝聚映射,于是An有不動點xn,即xn=Anxn.令yn=(T+I)(xn),unn)F(yn),則T(yn),z=un+yn+(1-nnun+F(yn)-z ( yn + F(yn) ),n由于 yn <b1, F(yn) M,故un+F(yn)-z 0(n).定理2設(shè)X,T和F如同

7、定理1所設(shè).假設(shè)存在正數(shù)a,b使得對任何xD(T), x b,(0,b)D(T)是閉集,則B(0,ab)<R(T+F).條件(3)成立.又設(shè)(T+F)B)b> z .對于nn0,定義算子證明設(shè)zX且 z <ab,則選取n0N,使得(a-n0226© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.An(x)=z-(1-n)F(T+nI)-1(x),-1如同在定理1中的證明,可得An有不動點xn.令yn=(T+I)(xn),選擇unT(yn).同樣,n可證明對所有nn0, y

8、n <b.因此,un+F(yn)(T+F)B(0,b)D(T)un+F(yn)-z =n yn+F(yn) 0(n),即有zR(T+F).評注1與12中定理1和定理2比較,雖然結(jié)果中算子T的條件較強,但是,算子F被放松到12集壓縮.還要指出:當T是m2增生且是強增生時,對所有nN,(T+nI)-1:XD(T)都是12集壓縮的.下面考慮算子T和F都是奇的情形.X定理3設(shè)X是Banach空間,D(T)是X的關(guān)于原點對稱的子集,T:D(T)2是奇的多-1值算子且對所有nN,(T+.設(shè)F:D(T)X是奇的2凝聚算I):XD(T)是12集壓縮n子.假設(shè)存在正數(shù)a,b使得對所有xD(T)且 x b,

9、有a x T(x)+F(x) .(0,b)D(T)是閉集,則B(0,ab)<R(T+F).如果(T+F)B)b> z (nn0).定義算子Hn:證明設(shè)zX且 z <ab,取n0N使得<a,(a-nn0,1×XX,Hn(t,x)=tz-F(T+nI)-1(x).設(shè)E(n)=xX:x=Hn(t,x),0t1,則E(n)是有界的,事實上,對每個xE(n),存在某個0t1使得x=tz-F(T+nI)-1(x).令y=(T+nI)-1(x),可斷言 y <b.若不然,存在uT(y)使得ny u+F(y) - z t z = u+F(y)+a y -nn y y (

10、a-n)b,矛盾.因為F是2凝聚,所以FB(0,b)是有界的,設(shè)M為其上界,則對所有xE(n),有x t z + F(y) z +M.這樣,存在正數(shù)r使得對所有x5B(0,r)和0t1,有xHn(t,x).下面證明對所有有界集(1)(2)-1Hn(0,1×B)<(B).設(shè)Hn(t,x)=tz,Hn(t,x)=-F(T+B<X,I)(x),則nHn(0,1×B)<H(1)n(0,1×B)+H(2)n(0,1×B),()12(Hn(0,1×B)(Hn(0,1×B)+(Hn(0,1×B).(1)(2)顯然,Hn(

11、0,1×B)=0,(Hn(0,1×B)<(B).因此,據(jù)拓撲度的同倫不變性得D(I-Hn(0, ),B(0,r),0)=D(I-Hn(1, ),B(0,r),0).()227© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.因為Hn(0, )是奇的,所以由Borsuks定理知D(I-Hn(1, ),B(0,r),0)0,于是對n-1n0,存在xn使得xn=Hn(1,xn),即xn=z-F(T+I)(xn).因此,如同定理2的證明,得到znR(T+F).評注2與5中

12、定理5比較,加強了算子T的條件,但是其它條件是相當弱的.X算子T:D(T)<X2叫做吸收的是指若xD(T),則對每一t(0,1),有txD(T).下面的定理4改善了8中的定理4.X定理4設(shè)X是Banach空間,T:D(T)<X2是吸收的m2增生算子且對所有nN,(T-1+.又設(shè)F:XX是2凝聚.假設(shè)存在正數(shù)b,r使得對每一xD(T), x I)是12集壓縮nb存在jJ(x)滿足(0,b)D(T)是閉集,則B(0,r)<R(T+F).其中uT(x).如果(T+F)(B-1證明設(shè)zX, z r,定義An:XX,An(x)=(T+I)(z-F(x).令nu+F(x),j,r x &

13、gt;1,E(n)=xX:x=An(x),-1則E(n)<B(0,b).若不然,則有xE(n), x b且存在>1使得x=(T+I)(z-Fn(x).進而有uT(x),vT(x)使得z=v-u+u+F(x)+nx.于是,存在jJ(x)滿足v-u,j+u+F(x),j+r x +nn x 2 z x , x z x ,2r<r+n x z ,矛盾!顯然,An是2凝聚.于是,An有不動點xn.進而存在unT(xn)使得un+F(xn)+xn=z.n假設(shè) xn b,則存在jJ(xn)使得2un+F(xn)+xn,j=z,j,r xn + xn z xn ,nn矛盾!因此,xn<

14、;B(0,b),進而當n時 un+F(xn)-z = xn 0,即zR(T+F).n參考文獻1BrowderFE.NonlinearoperatorsandnonlinearequationsofevolutioninBanachspaceJ.Proc.2ChenYZ.Thegeneralizeddegreeforcompactperturbationsofm2accretiveoperatorsandapplicationsJ.NonlinearAnal.,1989,13:393-403.3DeimlingK.NonlinearFunctionalAnalysisM.Springer2Ver

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