第二節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布

1、第二節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布如果隨機(jī)變量所有可能的取值為有限個(gè)或可列無窮多個(gè)，則稱這種隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量.容易知道，要掌握一個(gè)離散型隨機(jī)變量X的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，必須且只須知道X的所有可能取的值以及取每一個(gè)可能值的概率.設(shè)離散型隨機(jī)變量X所有可能的取值為xk(k=1,2,),X取各個(gè)可能值的概率,即事件X=xk的概率PX=xk=pk, k=1,2, （2.2）我們稱（2.2）式為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律.分布律也常用表格來表示（表2-1）：表2-1Xx1 x2 x3 xk pkp1 p2 p3 pk 由概率的性質(zhì)容易推得，任一離散型隨機(jī)變量的分布律pk，都具有下述兩個(gè)基本性質(zhì)：1

2、76;pk0，k=1,2,； （2.3）2°. （2.4）反過來，任意一個(gè)具有以上兩個(gè)性質(zhì)的數(shù)列Pk，一定可以作為某一個(gè)離散型隨機(jī)變量的分布律.為了直觀地表達(dá)分布律，我們還可以作類似圖2-1的分布律圖.圖2-1圖2-1中xi處垂直于x軸的線段高度為pi，它表示X取xi的概率值.例2.1 設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需通過4盞信號(hào)燈，每盞燈以0.6的概率允許汽車通過，以0.4的概率禁止汽車通過（設(shè)各盞信號(hào)燈的工作相互獨(dú)立）.以X表示汽車首次停下時(shí)已經(jīng)通過的信號(hào)燈盞數(shù)，求X的分布律.解 以p表示每盞燈禁止汽車通過的概率，顯然X的可能取值為0，1，2，3，4，易知X的分布律為表2-2X0

3、1 2 3 4pkP （1-p）p （1-p）2 p p（1-p）3 p （1-p）4或?qū)懗蒔X=k=（1-p）kp，k=0，1，2，3.PX=4=（1-p）4.將p=0.4,1-p=0.6代入上式，所得結(jié)果如表2-3所示.表2-3X0 1 2 3 4pk0.4 0.24 0.144 0.0864 0.1296下面介紹幾種常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布：（1）兩點(diǎn)分布若隨機(jī)變量X只可能取x1與x2兩值，它的分布律是PX=x1=1-p（0p1），PX=x2=p，則稱X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布.特別，當(dāng)x1=0，x2=1時(shí)兩點(diǎn)分布也叫（0-1）分布，記作X（0-1）分布.寫成分布律表形式見表2-4.

4、表2-4X0 1pk1-p p對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，若它的樣本空間只包含兩個(gè)元素，即=e1，e2，我們總能在上定義一個(gè)服從（0-1）分布的隨機(jī)變量用它來描述這個(gè)試驗(yàn)結(jié)果.因此，兩點(diǎn)分布可以作為描述試驗(yàn)只包含兩個(gè)基本事件的數(shù)學(xué)模型.如，在打靶中“命中”與“不中”的概率分布；產(chǎn)品抽驗(yàn)中“合格品”與“不合格品”的概率分布等等.總之，一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)如果我們只關(guān)心某事件A出現(xiàn)與否，則可用一個(gè)服從（0-1）分布的隨機(jī)變量來描述.（2）二項(xiàng)分布若隨機(jī)變量X的分布律為PX=k=pk(1-p)n-k, k=0,1,n， (2.5)則稱X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布（Binomial distribution）,記作Xb

5、(n,p).易知（2.5）滿足（2.3）、(2.4)兩式.事實(shí)上，P（X=k）0是顯然的；再由二項(xiàng)展開式知=1.我們知道，PX=k=恰好是p+(1-p)n二項(xiàng)展開式中出現(xiàn)pk的那一項(xiàng)，這就是二項(xiàng)分布名稱的由來.回憶n重貝努里試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)k次的概率計(jì)算公式Pn(k)=pk(1-p)n-k, k=0,1,n,可知，若Xb(n,p)，X就可以用來表示n重貝努里試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù).因此，二項(xiàng)分布可以作為描述n重貝努里試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)模型.比如，射手射擊n次中，“中的”次數(shù)的概率分布；隨機(jī)拋擲硬幣n次，落地時(shí)出現(xiàn)“正面”次數(shù)的概率分布；從一批足夠多的產(chǎn)品中任意抽取n件，其中“廢品”件數(shù)

6、的概率分布等等.不難看出，（0-1）分布就是二項(xiàng)分布在n=1時(shí)的特殊情形，故（0-1）分布的分布律也可寫成PX=k=pkq1-k(k=0,1)(q=1-p).例2.2（1）雙方各出3人；（2）雙方各出5人；（3）雙方各出7人.三種方案中均以比賽中得勝人數(shù)多的一方為勝利.問：對(duì)系隊(duì)來說，哪一種方案有利？解 設(shè)系隊(duì)得勝人數(shù)為X，則在上述三種方案中，系隊(duì)勝利的概率為（1） PX2=0.352；(2) PX3=0.317；(3) PX4=0.290.因此第一種方案對(duì)系隊(duì)最為有利.這在直覺上是容易理解的，因?yàn)閰①惾藬?shù)越少，系隊(duì)僥幸獲勝的可能性也就越大.例2.3 某一大批產(chǎn)品的合格品率為98%，現(xiàn)隨機(jī)地從

7、這批產(chǎn)品中抽樣20次，每次抽一個(gè)產(chǎn)品，問抽得的20個(gè)產(chǎn)品中恰好有k個(gè)（k=1，2，20）為合格品的概率是多少？解 這是不放回抽樣.由于這批產(chǎn)品的總數(shù)很大，而抽出的產(chǎn)品的數(shù)量相對(duì)于產(chǎn)品總數(shù)來說又很小，那么取出少許幾件可以認(rèn)為并不影響剩下部分的合格品率，因而可以當(dāng)作放回抽樣來處理，這樣做會(huì)有一些誤差，但誤差不大.我們將抽檢一個(gè)產(chǎn)品看其是否為合格品看成一次試驗(yàn)，顯然，抽檢20個(gè)產(chǎn)品就相當(dāng)于做20次貝努里試驗(yàn)，以X記20個(gè)產(chǎn)品中合格品的個(gè)數(shù)，那么Xb（20，0.98），即PX=k=，k=1,2,20.若在上例中將參數(shù)20改為200或更大，顯然此時(shí)直接計(jì)算該概率就顯得相當(dāng)麻煩.為此我們給出一個(gè)當(dāng)n很大而

8、p（或1-p）很小時(shí)的近似計(jì)算公式.定理2.1（泊松(Poisson)定理） 設(shè)npn=（>0是一常數(shù)，n是任意正整數(shù)），則對(duì)任意一固定的非負(fù)整數(shù)k,有.證 由pn=/n，有對(duì)任意固定的k，當(dāng)n時(shí)，故由于=npn是常數(shù)，所以當(dāng)n很大時(shí)pn必定很小，因此，上述定理表明當(dāng)n很大p很小時(shí)，有以下近似公式 (2.6)其中=np.從表2-5可以直觀地看出（2.6）式兩端的近似程度.表2-5k按二項(xiàng)分布公式直接計(jì)算按泊松近似公式（2.6）計(jì)算n=10p=0.1n=20p=0.05n=40p=0.025n=100p=0.01=1(=np)012340.3490.3850.1940.0570.0110.

9、3580.3770.1890.0600.0130.3630.3720.1860.0600.0140.3660.3700.1850.0610.0150.3680.3680.1840.0610.015由上表可以看出，兩者的結(jié)果是很接近的.在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)n20,p0.05時(shí)近似效果頗佳，而當(dāng)n100,np10時(shí)效果更好.的值有表可查（見本書附表3）二項(xiàng)分布的泊松近似，常常被應(yīng)用于研究稀有事件（即每次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的概率p很?。?，當(dāng)貝努里試驗(yàn)的次數(shù)n很大時(shí)，事件A發(fā)生的次數(shù)的分布.例2.4 某十字路口有大量汽車通過，假設(shè)每輛汽車在這里發(fā)生交通事故的概率為0.001，如果每天有5000輛汽車通過這個(gè)

10、十字路口，求發(fā)生交通事故的汽車數(shù)不少于2的概率.解 設(shè)X表示發(fā)生交通事故的汽車數(shù)，則Xb(n,p),此處n=5000，p=0.001，令=np=5，PX2=1-PX2=1-=1-(0.999)5000-5(0.999)4999.查表可得PX2=1-0.00674-0.03369=0.95957.例2.5 某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0.02，獨(dú)立射擊400次，試求至少擊中兩次的概率.解 將一次射擊看成是一次試驗(yàn).設(shè)擊中次數(shù)為X，則Xb(400,0.02)，即X的分布律為PX=k= (0.02)k(0.98)400-k, k=0,1,400.故所求概率為PX2=1-pX=0-pX=1=1-

11、(0.98)400-400(0.02)(0.98)399=0.9972.PX<20.003很小，根據(jù)實(shí)際推斷原理，我們將懷疑“每次射擊的命中率為0.02”這一假設(shè)，即認(rèn)為該射手射擊的命中率達(dá)不到0.02.（3）泊松分布若隨機(jī)變量X的分布律為PX=k =，k=0，1，2， （2.7）其中0是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布（Poisson distribution），記為XP（）.易知（2.7）滿足（2.3）、（2.4）兩式，事實(shí)上，PX=k0顯然；再由=e-·e=1，可知 =1.由泊松定理可知，泊松分布可以作為描述大量試驗(yàn)中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)k=0,1,的概率分布情況的一個(gè)數(shù)學(xué)

12、模型.比如：大量產(chǎn)品中抽樣檢查時(shí)得到的不合格品數(shù)；一個(gè)集團(tuán)中生日是元旦的人數(shù)；一頁中印刷錯(cuò)誤出現(xiàn)的數(shù)目；數(shù)字通訊中傳輸數(shù)字時(shí)發(fā)生誤碼的個(gè)數(shù)等等，都近似服從泊松分布.除此之外，理論與實(shí)踐都說明，一般說來它也可作為下列隨機(jī)變量的概率分布的數(shù)學(xué)模型：在任給一段固定的時(shí)間間隔內(nèi)， 由某塊放射性物質(zhì)放射出的質(zhì)點(diǎn)，到達(dá)某個(gè)計(jì)數(shù)器的質(zhì)點(diǎn)數(shù)； 某地區(qū)發(fā)生交通事故的次數(shù)； 來到某公共設(shè)施要求給予服務(wù)的顧客數(shù)（這里的公共設(shè)施的意義可以是極為廣泛的，諸如售貨員、機(jī)場跑道、電話交換臺(tái)、醫(yī)院等，在機(jī)場跑道的例子中，顧客可以相應(yīng)地想象為飛機(jī)）.泊松分布是概率論中一種很重要的分布.例2.6 由某商店過去的銷售記錄知道，某種

13、商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)5的泊松分布來描述.為了以95%以上的把握保證不脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件？解 設(shè)該商店每月銷售這種商品數(shù)為X，月底進(jìn)貨為a件，則當(dāng)Xa時(shí)不脫銷，故有PXa0.95.由于XP(5),上式即為0.95.查表可知0.9319<0.95,0.9682>0.95于是，這家商店只要在月底進(jìn)貨這種商品10件（假定上個(gè)月沒有存貨），就可以95%以上的把握保證這種商品在下個(gè)月不會(huì)脫銷.下面我們就一般的離散型隨機(jī)變量討論其分布函數(shù).設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律如表2-1所示.由分布函數(shù)的定義可知F(x)=PXx=，此處的和式表示對(duì)所有滿足xkx的k求和，形象地講

14、就是對(duì)那些滿足xkx所對(duì)應(yīng)的pk的累加.例2.7 求例2.1中X的分布函數(shù)F（x）.解 由例2.1的分布律知當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)（x）=PXx=0；當(dāng)0x1時(shí)，F(xiàn)（x）=PXx=PX=0=0.4；當(dāng)1x2時(shí)，F(xiàn)（x）=PXx=P（X=0X=1）=PX=0+PX=1=0.4+0.24=0.64；當(dāng)2x3時(shí)F（x）=PXx=P（X=0X=1X=2）=PX=0+PX=1+PX=2=0.4+0.24+0.144=0.784；當(dāng)3x4時(shí)F（x）=PXx=P（X=0X=1X=2X=3）=0.4+0.24+0.144+0.0864=0.8704；當(dāng)x4時(shí)F（x）=PXx=P（X=0X=1X=2X=3X=4）=0.4+0.24+0.144+0.0864+0.1296=1.綜上所述F（x）=PXx=F(x)的圖形是一條階梯狀右連續(xù)曲線，在x=0，1，2，3，4處有跳躍，其跳躍高度分別為0.4,0.24,0.144,0.0864,0